Rel第4章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型描述.ppt

第四章 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的描述,控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在控制系統(tǒng)的研究中有著相當(dāng)重要的地位，要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真處理，首先應(yīng)當(dāng)知道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后才可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模擬。同樣，如果知道了系統(tǒng)的模型，才可以在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制器，使得系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到預(yù)期的效果，從而符合工程實(shí)際的需要。,在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學(xué)模型形式有：傳遞函 數(shù)模型（系統(tǒng)的外部模型）、狀態(tài)方程模型（系統(tǒng)的內(nèi)部模 型）、零極點(diǎn)增益模型和部分分式模型等。這些模型之間都 有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進(jìn)行轉(zhuǎn)換。,按系統(tǒng)性能分：線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)；連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)；定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)；確定系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)。 按控制目標(biāo)分：定值系統(tǒng)和隨動(dòng)系統(tǒng) 1、線性連續(xù)系統(tǒng)：用線性微分方程式來(lái)描述，如果微分方程的系數(shù)為常數(shù)，則為定常系統(tǒng)；如果系數(shù)隨時(shí)間而變化，則為時(shí)變系統(tǒng)。我們討論的系統(tǒng)主要以線性連續(xù)定常(時(shí)不變）系統(tǒng)（LTI）為主。 2、線性定常離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)指系統(tǒng)的某處或多處的信號(hào)為脈沖序列或數(shù)碼形式。這類系統(tǒng)用差分方程來(lái)描述。 3、非線性系統(tǒng)：系統(tǒng)中有一個(gè)元部件的輸入輸出特性為非線性的系統(tǒng)。 4、隨動(dòng)系統(tǒng)：仿形加工，跟蹤系統(tǒng)（循跡、清淤、雷達(dá)）,4.1 控制系統(tǒng)的分類,4.2 線性連續(xù)定常系統(tǒng)描述,一、LTI線性連續(xù)系統(tǒng)的微分方程模型,微分方程是控制系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)，一般來(lái)講， 利用機(jī)械學(xué)、電學(xué)、力學(xué)等物理規(guī)律，便可 以得到控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，這些方程對(duì)于 線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言是一種常系數(shù)的線性 微分方程。,如果已知輸入量及變量的初始條件，對(duì)微分方程進(jìn)行求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并由此對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。 通過(guò)拉氏變換和反變換，可以得到線性定常系統(tǒng)的解析解，這種方法通常。然而通常尋找解析解是困難的。MATLAB提供了微分方程的數(shù)值解法函數(shù)，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，也適用于非線性及時(shí)變系統(tǒng)。,例,電路圖如下，R=1.4歐，C=0.32法，初始狀態(tài)：電流i（t）為零，電容電壓u（t）為0V，t=0時(shí)刻接通電壓r（t），求出系統(tǒng)微分方程和傳遞函數(shù)。,微分方程,把上述公式中的u換成c表示，則有,連續(xù)系統(tǒng)的微分方程模型一般形式如下：,式中 a, b 為實(shí)常數(shù)，m = n,對(duì)微分方程（3）兩端做Laplace變換（參見(jiàn)下表）,求得傳遞函數(shù),二、連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型,把上述推導(dǎo)傳遞函數(shù)公式中的U換成C表示，則有,注意：1.式中正斜兩種字體C和R的含義是不同的; 2.T=RC=1.4 x 0.32=0.448,對(duì)線性定常系統(tǒng)，式中s的系數(shù)均為常數(shù)，且a0不等于零，這時(shí)系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)向量唯一地確定出來(lái)，這兩個(gè)向量分別用num和den表示。 num=b0,b1,bm-1,bm （numerator） den=a0,a1,an-1,an （denominator） 注意：1.它們都是按s的降冪進(jìn)行排列的。 2.分子分母都是多項(xiàng)式的形式簡(jiǎn)稱為 t f 型,連續(xù)系統(tǒng)LTI的傳遞函數(shù)模型一般形式如下：,零極點(diǎn)模型實(shí)際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對(duì)原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的表示形式。