離散時間系統(tǒng)及卷積.ppt

第十章 離散時間系統(tǒng)及卷積,10.1 離散時間系統(tǒng),1、離散系統(tǒng)的概念,離散時間系統(tǒng)是指輸入及輸出信號均是離散信號的系統(tǒng)。,2、離散系統(tǒng)的互聯(lián),輸出,a.系統(tǒng)的級聯(lián),b.系統(tǒng)的并聯(lián),c.系統(tǒng)的混聯(lián),3、離散時間系統(tǒng)的模型,10.2 離散時間系統(tǒng)的分類,1、線性系統(tǒng),2、時不變系統(tǒng),3、因果系統(tǒng),4、穩(wěn)定系統(tǒng),對有界輸入信號的響應(yīng)還是有界信號的系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 或者說，如果輸入信號的幅度限制在某個范圍之內(nèi)，則輸出信號的幅度也限制在某個范圍之內(nèi)。,10.3 離散時間系統(tǒng)的描述,1、系統(tǒng)函數(shù),對應(yīng)連續(xù)時間系統(tǒng)中的h(t)，離散時間系統(tǒng)中有h(n)。,2、系統(tǒng)函數(shù)的物理含義,3、從系統(tǒng)函數(shù)到卷積,系統(tǒng),h(n),n,(n),n,T,f(n),系統(tǒng),h(n)f(0),t,于是輸入信號f(n)的輸出就等于一系列h(n)（經(jīng)過加權(quán)和移位）的疊加,T,f(t),h(n-1)f(1),t,h(n-k)f(k),t,s(t),于是，借助系統(tǒng)函數(shù)-即沖激響應(yīng)函數(shù)，我們就在系統(tǒng)的輸入信號與輸出信號之間建立了一種明確的數(shù)學(xué)關(guān)系，這種數(shù)學(xué)關(guān)系就是卷積關(guān)系。,4、卷積的性質(zhì)及一類特殊的卷積,卷積具有如下重要性質(zhì)： 交換率：s (n)h(n)= h(n) s (n) 分配率： s (n)h1(n)+h2(n)= s(n) h1 (n)+ s(t) h2 (n),5、一類特殊的卷積,h(n)=(n)的系統(tǒng)又被稱為恒等系統(tǒng),10.4 離散互聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng),1、級聯(lián)系統(tǒng),系統(tǒng)1,輸入,系統(tǒng)2,輸出,h1(n),h2(n),系統(tǒng)h(n),此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)： h(n)=h1(n)h2(n),2、并聯(lián)系統(tǒng),h1(n),h2(n),系統(tǒng)h(n),此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)： h(n)=h1(n)+h2(n),系統(tǒng)1,輸入,系統(tǒng)2,輸出,3、混聯(lián)系統(tǒng),此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)： h(t)=h1(t)h2(t)+ h3(t) h4(t),h1(t),h2(t),h3(t),h4(t),10.5 卷積的頻域性質(zhì),1、時域與頻域的關(guān)系,時域卷積等價于頻域乘積，即,于是，我們在系統(tǒng)沖激響應(yīng)函數(shù)、輸入信號、輸出信號之間建立了聯(lián)系，這種聯(lián)系不僅體現(xiàn)在時域中，而且體現(xiàn)在頻域中。 基于這些聯(lián)系，我們可以分析和解決很多問題,1）級聯(lián)系統(tǒng),系統(tǒng)1,輸入,系統(tǒng)2,輸出,h1(n),h2(n),系統(tǒng)h(n),此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)： h(n)=h1(n)h2(n)H()=H1()H2(),2）并聯(lián)系統(tǒng),h1(n),h2(n),系統(tǒng)h(n),此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)： h(n)=h1(n)+h2(n) H()=H1()+H2(),系統(tǒng)1,輸入,系統(tǒng)2,輸出,3）混聯(lián)系統(tǒng),此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)： h(n)=h1(n)h2(n)+ h3(n) h4(n) H()=H1()H2()+H3() H4(),h1(n),h2(n),h3(n),h4(n),2、輸出信號的求解,應(yīng)當(dāng)注意的是，有些情況下，采用時域法求解較為容易，而有些情況下，采用頻域法較為方便。