復(fù)旦大學(xué)概率與數(shù)理統(tǒng)計3.3.ppt

3 二元隨機(jī)變量,也稱為n元隨機(jī)向量。,以下只研究二元隨機(jī)變量。,(一)離散型,把(，)的所有可能取值與相應(yīng)概率列成表，稱為 (，)的聯(lián)合概率分布表。,定義3 如果二元隨機(jī)變量(，)所有可能取的數(shù)對 為有限或可列個，并且以確定的概率取各個不同的 數(shù)對，則稱(，)為二元離散型隨機(jī)變量。,也可用一系列等式來表示,P(=xi,=yj)=pij,(i,j=1,2,),稱為與的聯(lián)合分布律。,聯(lián)合分布有如下性質(zhì)：,(1) pij0,例1 同一品種的5個產(chǎn)品中，有2個正品。每次從中取 1個檢驗質(zhì)量，不放回地抽取，連續(xù)2次。證“k=0”表 示第k次取到正品，而“k=1”為第k次取到次品。(k=1,2) 寫出(1, 2)的聯(lián)合分布律。,解：試驗結(jié)果由4個基本事件組成。,P(1=0, 2=0),=P(1=0)P(2=0| 1=0),=0.1,P(1=0, 2=1),=0.3,P(1=1, 2=0),=0.3,P(1=1, 2=1),=0.3,列成聯(lián)合概率分布表：,二元隨機(jī)變量(，)中，分量(或)的概率 分布稱為(，)的關(guān)于(或)的邊緣分布。,若已知聯(lián)合分布，則,P(=xi),i=1,2,P(=yj),j=1,2,pi(1)表示聯(lián)合概率表中第i行各概率之和。,它表示，不論取何值，取值xi的概率,pj(2)的含義類似。,例2 將兩封信隨機(jī)地往編號為I、II、III、IV的4個 郵筒內(nèi)投。i表示第i個郵筒內(nèi)信的數(shù)目(i=1,2)寫 出(1， 2)的聯(lián)合分布以及1， 2的邊緣分布。,解：試驗共有42種不同的等可能結(jié)果。,p12=p21=p22=0,列成聯(lián)合分布表：,即邊緣分布為,對于二元隨機(jī)變量(，)，若P (=yj)0， 稱pij/pj(2)(i=1,2,)為在=yj條件下關(guān)于 的條件分布。,顯然P (=xi|=yj)是非負(fù)的，且對所有i，它們的和為1,同樣，若pi(1)0,稱為在xi條件下關(guān)于的條件分布。,p(=yj|=xi)是非負(fù)的，且對所有j，它們的和為1,記為,例3 求出例2中在21條件下關(guān)于1的條件分布。,0,故21時， 1的條件分布為,例4 反復(fù)擲一顆骰子，直到出現(xiàn)小于5點為止。 表 示最后一次擲出的點數(shù)， 表示投擲次數(shù)。求(，) 的聯(lián)合分布律，邊緣分布律及條件分布。,解：的取值是1，2，3，4,的取值是1，2，,“=i,j”表示擲了j次，而最后一次擲出i點。,前j-1次擲出5點或6點。,由于各次擲骰子是相互獨立的。,故聯(lián)合分布表為,pi(1),條件分布為：,(二)連續(xù)型,它有性質(zhì)：,對任意平面區(qū)域D,解：P(+ 1),同樣地,P( ),分別稱為二元隨機(jī)變量(，)中關(guān)于及關(guān)于的 邊緣分布函數(shù)。,求導(dǎo)可得相應(yīng)的概率密度：,是關(guān)于的邊緣概率密度。,是關(guān)于的邊緣概率密度。,解：當(dāng)axb時,在其它點,0,解：當(dāng)0x1時,=0,同理可求出,(三)隨機(jī)變量的相互獨立性,判斷獨立的充要條件：,pij=pi(1)pj(2),例8 在例2中1與2是否相互獨立？,解：已經(jīng)得到,故1與2不是相互獨立的。,例9 擲兩顆骰子，用與分別表示第一顆與第二顆的 點數(shù)。與是否獨立。,可見對所有i,j有pij=pi(1)pj(2),故與是相互獨立的。,例10 例6中的隨機(jī)變量與是否相互獨立？,可見，對任何x,y有,故與相互獨立。,故與不獨立。,例11 例7中的隨機(jī)變量與是否相互獨立？,4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,也有多元函數(shù)f(1,n) 等。,(一)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,定義1 設(shè)f(x)是定義在隨機(jī)變量的一切可能值x集合上 的函數(shù)。如果對于的每一可能取值x，有另一個隨機(jī) 變量的相應(yīng)取值y=f(x)。稱為的函數(shù)，記作 =f()。,0.2,0.4,0.1,0.3,故的分布表為,解:P(=0)=P (=0),=0.2,P(=1)=P (=-1)+P (=1),=0.2+0.1,=0.3,P(=4)=P (=-2)+P (=2),=0.1+0.4,=0.5,故的分布為,的概率分布表為,解：P(+=1)=P(=0, =1)+P(=1,=0)=0.4,而P(=1)=P(=1,=1)=0.2,解：-的取值可以為1，2，3，4,P(-=2)=P(=4,=2)+P(=5,=3),=P(=4)P(=2)+P