湍流模型及其在CFD中的應(yīng)用.ppt

湍流模型及其在cfd中的應(yīng)用,如果在靜止的空氣里，點(diǎn)燃一個(gè)火炬，并且燃料源源不斷地供給，可以發(fā)現(xiàn)周?chē)臍怏w會(huì)做強(qiáng)烈的湍流流動(dòng)，同時(shí)這些氣流的湍流流動(dòng)會(huì)促使火焰愈燒愈旺。 上述過(guò)程涉及流動(dòng)、傳熱、傳質(zhì)和化學(xué)反應(yīng)。 提出問(wèn)題：湍流對(duì)那些過(guò)程有影響？哪些因素又反過(guò)來(lái)影響湍流？,一個(gè)例子,一、湍流及其數(shù)學(xué)描述,1、湍流流動(dòng)的特征 流體實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)reynolds數(shù)小于某一臨界值時(shí)，流動(dòng)是平滑的，相鄰的流體層彼此有序地流動(dòng)，這種流動(dòng)稱(chēng)為層流（laminar flow）。當(dāng) reynolds數(shù)大于臨界值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一系列復(fù)雜的變化，最終導(dǎo)致流動(dòng)特征的本質(zhì)變化，流動(dòng)呈無(wú)序的混亂狀態(tài)。這時(shí)，即使是邊界條件保持不變，流動(dòng)也是不穩(wěn)定的，速度、壓力、溫度等流動(dòng)特性都隨機(jī)變化，這種狀態(tài)稱(chēng)為湍流（turbulent flow）.,湍流流動(dòng)的兩個(gè)例子,larger structures,smaller structures,觀測(cè)表明，湍流帶有旋轉(zhuǎn)流動(dòng)結(jié)構(gòu)，這就是湍流渦（turbulent eddies），簡(jiǎn)稱(chēng)渦（eddy）。 從物理結(jié)構(gòu)上看，可以把湍流看成是由各種不同尺寸的渦疊合而成的流動(dòng)，這些渦的大小和旋轉(zhuǎn)軸的方向分布是隨機(jī)的。 大尺度的渦主要是由流動(dòng)的邊界條件所決定，其尺寸可以與流場(chǎng)的大小相比擬，它主要受慣性影響而存在，是引起低頻脈動(dòng)的原因； 小尺度的渦主要是由粘性力所決定的，其尺寸可能只是流場(chǎng)尺度的千分之一量級(jí)，是引起高頻脈動(dòng)的原因。,湍流渦的特點(diǎn),渦的生成與耗散,大尺寸的渦不斷地從主流中獲得能量，通過(guò)渦間相互作用，能量逐漸向小尺寸的渦傳遞。 最后由于流體粘性的作用，小尺度的渦就不斷消失，機(jī)械能就耗散為流體的熱能。 同時(shí)由于邊界的作用，擾動(dòng)及速度梯度的作用，新的渦又不斷產(chǎn)生，構(gòu)成了湍流運(yùn)動(dòng)。,對(duì)某些簡(jiǎn)單的均勻時(shí)均流場(chǎng)，如果湍流脈動(dòng)是均勻的、各向同性的，可以用經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行分析。 但實(shí)際上，湍流是不均勻的。,湍流是流體力學(xué)中的難題,湍流的作用,由于湍流的存在，速度脈動(dòng)量在流線方向的分量和垂直于流線方向的分量之間建立了關(guān)聯(lián)量，它代表著一種橫向交換通量，也可以認(rèn)為是由于湍流流動(dòng)引起的一種附加剪切應(yīng)力影響動(dòng)量的輸運(yùn)過(guò)程。 湍流的存在使傳熱和傳質(zhì)通量提高。 由于湍流會(huì)促進(jìn)這些基本過(guò)程，因此對(duì)某些物理現(xiàn)象就會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的影響，如，脈動(dòng)過(guò)程的消衰、均相化學(xué)反應(yīng)率的增加以及液滴蒸發(fā)的強(qiáng)化。,某些因素會(huì)影響湍流的形成。如，當(dāng)湍流定性尺度和脈動(dòng)強(qiáng)度非常小時(shí)，流體的粘度會(huì)直接影響當(dāng)?shù)氐耐牧鞫取?當(dāng)馬赫（mach）數(shù)達(dá)到5以上時(shí)，密度的脈動(dòng)量與當(dāng)?shù)氐耐牧饔忻芮械年P(guān)系。 強(qiáng)烈的化學(xué)反應(yīng)、氣流的旋轉(zhuǎn)流動(dòng)、顆粒的存在以及浮力或電磁場(chǎng)的作用，都會(huì)影響當(dāng)?shù)氐耐牧鹘Y(jié)構(gòu)。,外界因素對(duì)湍流的影響,2、湍流的基本方程,無(wú)論湍流運(yùn)動(dòng)多么復(fù)雜，非穩(wěn)態(tài)的連續(xù)方程和n-s方程對(duì)于湍流的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)仍然是適用的。在此，考慮不可壓流動(dòng)，使用笛卡爾坐標(biāo)系，速度矢量在x、y和z方向的分量分別為u、v和w，寫(xiě)出湍流瞬時(shí)控制方程如下：,(1),(2a),(2b),(2c),定義時(shí)均量,為了考察脈動(dòng)的影響，目前廣泛采用的是時(shí)間平均法，即把湍流運(yùn)動(dòng)看做由兩個(gè)流動(dòng)疊加而成，一是時(shí)間平均流動(dòng)，二是瞬時(shí)脈動(dòng)流動(dòng)。這樣，將脈動(dòng)分離出來(lái)，便于處理和進(jìn)一步探討?，F(xiàn)在，引入reynolds平均法，任一變量的時(shí)間平均定義為：,(3),這里，上標(biāo)“”代表對(duì)時(shí)間的平均值。如果用上標(biāo)“、”代表脈動(dòng)值，物理量的瞬時(shí)值、時(shí)均值 及脈動(dòng)值之間的關(guān)系如下：,時(shí)均量與脈動(dòng)量的關(guān)系,(4),現(xiàn)在用平均值和脈動(dòng)值之和代替流動(dòng)變量，即：,(5),將（5）代入瞬時(shí)狀態(tài)下的連續(xù)性方程（1）和動(dòng)量方程（2），并對(duì)時(shí)間取平均，得到湍流時(shí)均流動(dòng)的控制方程如下：,湍流時(shí)均流動(dòng)的控制方程,(6),(7a),(7b),(7c),時(shí)均輸運(yùn)方程的統(tǒng)一形式,(8),以上是假設(shè)流體密度為常數(shù)； 但是在實(shí)際流動(dòng)中，密度可能是變化的。 bradshaw等指出，細(xì)微的密度變動(dòng)并不對(duì)流動(dòng)造成明顯的影響 在此，忽略密度脈動(dòng)的影響，但考慮平均密度的變化，寫(xiě)出可壓湍流平均流動(dòng)的控制方程如下 注意，為方便起見(jiàn)，除脈動(dòng)值的時(shí)均值外，下式中去掉了表示時(shí)均值的上劃線符號(hào)“”，如 用表示,密度脈動(dòng)的影響,時(shí)均形式的連續(xù)方程,時(shí)均形式的n-s方程，又稱(chēng) reynolds時(shí)均n-s方程（簡(jiǎn)稱(chēng)rans）,（9）,（10）,湍流輸運(yùn)方程組,標(biāo)量的時(shí)均輸運(yùn)方程,（11）,湍流輸運(yùn)方程組,張量形式的時(shí)均輸運(yùn)方程,（12）,（13）,（14）,二、湍流的數(shù)值模擬方法簡(jiǎn)介,1、三維湍流數(shù)值模擬方法的分類(lèi) 湍流數(shù)值模擬方法可以分為直接數(shù)值模擬方法和非直接數(shù)值模擬方法。 所謂直接數(shù)值模擬方法是指求解瞬時(shí)湍流控制方程。 