,在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型用z,p,k矢量組表示。即： z=z1,z2,zm p=p1,p2,.,pn k=k 注意：分子分母都是因式相乘的形式簡(jiǎn)稱為zpk型,三、零極點(diǎn)增益模型,k為系統(tǒng)增益，zi為零點(diǎn)，pj為極點(diǎn),四、部分分式展開,狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱為動(dòng)態(tài)方程，經(jīng)典控制理論用傳遞函數(shù)將輸入輸出關(guān)系表達(dá)出來(lái)，而現(xiàn)代控制理論則用狀態(tài)方程和輸出方程來(lái)表達(dá)輸入輸出關(guān)系，揭示了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。u-輸入變量，y-輸出變量，x-狀態(tài)變量,五、狀態(tài)空間模型,在MATLAB中，系統(tǒng)狀態(tài)空間用（A,B,C,D)矩陣組表示。 常用格式：sys=ss(a,b,c,d) 對(duì)應(yīng)A,B,C,D sys=ss(a,b,c,d,Pt1,Val1,Pt2,Val2.) 狀態(tài)空間模型一般簡(jiǎn)稱為SS型,六、傳遞函數(shù)描述綜合例 1）分子分母多項(xiàng)式型 用 t f 函數(shù)來(lái)處理 num=12,24,0,20; den=2 4 6 2 2; sys= t f（num，den）,2）零極點(diǎn)增益模型1 借助多項(xiàng)式乘法函數(shù)conv（A,B) 來(lái)處理 （conv同時(shí)也是卷積函數(shù)convelution，因多項(xiàng)式乘法運(yùn)算就是就是多項(xiàng)式系數(shù)向量之間的卷積運(yùn)算） num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6); den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1conv(1,1,1,3,2,5); % conv內(nèi)部只能含2個(gè)變量，但可以嵌套使用, sys=tf(num,den) Transfer function: 4 s5 + 56 s4 + 288 s3 + 672 s2 + 720 s + 288 - s7 + 6 s6 + 14 s5 + 21 s4 + 24 s3 + 17 s2 + 5 s 原式：,3) 零極點(diǎn)增益模型2： 借助ZPK(z,p,k)函數(shù)來(lái)處理 z=-0.1,-0.2; p=-0.3,-0.3; k=1; sys1=zpk(z,p,k) Zero/pole/gain: (s+0.1) (s+0.2) - (s+0.3)2 零極點(diǎn)形式, sys2=tf(sys1) Transfer function: s2 + 0.3 s + 0.02 - s2 + 0.6 s + 0.09 多項(xiàng)式形式,4）部分分式展開處理： 用函數(shù)residue處理 num=2,0,9,1; den=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den) ,p= 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000,k= 2,r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000,結(jié)果表達(dá)式：,5) 狀態(tài)空間模型 用Matlab建立狀態(tài)空間模型 a=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14; b=4 6; 2 4; 2 2; 1 0; c=0 0 2 1; 8 0 2 2; d=0; sys=ss(a,b,c,d) 結(jié)果見(jiàn)ess1.m實(shí)際運(yùn)行,4.3 線性定常離散系統(tǒng)描述,一、差分方程模型,式中 a, b 為實(shí)常數(shù)，m = n,二、脈沖傳遞函數(shù)模型,此為上述差分方程進(jìn)行z變換后對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù) 通用模型，與連續(xù)系統(tǒng)中的G(s)完全類似。 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)可以通過(guò)Matlab互相轉(zhuǎn)換。即 G(s)G(z),與LTI系統(tǒng)完全類似，MATLAB傳遞函數(shù)模型生成命令中用是否包含采樣周期選項(xiàng)來(lái)區(qū)分所處理的系統(tǒng)是不是脈沖傳遞函數(shù)，即離散系統(tǒng)。 在離散系統(tǒng)中，若沒(méi)有指定采樣周期，則應(yīng)用-1或 來(lái)代替，不能空缺。,例：4.2六1）中的傳遞函數(shù)例題,生成離散傳遞函數(shù)模型： （指定采樣周期0.1s，若未指定 則標(biāo) 1或 ） num=12 24 0 20; den=2 4 6 2 2; sys= t f（num，den，0.1） 結(jié)果： Transfer function: 12 z3 + 24 z2 + 20 - 2 z4 + 4 z3 + 6 z2 + 2 z + 2 （自動(dòng)變成z算子） Sampling time: 0.1,生成離散傳遞函數(shù)模型： （未指定采樣周期標(biāo) 1或 ） num=12 24 0 20; den=2 4 6 2 2; sys= t f（num，den， ） 結(jié)果： Transfer function: 12 z3 + 24 z2 + 20 - 2 z4 + 4 z3 + 6 z2 + 2 z + 2 （自動(dòng)變成z算子） Sampling time: