試驗設(shè)計與設(shè)計的準則.ppt

試驗設(shè)計與設(shè)計的準則,劉森茂 數(shù)學科學學院,先從一個簡單的試驗開始： 生產(chǎn)集成電路的一個初始步驟是產(chǎn)生晶體外延層。試驗中有三個地方需要配置： 感應(yīng)旋轉(zhuǎn)方法、噴咀位置、沉積溫度，每個地方有兩種配置方法。也即有三個因子，每個因子兩個水平。 試驗人員希望找出最好的配置，使得產(chǎn)生的外延層厚度盡可能接近15.4毫米。,為此，試驗人員在每一種可能的設(shè)置下（2的3次方，共8種可能）做5次試驗，共40次試驗。 上述試驗叫做“完全因析試驗”，我們可以用五次試驗距離目標值差距的平方和作為響應(yīng)變量，建立回歸模型，并進行方差分析。,模型方程是： 上述參數(shù)叫做回歸方程的系數(shù)，在試驗設(shè)計中，也叫因子的效應(yīng)。,一般的分析方法：,最小二乘估計 回歸分析中的變量篩選 正態(tài)圖、半正態(tài)圖 F檢驗效應(yīng)是否顯著 根據(jù)顯著的回歸系數(shù)確定因子水平,這個試驗有三個因子，每個水平下重復(fù)5次，共有40次試驗。但在稍微復(fù)雜一點的試驗中，因子數(shù)往往有8-10個，甚至更多，那時即使沒有重復(fù)，試驗次數(shù)也已經(jīng)數(shù)百、上千，這在很多情形下（如農(nóng)業(yè)試驗有很長的周期，汽車、機械、核物理等試驗則很費錢）是很不好的。 這時，流行的做法是選擇一個“部分因析試驗”。,為了引出“部分因析設(shè)計”，我們先給前面提到的“效應(yīng)”做一個嚴格的定義。 A因子的主效應(yīng)： A、B因子的交互效應(yīng)： A、B、C的三階交互效應(yīng)： “+”是指一個水平，“-”是另一個。”AB+”是指”A+, B+”或”A-, B-”。 通過與前面的回歸模型相對比（回歸模型中用最小二乘計算回歸系數(shù)），這里的效應(yīng)與回歸模型中的回歸系數(shù)只相差一個倍數(shù)。,著名的效應(yīng)三原則：,效應(yīng)排序原則； 低階效應(yīng)比高階效應(yīng)更重要； 主效應(yīng)二階效應(yīng)三階效應(yīng) 同階效應(yīng)同樣重要； 效應(yīng)稀疏原則； 在因析試驗中相對重要的因子效應(yīng)數(shù)目是不多的。,效應(yīng)遺傳原則； 要使一個交互效應(yīng)是顯著的，至少它的一個親本因子是顯著的。 若AB交互效應(yīng)顯著，則A和B至少有一個是顯著的。 基于以上原則，設(shè)計界目前廣泛使用的是部分因析試驗，以及用MA準則來判斷試驗是否優(yōu)良。,部分因析試驗只是完全因析試驗的一部分。 考慮一個簡單的試驗(參見Box(1961), page5, table3). 我們來看這兩個效應(yīng)：123和4，顯然有： 也即，這兩個效應(yīng)“別名”，在記號上有：4=123，或I=1234（I是單位元），這也稱作一個定義對照關(guān)系，也叫定義字。,對一般的部分因析試驗，可能有不只一個定義對照關(guān)系，可以證明，所有的定義對照關(guān)系構(gòu)成一個二階可交換群，叫做“定義對照子群”。 一個 設(shè)計，是說它的試驗次數(shù)是 ，它有k個因子，它的定義對照子群有 個元素。,MA準則（最小低階混雜）：,對上面的那個定義字I=BCDE，我們說它的字長度為4，因為是一個4階效應(yīng)與單位效應(yīng)別名。 對一個 設(shè)計，用 記其定義對照子群中字長為i的字的個數(shù)， 稱為一個試驗的字長型。 一個MA設(shè)計就是順次最小化字長型的設(shè)計。它所依據(jù)的道理是效應(yīng)排序原則，因為如果長度較短的定義字比較多，就意味著低階效應(yīng)別名狀況比較嚴重。,上面講的都是兩水平的情形，對于一般的素數(shù)水平，理論是相似的。 為了一般化，前面說的”+”和”-”要改為GF(2)中的0和1，而一般的素數(shù)p水平，就是用GF(p)中的運算法則。對于素數(shù)冪 水平，運用GF( )中的運算。 但對于一般的數(shù)，因為沒有對應(yīng)的有限域，所以無法構(gòu)建相應(yīng)的部分因析設(shè)計理論。 我們做一個羅列：2，3，5，7（素數(shù)）；4，8，9（素數(shù)冪），但6不行，而7水平以上的實際試驗極為罕見。,試驗設(shè)計大量的成果和論文就是用來尋找MA設(shè)計。 參見Chen, Sun, and Wu(1993)(page816). 用計算機進行搜索在試驗次數(shù)和因子數(shù)比較小的情形下是可行的，但二者比較大時就變得不可行。 90以來，學術(shù)界開始用編碼理論和有限域上的射影幾何來尋找MA設(shè)計。 其他方法還有“補設(shè)計”和“最大偶設(shè)計的補設(shè)計”等。,其他設(shè)計準則：,MA設(shè)計準則很直觀，也很簡潔，但它是不是最好的？ 我們引入兩個基本的概念： 一般可以認為，主效應(yīng)和二階交互效應(yīng)是應(yīng)該考慮的，最多在某些時候考慮一下三階交互效應(yīng)，三階以上是應(yīng)該忽略的。 一個主效應(yīng)或二因子交互效應(yīng)如果不與其他主效應(yīng)或二因子交互效應(yīng)別名，那么我們稱這個主效應(yīng)（或二因子交互效應(yīng)）是純凈的。 一個純凈的效應(yīng)如果也不與任何三階交互效應(yīng)別名，則稱它是強純凈的。,一個新的設(shè)計準則就是：那些擁有最多純凈效應(yīng)的設(shè)計是最優(yōu)的。 兩個準則的區(qū)別與聯(lián)系： 在試驗次數(shù)和因子數(shù)都不太大的情形下，二者大多數(shù)是一致的，但隨著試驗次數(shù)和因子數(shù)的增大，二者的分歧越來越大。 我們考慮一個例子： 考慮兩個 設(shè)計： （1）I=1235=1246=3456 （2）I=125=1346=23456,字長型分別為： （0，3，0，0）和（1，1，1，0），因此從MA準則的角度考慮，設(shè)計（1）比設(shè)計（2）優(yōu)良。 但設(shè)計（1）沒有純凈的二因子交互作用，而設(shè)計（2）有6個，所以在某些場合設(shè)計（2）優(yōu)于設(shè)計（1），設(shè)計（2）的缺點在于它純凈的主效應(yīng)只有三個。 這兩個準則各有優(yōu)劣，應(yīng)該使用哪個應(yīng)視具體情況而定。,GMC準則,這個準則的形式很復(fù)雜，要表述清楚都需要很多新的定義和細節(jié)。它的思想是全面考慮所有效應(yīng)之間的別名關(guān)系，給出一個復(fù)雜的數(shù)組，然后順次最小化這個數(shù)組，注意MA設(shè)計也是順次最小化一個數(shù)組字長型。 但這個準則卻是一個最一般化的情形，MA準則和最多