非直接數(shù)值模擬方法就是不直接計(jì)算湍流的脈動(dòng)特性，而是設(shè)法對(duì)湍流做某種程度的近似和簡(jiǎn)化處理，例如前面提到的時(shí)均性質(zhì)的 reynolds方法就是其中的一種典型方法。 根據(jù)依賴(lài)所采用的近似和簡(jiǎn)化方法不同，非直接數(shù)值模擬方法分為大渦模擬、統(tǒng)計(jì)平均法和reynolds平均法。,2、直接數(shù)值模擬（dns）簡(jiǎn)介,直接數(shù)值模擬方法就是直接用瞬時(shí)的n-s方程對(duì)湍流進(jìn)行計(jì)算，其最大的好處是無(wú)需對(duì)湍流流動(dòng)做任何簡(jiǎn)化或近似，理論上能得到相對(duì)準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。 但是，dns要求網(wǎng)格劃分的非常細(xì)，對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間及計(jì)算速度要求非常高，目前還無(wú)法用于真正意義上的工程計(jì)算。,3、大渦模擬（les）簡(jiǎn)介,由于就目前的計(jì)算能力而言，能夠采用的計(jì)算網(wǎng)格的最小尺度仍然比最小渦的尺度要大許多。因此，目前只能放棄對(duì)全尺度范圍上渦運(yùn)動(dòng)的模擬，而只將比網(wǎng)格尺度大的湍流運(yùn)動(dòng)通過(guò)n-s方程直接計(jì)算出來(lái)，對(duì)于小尺度渦對(duì)大尺度運(yùn)動(dòng)的影響則通過(guò)建立模型來(lái)模擬，從而形成了大渦模擬法（les）。,les方法的基本思想,用瞬時(shí)的n-s方程直接模擬湍流中的大尺度渦，不直接模擬小尺度的渦，而小渦對(duì)大渦的影響通過(guò)近似的模型來(lái)考慮。 les方法對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存及cpu速度要求仍然很高，但是低于dns法。,4、reynolds平均法（rans）簡(jiǎn)介,雖然瞬時(shí)n-s方程可以描述湍流，但是n-s方程的非線性使得用解析方法精確描寫(xiě)三維時(shí)間相關(guān)的全部細(xì)節(jié)極端困難。從工程應(yīng)用的觀點(diǎn)來(lái)看，重要的是湍流所引起的平均流場(chǎng)的變化，是整體效果。 reynolds平均法的核心不是直接求解瞬時(shí)的n-s方程，而是想辦法求解時(shí)均化的reynolds方程，這樣不僅可以避免dns方法計(jì)算量大的問(wèn)題，而且能夠滿足工程實(shí)踐應(yīng)用要求。 reynolds平均法是目前使用最廣的湍流數(shù)值模擬方法。,reynolds時(shí)均法分類(lèi),根據(jù)reynolds應(yīng)力作出的假定或處理的方式不同，目前常用的湍流模型有兩類(lèi)： reynolds應(yīng)力模型和渦粘模型。,1）reynolds應(yīng)力模型 reynolds應(yīng)力模型包括,reynolds應(yīng)力方程模型 代數(shù)應(yīng)力方程模型,2）渦粘模型 在渦粘模型中，不直接處理reynolds應(yīng)力項(xiàng)，而是引入湍流粘度（turbulent viscosity），或稱(chēng)湍流系數(shù)（eddy viscosity），然后把湍流應(yīng)力表示成湍流粘度的函數(shù)，這個(gè)計(jì)算的關(guān)鍵在于確定這種湍流粘度。,reynolds時(shí)均法分類(lèi),鮑瑟內(nèi)斯克(boussinesq)模型,最早的湍流數(shù)學(xué)模型，一百多年前提出的 針對(duì)二維邊界層問(wèn)題 把因湍流引起的、由脈動(dòng)速度相關(guān)聯(lián)的剪切應(yīng)力，模仿層流中以時(shí)間平均速度的梯度來(lái)表達(dá)，即建立了,（15）,這里， 為湍流粘度， 為時(shí)均速度， 是“kronecker delta”符號(hào)（ ），k為湍流動(dòng)能（turbulent kinetic energy）：,（16）,reynolds應(yīng)力與平均速度梯度的關(guān)系,boussinesq形式,在各向同性的前提下模仿層流輸運(yùn)，引入標(biāo)量的各向同性湍流粘性（渦粘性）系數(shù)概念,湍流動(dòng)力粘度t和湍流運(yùn)動(dòng)粘度t與層流中的和不同，后者是物性參數(shù)，由物質(zhì)的分子決定的，而前者由流動(dòng)特性所決定，依賴(lài)于流場(chǎng)中各點(diǎn)的湍流狀態(tài) boussinesq并沒(méi)有直接建立起求解t和t的公式，但從式（15）中可以看出，t或t正比于速度的一種值,湍流粘度的特點(diǎn),（15）,reynolds時(shí)均方程組通用形式,通用變量對(duì)各方程分別為1，vi，ys，cpt等，e/為輸運(yùn)系數(shù)，為湍流prandtl數(shù)或schimidt數(shù)，et ( +t)為有效粘性系數(shù)，t或t稱(chēng)為湍流粘性或渦流粘性系數(shù)，s為各方程源項(xiàng)。 在各向同性假定的前提下，按照boussinesq形式，湍流模型或湍流封閉的任務(wù)可歸結(jié)為尋求t或t的表達(dá)式或者其輸運(yùn)方程,boussinesq建立起式（15）后，關(guān)鍵問(wèn)題變成如何求得t值，引導(dǎo)出各種求t的數(shù)學(xué)模型。 這些模型分為兩大類(lèi)： 早期提出的代數(shù)方程模型只能解釋某些簡(jiǎn)單的流動(dòng)模型普朗特于1925年提出的混合長(zhǎng)度模型和馮卡門(mén)于1930年提出的相似律假設(shè)模型 微分方程模型,數(shù)學(xué)模型,零方程模型,一方程模型,兩方程模型,所謂的渦粘模型，就是把t 與湍流時(shí)均參數(shù)聯(lián)系起來(lái)的關(guān)系式。依據(jù)確定t的微分方程的數(shù)量的多少，渦粘模型包括：,目前兩方程模型在工程中使用最為廣泛，最基本的兩方程模型就是標(biāo)準(zhǔn)k-模型，即分別引入關(guān)于湍流動(dòng)能k和湍流耗散率的方程。此外，還有各種改進(jìn)的k-模型，其中比較著名的是rng k-模型和realizable k-模型。,零方程模型,所謂零方程模型就是不使用微分方程，而是用代數(shù)關(guān)系式，把湍流粘度與時(shí)均值聯(lián)系起來(lái)的模型，它只用湍流的時(shí)均連續(xù)方程和reynolds方程組成方程組，把方程組中的reynolds應(yīng)力用平均速度場(chǎng)的局部速度梯度來(lái)表示。,（12）,（13）,混合長(zhǎng)度模型的出發(fā)點(diǎn),零方程中最著名的是prandtl提出的混合長(zhǎng)度模型（mixing length model）。 該模型由兩個(gè)類(lèi)比的簡(jiǎn)單物理設(shè)想出發(fā)的。,1)層流粘性與湍流粘性的類(lèi)比,2)時(shí)均運(yùn)動(dòng)與脈動(dòng)的量綱對(duì)比,混合長(zhǎng)度模型的出發(fā)點(diǎn),由以上兩個(gè)類(lèi)比，混合長(zhǎng)度模型的湍流封閉代數(shù)表達(dá)式（邊界層問(wèn)題中）,直接用平均量梯度代數(shù)表達(dá)式來(lái)模擬reynolds時(shí)均方程組中未知的應(yīng)力或熱流、物質(zhì)流關(guān)聯(lián)項(xiàng)。 