,舉例：,si(n),h(n),n,n,si(0),si(1),si(0)引起的輸出=2h(n),si(1)引起的輸出=3h(n-1),n,n,總的輸出=2h(n)+3h(n-1),n,2,3,1,2,1,2,4,2,3,6,3,2,7,8,3,3、時域卷積等價與頻域乘積的物理意義,從廣義上看，任何一個系統(tǒng)h(n)，都可以看成是一個濾波器。因為它們均實現(xiàn)了一定的頻率選擇性。 解釋同連續(xù)時間系統(tǒng),10.6 系統(tǒng)沖激響應(yīng)函數(shù)的求解,得到H()之后可以通過逆離散付里葉變換反解出系統(tǒng)沖激響應(yīng)函數(shù)h(n)。,10.7 DFT和圓周卷積,1、園周移位,x(n)，n=0,1,2,N-1的信號的圓周移位又寫成N 具體方法如下圖。,n,X(n),n,N,n,N,3,3,3,n,N,3,n,N,3,2、園周卷積,我們知道，前面介紹求解輸出信號時可以采用頻域法，即對輸入x(n)，系統(tǒng)h(n)，求解輸出y(n)時，可以先求Y()=X()H()，再反變換回去得y(n)，不過，反變換涉及積分，不太方便計算機處理。 問題，有沒有其他的辦法在頻域也離散化，即根據(jù)Y(k)來求解y(n)？,回答：有，而且實際的處理中，結(jié)合FFT，IFFT，就是用這種方法來處理的。 我們知道： 對x(n)，h(n)，n0,N)，其周期拓展后的信號的離散付里葉變換(DFT)為X(k)，H(k)， k0,N)。 假設(shè)Y(k)=X(k)H(k)。 那么問題是，Y(k)做逆離散付里葉變換(IDFT)得到的y(n)是什么？,舉例來看：,h(n),n,3,n,3,n,3,n,3,在0,N-1內(nèi)=圓周移位 N,n,3,n,3,在0,N-1內(nèi)=圓周移位 N,n,3,n,3,在0,N-1內(nèi)=圓周移位 N,回答，如不做特殊處理，園卷積與正常卷積不同，在做特殊處理之后，可以相同。 問題：一個K點的h(n)和一個L點的x(n)正常卷積可以得到一個多少點的y(n)？ 回答：K+L-1點。,例如：,h(n)=1,2,3,4,n,3,x(n)=1,2,2,1,n,3,h(0-m),m,3,x(m),m,3,同理：,h(1-m),m,3,x(m),m,3,繼續(xù)移動，最終正常卷積得到的 y(n)=1,4,9,15,16,11,4共7點 下面看園周卷積,園周卷積：,N,m,3,x(m),m,3,解釋：N是怎樣得來的：,h(m),m,3,h(-m),m,3,周期延拓,m,3,取0N-1點,m,N,3,有了N，自然求 解N 就方便了，實際上就是不斷地向右做園周移位,園周卷積：,N,m,3,x(m),m,3,依次有： y(n)=17,15,13,15。顯然同前面的y(n)不同。 問題，如何處理才能使y(n)=y(n)? 回答：將K點的x(n)，L點的h(n)通過補0分別展成K+L-1點的序列，再做園周卷積即可。,還用上例：,h(n)=1,2,3,4,0,0,0,n,7,x(n)=1,2,2,1, 0,0,0,n,7,補0展長后的序列,展長后的園周卷積：,N,m,7,x(m),m,7,注：N的獲取仍采用前面介紹過的方法,展長后的園周卷積：,N,m,7,x(m),m,7,依次可得y(n)=1,4,9,15,16,11,4=y(n) 上述方法的頻域?qū)崿F(xiàn)是： 第一步，將K點的x(n)和L點的h(n)展成K+L-1點的序列。 第二步，分別做展長后的序列的離散付里葉變換X(k)和H(k) 第三步，將X(k)和H(k)相乘得Y(k) 第四步，將Y(k)做反離散付里葉變換得y(n)即可。,需要說明的是，展長序列的長度只要大于K+L-1即可。故在實際使用中，往往選擇一個長度（2M），該值是大于K+L-1的且最貼近K+L-1的2的整數(shù)次冪，當(dāng)然也可以選其他的2的整數(shù)次冪，只要大于K+L-1 即可，但這樣做會使運算量大增，所以誰也不這樣用。 于是可以利用FFT和IFFT完成上述步驟。具體描述如下。,第一步，將K點的x(n)和L點的h(n)展成大于K+L-1點且最貼近的2M長序列。 第二步，分別做展長后的序列的FFT變換得X(k)和H(k) 第三步，將X(k)和H(k)相乘得Y(k) 第四步，將Y(k)做IFFT變換得y(n)即可。,10.8 總結(jié),這一章，我們介紹了離散時間系統(tǒng)的概念，及性質(zhì)：線性、移不變、因果、穩(wěn)定 介紹了離散系統(tǒng)函數(shù)，及離散沖激響應(yīng)函數(shù)，并從離散輸出輸入的關(guān)系引出離散卷積的概念，并介紹了離散卷積的性質(zhì)。 然后就離散輸入輸出之間的關(guān)系問題在時域和頻域分別進行了討論，即在時域內(nèi)，輸出信號是輸入信號與沖激響應(yīng)的卷積，在頻域內(nèi)，輸出信號