高中數(shù)學(xué)第一章集合與函數(shù)概念1.3函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1單調(diào)性與最大（?。┲档?課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案.docx

1.3函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念，會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性(重點(diǎn)、難點(diǎn)).2.會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性(重點(diǎn)).知識(shí)點(diǎn)1增函數(shù)與減函數(shù)【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)已知f(x)，因?yàn)閒(1)f(2)，所以函數(shù)f(x)是增函數(shù).()(2)增減函數(shù)定義中的“任意兩個(gè)自變量的值x1，x2”可以改為“存在兩個(gè)自變量的值x1，x2”.()(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2和(2，3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，3)上為增函數(shù).()提示(1)由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，要證明一個(gè)函數(shù)是增函數(shù)，需對(duì)定義域內(nèi)的任意的自變量都滿足自變量越大，函數(shù)值也越大，而不是個(gè)別的自變量.(2)不能改為“存在兩個(gè)自變量的值x1，x2”.(3)反例：f(x)知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間.【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(1)函數(shù)f(x)x22x3的單調(diào)減區(qū)間是_.(2)函數(shù)y|x|在區(qū)間2，1上()A.遞減 B.遞增C.先減后增 D.先增后減解析(1)二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x1，故其單調(diào)減區(qū)間是(，1).(2)函數(shù)y|x|的單減區(qū)間是(，0)，又2，1(，0)，所以函數(shù)y|x|在區(qū)間2，1上遞減.答案(1)(，1)(2)A題型一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】(1)如圖所示的是定義在區(qū)間5，5上的函數(shù)yf(x)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_、_，在區(qū)間_、_上是增函數(shù).(2)畫出函數(shù)yx22|x|1的圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)解析觀察圖象可知，yf(x)的單調(diào)區(qū)間有5，2，2，1，1，3，3，5.其中yf(x)在區(qū)間5，2，1，3上是增函數(shù)，在區(qū)間2，1，3，5上是減函數(shù).答案2，13，55，21，3(2)解y即y函數(shù)的大致圖象如圖所示，單調(diào)增區(qū)間為(，1，0，1，單調(diào)減區(qū)間為1，0，1，).規(guī)律方法根據(jù)函數(shù)的圖象求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)作出函數(shù)圖象；(2)把函數(shù)圖象向x軸作正投影；(3)圖象上升對(duì)應(yīng)增區(qū)間，圖象下降對(duì)應(yīng)減區(qū)間.【訓(xùn)練1】函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間是_.解析y的圖象可由函數(shù)y的圖象向右平移一個(gè)單位得到，如圖所示，其單調(diào)遞減區(qū)間是(，1)和(1，).答案(，1)，(1，)題型二證明函數(shù)的單調(diào)性【例2】證明函數(shù)f(x)x在區(qū)間(2，)上是增函數(shù).證明任取x1，x2(2，)，且x1x2，則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2).因?yàn)?x1x2，所以x1x24，x1x240，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以函數(shù)f(x)x在(2，)上是增函數(shù).規(guī)律方法利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟【訓(xùn)練2】證明函數(shù)f(x)在(，0)上是增函數(shù).證明設(shè)x1，x2是區(qū)間(，0)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1x2，則f(x1)f(x2).因?yàn)閤1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)在(，0)上是增函數(shù).題型三利用單調(diào)性解不等式【例3】已知函數(shù)yf(x)在定義域(1，1)上是減函數(shù)，且f(1a)f(2a1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由題知解得0a，即所求a的取值范圍是.規(guī)律方法利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法當(dāng)函數(shù)f(x)的解析式未知時(shí)，欲求解不等式，可以依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，將符號(hào)“f”脫掉，列出關(guān)于未知量的不等式(組)，然后求解，此時(shí)注意函數(shù)的定義域.【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間1，1上的增函數(shù)，則滿足f(x)f的實(shí)數(shù)x的取值范圍是_.解析由題意得解得1x0，即k，故k的取值范圍是.答案4.若函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，且f(a1)f(2a)，則a的取值范圍是_.解析由條件可知a11.答案(1，)5.證明f(x)x2x在(0，)上是增函數(shù).證明任取x1，x2(0，)，且x1x2，則f(x1)f(x2)xx1xx2(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x21).因?yàn)閤1x20，所以x1x20，x1x210，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)x2x在(0，)上是增函數(shù).