lm由實(shí)驗(yàn)或直觀判斷加以確定。,混合長(zhǎng)度模型的特點(diǎn),例子：對(duì)邊界層流動(dòng),對(duì)自由射流有： 平面淹沒(méi)射流 圓淹沒(méi)射流 其中x為沿流動(dòng)方向，b為射流寬度。lm與橫向距離y或r無(wú)關(guān) 對(duì)充分發(fā)展管流有 其中r為管半徑，y為距管壁距離,例子：自由射流、充分發(fā)展管流,von karman給出公式,對(duì)浮力流動(dòng)，如為穩(wěn)定分層（ri0），則有 其中,ri 稱(chēng)為梯度richardson數(shù)，為浮力梯度與速度梯度之比，lm0為無(wú)浮力時(shí)混合長(zhǎng)度。17,例子：浮力流,對(duì)不穩(wěn)定分層（ri 0），則有 其中2=14 浮力或ri越大則lm越小或湍流粘性越小，即浮力消弱湍流 湍流prandtl數(shù)t或schmidt數(shù)y，由經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定,例子：浮力流,在浮力流中，浮力對(duì)t的影響可表達(dá)為,其中t0為無(wú)浮力時(shí)的湍流prandtl數(shù) 上式意味著浮力越大（ri越大）則t越大或t及dt越小 浮力的增大使湍流導(dǎo)熱或湍流擴(kuò)散減弱的程度比使湍流粘性減弱的程度更厲害,例子：浮力流,優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)單，無(wú)須附加湍流特性的微分方程適用于簡(jiǎn)單流動(dòng)，如射流、邊界層、管流、噴管流動(dòng)等。另外，研究歷史較長(zhǎng)，積累了很多經(jīng)驗(yàn)。,缺點(diǎn)1：在 處必然是湍流粘性t為零，或剪力、熱流、擴(kuò)散流均為零與實(shí)際不符,通道內(nèi)中心線處t按該理論為零 柵網(wǎng)后方均勻流場(chǎng)中的t按該理論為零 實(shí)際上，均不為零,混合長(zhǎng)度模型的優(yōu)缺點(diǎn),混合長(zhǎng)度模型相當(dāng)于湍流能量達(dá)到局部平衡，即湍流的產(chǎn)生等于湍流的耗散，亦即認(rèn)為湍流的對(duì)流（上游影響）和擴(kuò)散（斷面上的混合）均為零。 缺點(diǎn)2：只有簡(jiǎn)單流動(dòng)中才能給出lm的表達(dá)式。對(duì)復(fù)雜流動(dòng)如拐彎或臺(tái)階后方有回流的流動(dòng)，就很難給出lm的規(guī)律。,混合長(zhǎng)度模型的優(yōu)缺點(diǎn),湍流動(dòng)能方程模型（單方程模型）,為了使reynolds方程組封閉，對(duì)其中的關(guān)聯(lián)項(xiàng) 等表征湍流特性的量繼續(xù)寫(xiě)輸運(yùn)方程，其中的第一個(gè)就是reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程 周培源先生在四十年代提出的 推導(dǎo)應(yīng)力輸運(yùn)方程的出發(fā)點(diǎn)是瞬態(tài)的n-s方程和時(shí)均reynolds方程,推導(dǎo)方法1,寫(xiě)出瞬時(shí)速度分量vi及vj的ns方程 將vj乘以vi的ns方程與vi 乘以vj的ns方程相加，得到vi vj的方程 對(duì)上述方程進(jìn)行reynolds展開(kāi)，取時(shí)平均，得到 的方程 將時(shí)均速度 乘以 的reynolds方程與 乘以 的reynolds方程相加，得到 的方程 上述兩者相減，便得到 的方程,推導(dǎo)方法2,將瞬時(shí)速度vi的ns方程與時(shí)平均速度 的reynolds方程相減，得到 的方程 用類(lèi)似辦法得到 方程 將vj乘以vi的方程與vi 乘以vj的方程相加，再取時(shí)平均，便得到 的方程,n-s方程,右端浮力項(xiàng)按boussinesq近似應(yīng)為gi，此處用體膨脹系數(shù),ik為粘性應(yīng)力張量，由廣義牛頓定律給出 瞬時(shí)速度分量vj的n-s方程,vivj的輸運(yùn)方程,將vj乘以vi的ns方程與vi 乘以vj的ns方程相加，得到vi vj的方程,對(duì)上式進(jìn)行reynolds展開(kāi)，即代入 取時(shí)平均，并考慮,時(shí)均速度 乘以 的reynolds方程加 乘以 的reynolds方程，得到 的輸運(yùn)方程 由 的輸運(yùn)方程減去 的輸運(yùn)方程，可得 到reynolds應(yīng)力 輸運(yùn)方程的精確形式 注意：其中 這些項(xiàng)可以被消去,左端第一、第二項(xiàng)分別為隨時(shí)間變化率及平均運(yùn)動(dòng)的對(duì)流，右端依次為湍流及分子擴(kuò)散項(xiàng)、剪力產(chǎn)生項(xiàng)、浮力產(chǎn)生項(xiàng)、粘性耗散項(xiàng)及壓力應(yīng)變項(xiàng),reynolds應(yīng)力諸分量中三個(gè)法向應(yīng)力分量之和的一半稱(chēng)為湍流動(dòng)能，即 由上述reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程的一般形式，當(dāng)取i=j，并忽略其中壓力應(yīng)變項(xiàng)，可得到湍流動(dòng)能k的守恒方程的精確形式：,上式中左端兩項(xiàng)分別為湍流動(dòng)能隨時(shí)間變化率及平均運(yùn)動(dòng)造成的湍流動(dòng)能對(duì)流； 右端第一項(xiàng)為各方向脈動(dòng)，壓強(qiáng)脈動(dòng)及分子運(yùn)動(dòng)造成的湍流動(dòng)能的輸運(yùn)，即湍流動(dòng)能的湍流擴(kuò)散再加上其分子擴(kuò)散； 右端第二項(xiàng)為湍流應(yīng)力與平均速度梯度作用造成的湍流產(chǎn)生，即平均動(dòng)能和湍能間的轉(zhuǎn)化； 右端第三項(xiàng)為浮力造成的湍能產(chǎn)生（或銷(xiāo)毀），即湍能與重力位能間的轉(zhuǎn)化，或自然對(duì)流對(duì)湍流的影響； 右端最后一項(xiàng)為湍能的粘性耗散,湍流脈動(dòng)是一種能量，是總體動(dòng)能（時(shí)均動(dòng)能加脈動(dòng)動(dòng)能）的一部分 服從一般輸運(yùn)定理或守恒定理有對(duì)流、擴(kuò)散、產(chǎn)生及耗散 有學(xué)者提出由求解湍流特性（包括湍能）的微分方程來(lái)確定湍流粘性，規(guī)定,所謂湍能方程模型或單方程模型封閉法，就是首先用模擬法封閉k方程，然后再由代數(shù)式給定l，從而使reynolds時(shí)均方程組封閉 k方程右端的二階及三階關(guān)聯(lián)項(xiàng)未知精確形式的k方程不封閉 需用模擬假設(shè)使三階關(guān)聯(lián)項(xiàng)降階，并使二階關(guān)聯(lián)項(xiàng)表達(dá)為平均量的函數(shù),基本思路受分子輸運(yùn)及混合長(zhǎng)度模型的啟發(fā)，用梯度模擬 取應(yīng)力正比于速度梯度，質(zhì)量流正比于濃度梯度，熱流正比于溫度梯度 擴(kuò)散項(xiàng) 剪力產(chǎn)生項(xiàng) 浮力產(chǎn)生項(xiàng),對(duì)耗散項(xiàng)由量綱分析，取 而 因此有 耗散項(xiàng)：,模擬后的k方程,其中 已經(jīng)廣為應(yīng)用的k方程，l仍需由經(jīng)驗(yàn)式給定,邊界層中湍能方程及其簡(jiǎn)化,無(wú)浮力的平面二維邊界層流動(dòng)，k方程可化為 如果忽略非定常項(xiàng)、對(duì)流及擴(kuò)散，取局部平衡關(guān)系，即令產(chǎn)生項(xiàng)等于耗散項(xiàng)，則有,由定義可知 則可以寫(xiě) 或 由此得到 或 上兩個(gè)式子就是混合長(zhǎng)度模型的表達(dá)式混合長(zhǎng)度模型是單方程模型的極端情況，或其簡(jiǎn)化形式（忽視對(duì)流與擴(kuò)散）,對(duì)單方程模型的評(píng)價(jià),單方程模型克服了混合長(zhǎng)度模型的不足，考慮了湍能經(jīng)歷效應(yīng)（對(duì)流）及混合效應(yīng)（擴(kuò)散） 但是要用單方程模型封閉，必須預(yù)先給定l的代數(shù)表達(dá)式,單方程模型,在零方程模型中，湍流粘度 和混合長(zhǎng)度lm都把reynolds應(yīng)力和當(dāng)?shù)仄骄俣忍荻认嗦?lián)系，是一種局部平衡的概念，忽略了對(duì)流和擴(kuò)散的影響。為了彌補(bǔ)混合長(zhǎng)度假定的局限性，在使用湍流時(shí)均連續(xù)方程（12）和reynolds方程（13）的基礎(chǔ)上，再建立一個(gè)湍流動(dòng)能k的輸運(yùn)方程，而 表示成k的函數(shù)，從而可使方程封閉。這里，湍流動(dòng)能k的輸運(yùn)方程可寫(xiě)為：,（17）,方程中各項(xiàng)依次為瞬態(tài)項(xiàng)、對(duì)流項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)、產(chǎn)生項(xiàng)、耗散項(xiàng)。,由kolmogorov-prandtl表達(dá)式，有：,（18）,其中，k，cd， c為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，多數(shù)文獻(xiàn)建議：k=1， c=0.09。而 cd 的取值在不同的文獻(xiàn)中結(jié)果不同，從0.08到0.38不等。但這個(gè)問(wèn)題在后面要介紹的雙方程模型中不存在。l為湍流脈動(dòng)的長(zhǎng)度比尺，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式或?qū)嶒?yàn)確定。,式（17）、（18）構(gòu)成單方程模型，單方程模型考慮到湍流的對(duì)流輸運(yùn)和擴(kuò)散輸運(yùn)，因此比零方程模型更加合理。但是，一方程模型中如何確定長(zhǎng)度比尺l仍為不易解決的問(wèn)題，因此很難得到推廣應(yīng)用。,單方程模型中的湍流粘度,標(biāo)準(zhǔn)k- 兩方程模型,標(biāo)準(zhǔn)k-模型是在上面介紹的單方程模型的基礎(chǔ)上，新引入一個(gè)關(guān)于湍流耗散率的方程后形成的。該模型是目前使用最廣泛的湍流模型。,k雙方程模型,湍流由各種不同尺寸的渦團(tuán)所構(gòu)成 大渦團(tuán)是脈動(dòng)能量的主要攜帶者含能渦團(tuán) 小渦團(tuán)為耗散渦團(tuán) 湍流渦團(tuán)尺度是可以輸運(yùn)的量 各種渦團(tuán)的輸運(yùn)及其間相互作用，渦團(tuán)尺度在流場(chǎng)中也有對(duì)流、擴(kuò)散、產(chǎn)生（小渦團(tuán)的耗散生產(chǎn)大渦團(tuán)）及耗散（大渦團(tuán)拉伸成小渦團(tuán)）,湍流尺度l的輸運(yùn)方程 推廣言之，對(duì)湍流粘性t=c k1/2l spalding和launder曾總結(jié)出一個(gè)廣義的第二參量z=kmln，一般形式的z方程：,不同學(xué)者推薦的不同的z,其中k-雙方程模型的應(yīng)用及經(jīng)受的檢驗(yàn)最為普遍,標(biāo)準(zhǔn)k- 模型的定義,在關(guān)于湍動(dòng)能k的方程的基礎(chǔ)上，再引入一個(gè)關(guān)于湍動(dòng)耗散率的方程，便形成了k-兩方程模型，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)k-模型（standard k- model）。在模型中，表示湍動(dòng)耗散率（turbulent dissipation rate）的被定義為：,（19）,湍動(dòng)粘度 可表示成k和的函數(shù)，即：,其中，c為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。,原始的方程,與推導(dǎo)k方程類(lèi)似 設(shè)湍流各向同性，忽略某些各向異性部分，得到輸運(yùn)方程的原始形式，或有條件地稱(chēng)為的精確方程 左端第一，第二項(xiàng)分別為時(shí)間變化率及對(duì)流，右端第一、第二、第三、第四項(xiàng)分別為湍流擴(kuò)散、分子擴(kuò)散、產(chǎn)生項(xiàng)（渦旋拉伸）及粘性耗散項(xiàng),封閉后的方程,對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)采用梯度模擬 由一般概念出發(fā)，設(shè)的產(chǎn)生和耗散正比于k的產(chǎn)生和耗散 由量綱分析 方程的源項(xiàng)可模擬為 方程,在標(biāo)準(zhǔn)k-模型中， k和是兩個(gè)基本未知量，與之相對(duì)應(yīng)的輸運(yùn)方程為：,（20）,（21）,其中，gk是由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能k的產(chǎn)生項(xiàng)，gb是由于浮力引起的湍動(dòng)能k的產(chǎn)生項(xiàng)，ym代表可壓湍流中脈動(dòng)擴(kuò)張的貢獻(xiàn)，c1、c2和c3為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，k和分別是與湍動(dòng)能k和耗散率對(duì)應(yīng)的prandtl數(shù)，sk和s是用戶(hù)定義的源項(xiàng)。,標(biāo)準(zhǔn)k- 模型,gk是由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能k的產(chǎn)生項(xiàng)，由下式計(jì)算：,（22）,gb是由于浮力引起的湍動(dòng)能k的產(chǎn)生項(xiàng)，對(duì)于不可壓流體， gb=0。對(duì)于可壓流體，有：,（23）,標(biāo)準(zhǔn)k- 模型中的有關(guān)公式,prt是湍動(dòng)prandtl數(shù)，在該模型中可取prt=0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是熱膨脹系數(shù)，可由可壓流體的狀態(tài)方程求出，其定義為：,（24）,ym代表可壓湍流中脈動(dòng)擴(kuò)張的貢獻(xiàn)，對(duì)于不可壓流體，ym=0。對(duì)于可壓流體，有：,（25）,其中，mt是湍流mach數(shù)，,標(biāo)準(zhǔn)k- 模型中的有關(guān)公式,在標(biāo)準(zhǔn)的k-模型中，根據(jù)launder等的推薦值及后來(lái)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，模型常數(shù) 的取值為：,（26）,對(duì)于可壓縮流體的流動(dòng)計(jì)算中與浮力相關(guān)的系數(shù)c3，當(dāng)主流方向與重力方向平行時(shí)，有c3=1，當(dāng)主流方向與重力方向垂直時(shí)，有c3=0。