課堂小結(jié)1.對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解(1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個(gè)函數(shù)在定義域的不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的x1，x2有以下幾個(gè)特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字絕不能丟掉，證明單調(diào)性時(shí)更不可隨意以兩個(gè)特殊值替換；二是有大小，通常規(guī)定x1x2；三是屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間.(3)單調(diào)性能使自變量取值之間的不等關(guān)系和函數(shù)值的不等關(guān)系正逆互推，即由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)f(x2)x1x2).(4)并不是所有函數(shù)都具有單調(diào)性.若一個(gè)函數(shù)在定義區(qū)間上既有增區(qū)間又有減區(qū)間，則此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上不存在單調(diào)性.2.單調(diào)性的證明方法證明f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性應(yīng)按以下步驟：(1)設(shè)元：設(shè)任意x1，x2D且x1x2；(2)作差：將函數(shù)值f(x1)與f(x2)作差；(3)變形：將上述差式(因式分解、配方等)變形；(4)判號(hào)：對(duì)上述變形的結(jié)果的正、負(fù)加以判斷；(5)定論：對(duì)f(x)的單調(diào)性作出結(jié)論.其中變形為難點(diǎn)，變形一定要到位，即變形到能簡(jiǎn)單明了地判斷符號(hào)的形式為止，切忌變形不到位就定號(hào).基礎(chǔ)過關(guān)1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，2)上為增函數(shù)的是()A.y5x B.yx22C.y D.y|x|解析選項(xiàng)A，C，D中的函數(shù)在(0，2)上是減函數(shù)，只有函數(shù)yx22在(0，2)上是增函數(shù).答案B2.已知函數(shù)f(x)x24xc，則()A.f(1)cf(2) B.cf(2)f(1)f(2) D.f(1)cf(2)解析二次函數(shù)f(x)x24xc圖象的對(duì)稱軸為x2，且開口向上，所以在2，)上為增函數(shù)，所以f(2)f(0)cf(2).答案D3.若函數(shù)yx2(2a1)x1在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C.(3，) D.(，3解析函數(shù)yx2(2a1)x1的圖象是開口向上，以直線x為對(duì)稱軸的拋物線，又函數(shù)在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，故2，解得a，故選B.答案B4.函數(shù)yx(2x)的遞增區(qū)間是_.解析yx(2x)x22x，其圖象開口向下，其對(duì)稱軸是x1，故其遞增區(qū)間是(，1.答案(，15.定義在(2，2)上的函數(shù)f(x)是增函數(shù)，且滿足f(1a)f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析由題設(shè)知實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足：解得ax21，x1x20，x110，x210，0，即y1y20，y1y2，y在(1，)上是增函數(shù).7.已知f(x)(1)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解(1)f(x)作出其圖象如圖所示.(2)由f(x)的圖象可得，單調(diào)遞減區(qū)間為：3，2，0，1)，3，6；遞增區(qū)間為：2，0)，1，3.能力提升8.下列有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的是()A.若f(x)為增函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則f(x)g(x)為增函數(shù)B.若f(x)為減函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)g(x)為減函數(shù)C.若f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)g(x)為增函數(shù)D.若f(x)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則f(x)g(x)為減函數(shù)解析若f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)g(x)的增減性不確定.例如f(x)x2為R上的增函數(shù)，當(dāng)g(x)x時(shí)，則f(x)g(x)2為增函數(shù)；當(dāng)g(x)3x，則f(x)g(x)2x2在R上為減函數(shù).故不能確定f(x)g(x)的單調(diào)性.答案C9.已知f(x)是定義在R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是()A. B.C. D.解析要使f(x)在(，)上為減函數(shù)，必須同時(shí)滿足3個(gè)條件：g(x)(3a1)x4a在(，1)上為減函數(shù)；h(x)x1在1，)上為減函數(shù)；g(1)h(1).所以所以a.答案C10.函數(shù)f(x)在(a，)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是_.解析函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1，)，(，1)，又f(x)在(a，)上單調(diào)遞減，所以a1.答案1，)11.函數(shù)yf(x)在(2，2)上為增函數(shù)，且f(2m)f(m1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.解析由題意知解得m1.答案12.利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減.證明設(shè)任意x1，x2(1，1)，且x1x2，則f(x1)f(x2).因?yàn)閤10.又0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減.13.(選做題)函數(shù)f(x)對(duì)任意的a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1.(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(4)5，解不等