,標(biāo)準(zhǔn)k- 模型中的系數(shù),根據(jù)以上分析，當(dāng)流體為不可壓，且不考慮用戶(hù)自定義源項(xiàng)時(shí)，,（27）,（28）,這時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)k-模型變?yōu)椋?采用標(biāo)準(zhǔn)k-模型求解流動(dòng)及換熱問(wèn)題時(shí)，控制方程包括連續(xù)性方程、動(dòng)量方程、能量方程、k方程、方程與式（20）。若不考慮熱交換的單純流場(chǎng)計(jì)算問(wèn)題，則不需要包含能量方程。如考慮傳質(zhì)或者有化學(xué)變化的情況，則應(yīng)再加入組分方程。這些方程都可以表示為下面通用形式：,（29）,若用散度符號(hào)，上式記為：,（30）,標(biāo)準(zhǔn)k- 模型的控制方程組,標(biāo)準(zhǔn)k- 模型的控制方程組,在將各變量的控制方程都寫(xiě)成式（30）所示的統(tǒng)一形式后，控制方程的離散化及求解方法可以得到統(tǒng)一，不同變量的區(qū)別僅在于擴(kuò)散系數(shù)、廣義源項(xiàng)及初值、邊界條件這三方面。,標(biāo)準(zhǔn)k- 模型的解法,1）模型中的有關(guān)系數(shù)，主要根據(jù)一些特殊條件下的試驗(yàn)結(jié)果而確定的，在不同的文獻(xiàn)討論不同的問(wèn)題時(shí)，這些值可能有出入。在數(shù)值計(jì)算的過(guò)程中，針對(duì)特定的問(wèn)題，參考相關(guān)文獻(xiàn)，尋求更合理的取值。,標(biāo)準(zhǔn)k- 模型的適用性,2）上述k- 模型，是針對(duì)湍流發(fā)展非常充分的湍流流動(dòng)來(lái)建立的，是一種針對(duì)高re數(shù)的湍流計(jì)算模型，而當(dāng)re數(shù)較低時(shí)，例如，在近壁區(qū)內(nèi)的流動(dòng)，湍流發(fā)展并不充分，湍流的脈動(dòng)影響可能不如分子粘性的影響大，在更貼近壁面的底層內(nèi)，流動(dòng)可能處于層流狀態(tài)。因此，對(duì)re數(shù)較低的流動(dòng)使用上面建立的k-模型進(jìn)行計(jì)算，就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。這時(shí)，必須采用特殊的處理方式，以解決近壁區(qū)內(nèi)的流動(dòng)計(jì)算及低re數(shù)時(shí)的流動(dòng)問(wèn)題。使用上面的k-模型可能就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。常用解決方法有壁面函數(shù)法和低re數(shù)的k-模型。,標(biāo)準(zhǔn)k- 模型的適用性,3） 標(biāo)準(zhǔn)k-模型比零方程模型和一方程模型有了很大改進(jìn)，但是對(duì)于強(qiáng)旋流、彎曲壁面流動(dòng)或彎曲流線流動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一定失真。原因是在標(biāo)準(zhǔn)k-模型中，對(duì)于reynolds應(yīng)力的各個(gè)分量，假定粘度系數(shù)t是相同的，即假定t是各向同性的標(biāo)量。而在彎曲流線的情況下，湍流是各向異性的，t應(yīng)該是各向異性的張量。,標(biāo)準(zhǔn)k-模型的適用性,在rng k-模型中，通過(guò)在大尺度運(yùn)動(dòng)和修正后的粘度項(xiàng)體現(xiàn)小尺度的影響，而使這些小尺度運(yùn)動(dòng)有系統(tǒng)地從控制方程中去除。所得到的k方程和方程，與標(biāo)準(zhǔn)k-模型非常相似：,（31）,（32）,rng k-模型,其中，,（33）,rng k-模型中的系數(shù),rng k-模型主要變化是：,1）通過(guò)修正湍動(dòng)粘度，考慮了平均流動(dòng)中的旋轉(zhuǎn)及旋流流動(dòng)情況； 2）在方程中增加了一項(xiàng)，從而反映了主流的時(shí)均應(yīng)變率eij，這樣， rng k-模型中產(chǎn)生項(xiàng)不僅與流動(dòng)情況有關(guān)，而且在同一問(wèn)題中也還是空間坐標(biāo)的函數(shù)。 從而， rng k-模型可以更好處理高應(yīng)變率及流線彎曲程度較大的流動(dòng)。,rng k-模型與標(biāo)準(zhǔn)k-模型的比較,需要注意的是，rng k-模型仍針對(duì)充分發(fā)展的湍流是有效的，是高re數(shù)的湍流計(jì)算模型，而對(duì)近壁區(qū)內(nèi)的流動(dòng)及re數(shù)較低的流動(dòng)，必須使用下面將要介紹的壁面函數(shù)法或低re數(shù)的k-模型來(lái)模擬。 此外，需要說(shuō)明一點(diǎn)，在fluent手冊(cè)中，將rng k-模型所引入的反映主流的時(shí)均應(yīng)變率eij的一項(xiàng)，歸入了方程中的c2系數(shù)中，且表達(dá)式多了一個(gè)系數(shù)c，而不像這里歸入c1系數(shù)。這兩種處理方式實(shí)質(zhì)上是一樣的。,rng k-模型,標(biāo)準(zhǔn)k-模型對(duì)時(shí)均應(yīng)變率特別大的情況，有可能導(dǎo)致負(fù)的正壓力。為使流動(dòng)符合湍流的物理定律，需要對(duì)正應(yīng)力進(jìn)行某種數(shù)學(xué)約束。為保證這種約束的實(shí)現(xiàn)，認(rèn)為湍流粘度計(jì)算式中的系數(shù)c不應(yīng)是常數(shù)，而應(yīng)與應(yīng)變率聯(lián)系起來(lái)。從而，提出了realizable k-模型。這里， realizable有“可實(shí)現(xiàn)”的意思。,realizble k-模型,（34）,（35）,其中，,（36）,realizble k-模型形式,式中，與 c按下式計(jì)算：,（37）,（38）,realizble k-模型中的系數(shù),（39）,其中，,realizble k-模型中的系數(shù),上面的 是從角速度k為參考系中觀察到的時(shí)均轉(zhuǎn)動(dòng)速率張量，顯然對(duì)無(wú)旋轉(zhuǎn)的流場(chǎng)，上式中 計(jì)算式根號(hào)中的第二項(xiàng)為零，這一項(xiàng)是專(zhuān)門(mén)用以表示旋轉(zhuǎn)影響的，也是本模型的特點(diǎn)之一。,realizble k-模型中的系數(shù),湍流粘度計(jì)算公式發(fā)生了變化，引入了與旋轉(zhuǎn)和曲率有關(guān)的內(nèi)容。 方程發(fā)生了很大變化，方程中的產(chǎn)生項(xiàng)不再包含有k方程中的產(chǎn)生項(xiàng)gk，這樣，現(xiàn)在的形式更好地表示了光譜的能量轉(zhuǎn)換。 方程中的倒數(shù)第二項(xiàng)不具有任何奇異性，即使k值很小或?yàn)榱?，分母也不?huì)為零。這與標(biāo)準(zhǔn)k-模型和rng k-有很大區(qū)別。,realizble k-模型與標(biāo)準(zhǔn)k-模型,realizable k-模型已被有效地用于各種不同類(lèi)型的流動(dòng)模擬，包括旋轉(zhuǎn)均勻剪切流、包含有射流和混合流的自由流動(dòng)、管道內(nèi)流動(dòng)、邊界層流動(dòng)，以及帶有分離的流動(dòng)等。,realizble k-模型適用性,在近壁區(qū)使用k-模型的問(wèn)題,k-模型都是高re數(shù)的湍流模型，可是，在近壁區(qū)內(nèi)的流動(dòng)，re數(shù)較低，湍流發(fā)展并不充分，湍流的脈動(dòng)影響不如分子粘性的影響大，湍流應(yīng)力幾乎不起作用，這樣在這個(gè)區(qū)域內(nèi)就不能使用前面的k-模型就行計(jì)算，必須采用特殊的處理方式。 下面介紹：壁面函數(shù)法和低re數(shù)k-模型。,一是不對(duì)粘性影響比較明顯的區(qū)域（粘性底層和過(guò)渡層）進(jìn)行求解，而是用一組半經(jīng)驗(yàn)公式（即壁面函數(shù)）將壁面上的物理量與湍流核心區(qū)內(nèi)的相應(yīng)物理量聯(lián)系起來(lái)，這就是壁面函數(shù)法。 另一種途徑是采用低re數(shù)k-模型來(lái)求解粘性影響比較明顯的區(qū)域（粘性底層和過(guò)渡層），這時(shí)要求在壁面劃分比較細(xì)密的網(wǎng)格。越靠近壁面，網(wǎng)格越細(xì)。 這兩種方法都可與標(biāo)準(zhǔn)k-模型和rng k- 模型等配合，成功地解決近壁區(qū)及低re數(shù)情況下的流動(dòng)計(jì)算問(wèn)題。,解決這個(gè)問(wèn)題有兩個(gè)途徑,壁面函數(shù)法（wall functions）實(shí)際是一組半經(jīng)驗(yàn)公式，用于將壁面上的物理量與湍流核心區(qū)內(nèi)待求的未知量直接聯(lián)系起來(lái)。它必須與高re數(shù)k-模型配合使用。 壁面函數(shù)法的基本思想是：對(duì)于湍流核心區(qū)的流動(dòng)使用k-模型求解，而在壁面區(qū)不進(jìn)行求解，直接使用半經(jīng)驗(yàn)公式將壁面上的物理量與湍流核心區(qū)內(nèi)的求解變量聯(lián)系起來(lái)。這樣，不需要對(duì)壁面區(qū)內(nèi)的流動(dòng)進(jìn)行求解，就可直接得到與壁面相鄰控制體積的節(jié)點(diǎn)變量值。,壁面函數(shù)法,在壁面區(qū)，流體運(yùn)動(dòng)受壁面流動(dòng)條件的影響比較明顯，壁面區(qū)可分為三個(gè)子層： 1）粘性底層 2）過(guò)渡層 3）對(duì)數(shù)律層,近壁區(qū)流動(dòng)特點(diǎn),粘性底層是一個(gè)緊貼固體壁面的極薄層，其中粘性力在動(dòng)量、熱量及質(zhì)量交換中起主導(dǎo)作用，湍流切應(yīng)力可以忽略，所以流動(dòng)幾乎是層流流動(dòng)，平行于壁面的速度分量沿壁面法線方向?yàn)榫€性分布。 過(guò)渡層處于粘性底層的外面，其中粘性力與湍流切應(yīng)力的作用相當(dāng)，流動(dòng)狀態(tài)比較復(fù)雜，很難用一個(gè)公式或定律來(lái)描述。由于過(guò)渡層厚度極小，所以在工程計(jì)算中通常不明顯劃出，歸入對(duì)數(shù)律層。 對(duì)數(shù)律層處于最外層，其中粘性力的影響不明顯，湍流切應(yīng)力占主要地位，流動(dòng)處于充分發(fā)展的湍流狀態(tài)，流速分布接近對(duì)數(shù)律。,三層的特點(diǎn),為了用公式描述粘性底層和對(duì)數(shù)律層內(nèi)的流動(dòng)，引入如下無(wú)量鋼參數(shù)，分別表示速度和距離：,（40）,（41）,其中，u是流體的時(shí)均速度，u是壁面摩擦速度 ，w是壁面切應(yīng)力，y是到壁面的距離。,公式描述,當(dāng) 時(shí)，所對(duì)應(yīng)的區(qū)域是粘性底層，這時(shí)速度沿壁面法線方向呈線性分布，即：,當(dāng) 時(shí)，流動(dòng)處于對(duì)數(shù)律層，這時(shí)速度沿壁面法線方向呈對(duì)數(shù)律分布，即：,其中，為karman常數(shù)，b和e是與表面粗糙有關(guān)的常數(shù)，對(duì)于光滑壁面有=0.4，b=5.5，e=9.8，壁面粗糙度的增加將使得b值減小。,注意，上面給出各子層的 分界值，只是近似值。有的文獻(xiàn)介紹 對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)律層。有的文獻(xiàn)推薦將 作為粘性底層與對(duì)數(shù)律層的分界點(diǎn)。,1）動(dòng)量方程中變量u的計(jì)算式,當(dāng)與壁面相鄰的控制體積的節(jié)點(diǎn)滿足 時(shí)，流動(dòng)處于對(duì)數(shù)律層，此時(shí)的速度up為,（42）,推薦 按下式計(jì)算,（43）,此時(shí)的壁面切應(yīng)力 w滿足如下關(guān)系：,（44）,式中，up是節(jié)點(diǎn)p的時(shí)均速度，kp是節(jié)點(diǎn)p的湍動(dòng)能，yp是節(jié)點(diǎn)p到壁面的距離，是流體的動(dòng)力粘度。,當(dāng)與壁面相鄰的控制體積的節(jié)點(diǎn)滿足 時(shí)，控制體積內(nèi)的流動(dòng)處于粘性底層，此時(shí)的速度up由層流應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 決定。,能量方程以溫度t為求解未知量，為了建立計(jì)算網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的溫度與壁面上的物理量之間的聯(lián)系，定義新的參數(shù)t+如下：,（45）,式中，tp是與壁面相鄰的控制體積的節(jié)點(diǎn)p處的溫度，tw是壁面上的溫度，是流體密度，cp是流體的比熱容，qw是壁面上的熱流密度。,能量方程中溫度t的計(jì)算式,壁面函數(shù)法通過(guò)下式將計(jì)算網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的溫度t與壁面上的物理量相聯(lián)系：,（46）,3）湍動(dòng)能方程與耗散率方程中的k和的計(jì)算式 在k-模型和后面的rsm模型中，k方程是在包括與壁面相鄰的的控制體積內(nèi)的所有計(jì)算域上進(jìn)行求解，在壁面上湍動(dòng)能k的邊界條件是：,（47）,其中n是垂直于壁面的局部坐標(biāo)。,在與壁面相鄰的控制體積內(nèi)，構(gòu)成k方程源項(xiàng)的湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)gk，及耗散率，按局部平衡假定來(lái)計(jì)算，即在與壁面相鄰的控制體積內(nèi)gk 和都是相等的。從而， gk按下式計(jì)算：,（48）, 按下式計(jì)算,（49）,注意，在與壁面相鄰的控制體積上是不對(duì)方程進(jìn)行求解的，直接按式（49）確定節(jié)點(diǎn)的。,由上分析可見(jiàn)，針對(duì)各求解變量（包括平均流速、溫度、k和）所給出的壁面邊界條件均由壁面函數(shù)考慮到了，所以不用擔(dān)心壁面處的邊界條件。,上述壁面函數(shù)法是fluent選用的默認(rèn)方法，它對(duì)各種壁面流動(dòng)都非常有效。相對(duì)于后面要介紹的低re數(shù)k- 模型，壁面函數(shù)法計(jì)算效率高，工程實(shí)用性強(qiáng)。而采用低re數(shù)k- 模型時(shí)，因壁面區(qū)（粘性底層和過(guò)渡層）內(nèi)的物理量變化非常大，因此，必須使用細(xì)密的網(wǎng)格，從而造成計(jì)算成本的提高。當(dāng)然，壁面函數(shù)法無(wú)法象低re數(shù)k- 模型那樣得到粘性底層和過(guò)渡層內(nèi)的“真實(shí)”速度分布。,但是壁面函數(shù)法也有一定的局限性，當(dāng)流動(dòng)分離過(guò)大或近壁面流動(dòng)處于高壓之下時(shí)，則此方法不是很理想。為此，fluent還提供了非平衡的壁面函數(shù)法及增強(qiáng)的壁面函數(shù)法。,低re數(shù)k-模型,上面介紹的壁面函數(shù)法的表達(dá)式主要是根據(jù)簡(jiǎn)單的平行流動(dòng)邊界層的實(shí)測(cè)資料而歸納出來(lái)的，同時(shí)，這種方法并未對(duì)壁面區(qū)內(nèi)部的流動(dòng)進(jìn)行“細(xì)致”的研究，尤其是粘性底層內(nèi)，分子粘性的作用并未有效地計(jì)算。為了使基于k- 模型的數(shù)值計(jì)算能從高re數(shù)區(qū)域一直進(jìn)行到固體壁面上（re為零），許多學(xué)者提出了對(duì)高re數(shù)k- 模型進(jìn)行修改的方案。這里介紹jones和launder提出的低re數(shù)k- 模型。,1）為體現(xiàn)分子粘性的影響，控制方程的擴(kuò)散系數(shù)項(xiàng)必須同時(shí)包括湍流擴(kuò)散系數(shù)與分子擴(kuò)散系數(shù)兩部分。 2）控制方程的有關(guān)系數(shù)必須考慮不同流態(tài)的影響，即在系數(shù)計(jì)算公式中引入湍流雷諾數(shù)ret，這里 3）在k方程中應(yīng)考慮壁面附近湍動(dòng)能的耗散不是各向同性這一因素。,低re數(shù)的流動(dòng)主要體現(xiàn)在粘性底層，流體的分子粘性起著絕對(duì)支配地位，因此必須對(duì)高re數(shù)k- 模型進(jìn)行三方面修改，才能使其用于計(jì)算各種re數(shù)的流動(dòng)：,低re數(shù)k-模型的輸運(yùn)方程,（50）,（51）,式中，,（52）,n代表壁面法向坐標(biāo)，u為與壁面平行的流速。在實(shí)際計(jì)算中，方向n可近似取為x、y和z中最滿足條件的一個(gè)，速度u也做類(lèi)似處理。式中“”所圍部分就是低re數(shù)k- 模型區(qū)別于高re數(shù)k- 模型的部分。,系數(shù)f1，f2，fu的引入，實(shí)際上等于對(duì)標(biāo)準(zhǔn)k- 模型中系數(shù)c1、 c2和c進(jìn)行的修正，計(jì)算如下：,（53）,顯然，當(dāng)ret很大時(shí)， f1，f2和fu均趨于1。,在上述方程中，除了對(duì)標(biāo)準(zhǔn)k- 模型中有關(guān)系數(shù)進(jìn)行修正外，jones和launder的模型中在k和的方程中還各自引入了一個(gè)附加項(xiàng)。k方程（50）中的附加項(xiàng) 是為了考慮在粘性底層中湍動(dòng)能的耗散不是各向同性的這一因素而加入的。,（50）,k方程的附加項(xiàng),在高ret的區(qū)域，湍動(dòng)能的耗散可以看成是各向同性的，而在粘性底層中，總耗散率中各向異性部分的作用逐漸增加。方程（51）中的附加項(xiàng) 是為了使k的計(jì)算與某些實(shí)驗(yàn)測(cè)定值符合的更好而加入的。,（51）,方程的附加項(xiàng),在使用低re數(shù)k-模型進(jìn)行流動(dòng)計(jì)算時(shí)，充分發(fā)展的湍流核心區(qū)及粘性底層均用同一套公式計(jì)算，但由于粘性底層的速度梯度大，因此在粘性底層的網(wǎng)格要密。 建議當(dāng)局部湍流的ret數(shù)小于150時(shí)，就應(yīng)該用低re數(shù)k-模型，而不能使用高re數(shù)k-模型進(jìn)行計(jì)算。,reynolds 應(yīng)力方程模型（rsm）,上面介紹的各種兩方程模型都采用各向同性的湍流粘度來(lái)計(jì)算湍流應(yīng)力，這些模型難于考慮旋轉(zhuǎn)流動(dòng)及流動(dòng)方向表面曲率變化的影響。 為了克服這些缺點(diǎn)，有必要直接對(duì)reynolds方程中的湍流脈動(dòng)應(yīng)力直接建立微分方程式并進(jìn)行求解。建立reynolds應(yīng)力的方程有兩種：一是reynolds應(yīng)力方程模型，二是代數(shù)應(yīng)力方程模型。,1、 reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程,（54）,方程中第一項(xiàng)為瞬態(tài)項(xiàng)，其他各項(xiàng)依次為： cij：對(duì)流項(xiàng) dt,ij：湍動(dòng)擴(kuò)散項(xiàng) dl,ij：分子粘性擴(kuò)散項(xiàng) pij：剪應(yīng)力產(chǎn)生項(xiàng) gij：浮力產(chǎn)生項(xiàng) ij：壓力應(yīng)變項(xiàng) ij：粘性耗散項(xiàng) fij：系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生項(xiàng),上式各項(xiàng)中，cij、dl,ij、pij和fij均只包含二階關(guān)聯(lián)項(xiàng)，不必進(jìn)行處理。可是，dt,ij、gij、ij和ij包含有未知的關(guān)聯(lián)項(xiàng)，必須象前面構(gòu)造k方程和方程的過(guò)程一樣，構(gòu)造其合理的表達(dá)式，即給出各項(xiàng)的模型，才能得到真正有意義的reynolds應(yīng)力方程。,1）湍動(dòng)擴(kuò)散項(xiàng)dt,ij的計(jì)算,可通過(guò)daly和harlow所給出的廣義梯度擴(kuò)散模型來(lái)計(jì)算,（55）,但是有的文獻(xiàn)認(rèn)為該式可能導(dǎo)致數(shù)值上不穩(wěn)定，推薦下式,（56）,式中，t是湍動(dòng)粘度，按標(biāo)準(zhǔn)k-模型中 來(lái)計(jì)算，系數(shù)k=0.82，注意該值在realizable k-模型中為1.0。,2）浮力產(chǎn)生項(xiàng)gij的計(jì)算式,（57）,其中，t是溫度，prt是能量的湍動(dòng)prandtl數(shù)，在該模型中可取prt=0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是熱膨脹系數(shù)。對(duì)于理想氣體，有：,（58）,如果流體是不可壓的，則gij=0。,3）壓力應(yīng)變項(xiàng)ij的計(jì)算,壓力應(yīng)變項(xiàng)ij的存在是reynolds應(yīng)力模型與k-模型的最大區(qū)別之處，由張量的縮并原理和連續(xù)方程可知， kk=0。因此， ij僅在湍流各分量間存在，當(dāng) 時(shí)，它表示減小剪切應(yīng)力，使湍流趨向于各向同性；當(dāng) 時(shí)，它表示使湍動(dòng)能在各應(yīng)力分量間重新分配，對(duì)總量無(wú)影響。可見(jiàn)，此項(xiàng)并不產(chǎn)生脈動(dòng)能量，僅起到再分配作用。因此，有的文獻(xiàn)稱(chēng)此項(xiàng)為再分配項(xiàng)。,（59）,其中，ij,1是慢的壓力應(yīng)變項(xiàng)， ij,2是快的壓力應(yīng)變項(xiàng)， ij,w是壁面反射項(xiàng)。,ij相對(duì)普遍的形式,ij,1計(jì)算式如下：,（60）,這里，c1=1.8。 ij,2計(jì)算式如下：,（61）,這里，c2=0.60。 pij的定義見(jiàn)式（54），p=pkk/2。,（62）,這里，c1=0.5， c2=0.3，nk是壁面單位法向矢量的xk分量，d是研究的位置到固體壁面的距離， ，其中c=0.09，k是karman常數(shù)，k=0.4187。,壁面反射項(xiàng) ij,w負(fù)責(zé)對(duì)近壁面處的正壓力進(jìn)行再分配。它有使垂直于壁面的應(yīng)力變?nèi)?，而使平行于壁面的?yīng)力變強(qiáng)的趨勢(shì)。,耗散項(xiàng)表示分子粘性對(duì)reynolds應(yīng)力產(chǎn)生的耗散。在建立耗散項(xiàng)的計(jì)算公式時(shí)，認(rèn)為大尺度渦承擔(dān)動(dòng)能輸運(yùn)，小尺度渦承擔(dān)粘性耗散，因此小尺度渦團(tuán)可以看成是各向同性的。即認(rèn)為局部各向同性。依照該假設(shè)，耗散項(xiàng)可最終寫(xiě)成：,（63）,最后，綜合上面各計(jì)算方程，得到封閉的reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程。,4）粘性耗散項(xiàng)ij的計(jì)算,（64）,2、rsm的控制方程組及其解法,在上述得到的reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程中，包含湍動(dòng)能k和耗散率，為此，在使用rsm時(shí)，需要補(bǔ)充k和的方程如下：,（65）,（66）,式中，pij是剪應(yīng)力產(chǎn)生項(xiàng)，根據(jù)式（54）計(jì)算。gij是浮力產(chǎn)生項(xiàng)，根據(jù)（57）或（58）計(jì)算，對(duì)于不可壓流體， gij=0。是湍動(dòng)粘度，按下式計(jì)算：,（67）,最后，可以通過(guò)simple等算法進(jìn)行求解。,取值分別為：,為常數(shù)。,c3是與局部流動(dòng)方向相關(guān)的一個(gè)數(shù)，當(dāng)主流方向與重力方向平行時(shí)，有c3=1，當(dāng)主流方向與重力方向垂直時(shí)，有c3=0,3、對(duì)rsm適用性的討論,與標(biāo)準(zhǔn)k-模型一樣，rsm也屬于高re數(shù)的湍流計(jì)算模型，在固體壁面附近，由于分子粘性的作用，湍流脈動(dòng)受到阻尼，re數(shù)很小，上述方程不再適用。因此，必須采用壁面函數(shù)法，或低re數(shù)的rsm來(lái)處理近壁面區(qū)的流動(dòng)計(jì)算問(wèn)題。 關(guān)于低re數(shù)的rsm，其基本思想是修正高re數(shù)rsm中耗散函數(shù)（擴(kuò)散項(xiàng)）及壓力應(yīng)變重新分配項(xiàng)的表達(dá)式，以使rsm模型方程可以直接應(yīng)用到壁面上。,由上述方法建立的對(duì)壓力應(yīng)變項(xiàng)等的計(jì)算公式可以看出，盡管rsm比k-模型應(yīng)用范圍更廣，包含更多的物理機(jī)理，但它仍有很多缺陷。 計(jì)算實(shí)踐表明，rsm雖能考慮一些各向異性效應(yīng)，但并不一定比其他模型效果更好，在計(jì)算突擴(kuò)流動(dòng)分離區(qū)和計(jì)算湍流輸運(yùn)各向異性較強(qiáng)的流動(dòng)時(shí)，rsm優(yōu)于雙方程模型，但對(duì)于一般的回流流動(dòng)，rsm的結(jié)果不一定比k-模型要好。,另一方面，就三維計(jì)算而言，采用rsm意味著要多求解6個(gè)reynolds應(yīng)力的微分方程，計(jì)算量大，對(duì)計(jì)算機(jī)的要求高。 因此，rsm不如k-模型應(yīng)用更廣泛，但是rsm是一種更有潛力的湍流模型。,八、代數(shù)應(yīng)力方程模型（asm）,由于rsm過(guò)于復(fù)雜，計(jì)算量大，有許多學(xué)者從rsm出發(fā)，建立reynolds應(yīng)力的代數(shù)方程模型，即將rsm中包含reynolds應(yīng)力微商的項(xiàng)用不包含微商的表達(dá)式去代替，就形成了代數(shù)應(yīng)力方程模型（algebraic stress equation model，簡(jiǎn)稱(chēng)asm）。,1、asm的應(yīng)力方程,在對(duì)rsm中的reynolds應(yīng)力方程進(jìn)行簡(jiǎn)化時(shí)，重點(diǎn)集中在對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)的處理上。 一種簡(jiǎn)化方案是采用局部平衡假定，即reynolds應(yīng)力的對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)之差為零； 另一種簡(jiǎn)化方案是假定reynolds應(yīng)力的對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)之差正比與湍動(dòng)能k的對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)之差。現(xiàn)以第一種簡(jiǎn)化方案為例，給出asm的代數(shù)應(yīng)力方程。,當(dāng)假定reynolds應(yīng)力的對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)之差為零時(shí)，根據(jù)方程（54）中的記法，有：,（68）,代入式（54），在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的湍流條件下，有：,（69）,現(xiàn)考慮無(wú)浮力作用，系統(tǒng)無(wú)旋轉(zhuǎn)、忽略固體壁面的反射影響時(shí)，將上式與reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程（64）相聯(lián)系后，有：,（70）,從而有：,（71）,這就是代數(shù)應(yīng)力方程。,2、asm的控制方程組及其求解,除了式（70）表示的6個(gè)應(yīng)力方程外，asm的其他控制方程組與rsm所使用的相同，即時(shí)均連續(xù)方程，reynolds方程、應(yīng)力方程、k方程和方程，共12個(gè)方程構(gòu)成了asm的基本控制方程組。,方程組的變量可以通過(guò)simple等算法求解。 對(duì)于近壁面區(qū)的流動(dòng)計(jì)算，仍需要采用壁面函數(shù)法或其他方法來(lái)處理。,3、asm的特點(diǎn),asm是將各向異性的影響合并到reynolds應(yīng)力中進(jìn)行計(jì)算的一種經(jīng)濟(jì)算法，當(dāng)然，因其要解6個(gè)代數(shù)方程組，其計(jì)算量還是遠(yuǎn)大于k-模型。 asm雖然不象k-模型應(yīng)用廣泛，但可用于k-模型不能滿足要求的場(chǎng)合以及不同的傳輸假定對(duì)計(jì)算精度影響不是十分明顯的場(chǎng)合。例如，對(duì)于像方形管道和三角形管道內(nèi)的扭曲和二次流的模擬，由于流動(dòng)特征是由reynolds正應(yīng)力的各向異性造成的，因此使用標(biāo)準(zhǔn)k-模型得不到理想的結(jié)果，而使用asm就非常有效。,考慮各向異性的渦k-模型也在發(fā)展，如前面介紹的各種改進(jìn)的k-模型，這使得asm模型的深入應(yīng)用受到一定的影響。但是仍有許多文獻(xiàn)認(rèn)為asm模型是目前最有應(yīng)