unspecified,不指定采樣周期時(shí)：,4.4 數(shù)學(xué)模型參數(shù)的獲取 Matlab可以不經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換從LTI系統(tǒng)的一種模型得到其他模型的參數(shù)，稱為模型參數(shù)獲取函數(shù)： tfdata(sys,v) 多項(xiàng)式型（v-返回向量） ssdata(sys) 狀態(tài)空間型（返回元胞數(shù)組） zpkdata (sys,v) 零極點(diǎn)型 frddata (sys,v) 頻率響應(yīng)型 例：已知tf為 num=3 2 5 4 6； den=1 3 4 2 7 2; z,p,k=zpkdata(tf(num,den),v) 結(jié)果得到零極點(diǎn)向量為：,z = 0.4019 + 1.1965i 0.4019 - 1.1965i -0.7352 + 0.8455i -0.7352 - 0.8455i p = -1.7680 + 1.2673i -1.7680 - 1.2673i 0.4176 + 1.1130i 0.4176 - 1.1130i -0.2991 k = 3,在一些場(chǎng)合下需要用到某種模型，而在另外一些場(chǎng)合下可能需要另外的模型，這就需要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換。 模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)包括： residue：傳遞函數(shù)模型與部分分式模型互換 ss2tf： 狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型 ss2zp： 狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型 tf2ss： 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型 tf2zp： 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型 zp2ss： 零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型 zp2tf： 零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型,4.5 模型的轉(zhuǎn)換與連接,一、模型的轉(zhuǎn)換,用法舉例： 1）已知系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為： ss - t f A=0 1; -1 -2; B=0;1; C=1,3; D=1; num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu) iu用來(lái)指定第n個(gè)輸入，當(dāng)只有一個(gè)輸入時(shí)可忽略。 num=1 5 2; den=1 2 1; ss - zpk z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1,2）已知一個(gè)單輸入三輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為： t f-ss num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6; A,B,C,D=tf2ss(num,den) A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0,3）系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型： zpk-t f z=-3;p=-1,-2,-5;k=6; num,den=zp2tf(z,p,k) num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10 zpk-ss a,b,c,d=zp2ss(z,p,k) a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零極點(diǎn)的輸入可以寫出行向量，也可以寫出列向量。,4）已知部分分式： rpk-t f r=-0.25i,0.25i,-2; p=2i,-2i,-1;k=2; num,den=residue(r,p,k) num= 2 0 9 1 den= 1 1 4 4 注意！余式一定要與極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。 本例與4.2六4）的例題互為逆轉(zhuǎn)換。,1、并聯(lián)：parallel 加 格式： sys=parallel(sys1,sys2) 并聯(lián)連接兩個(gè)LTI系統(tǒng)或相同T(采樣周期)的離散系統(tǒng)。 sys=parallel(sys1,sys2,inp1,inp2,out1,out2) inp1和inp2分別指定兩系統(tǒng)中要連接在一起的輸入端編號(hào)，從u1,u2,un依次編號(hào)為1,2,n； out1和out2分別指定要作相加的輸出端編號(hào)，編號(hào)方式與輸入類似。inp1和inp2既可以是標(biāo)量也可以是向量。out1和out2用法與之相同。如inp1=1,inp2=3表示系統(tǒng)1的第一個(gè)輸入端與系統(tǒng)2的第三個(gè)輸入端相連接。,二、模型的連接,若inp1=1 3,inp2=2 1則表示系統(tǒng)1的第一個(gè)輸入與系統(tǒng)2的第二個(gè)輸入連接，以及系統(tǒng)1的第三個(gè)輸入與系統(tǒng)2的第一個(gè)輸入連接。 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2) 將并聯(lián)連接的傳遞函數(shù)進(jìn)行相加。,2、串聯(lián)：series 乘 格式： sys=series(sys1,sys2) 串聯(lián)連接兩個(gè)LTI系統(tǒng)或相同T的離散系統(tǒng)。 a,b,c,d=series(sys1,sys2,out1,in2) out1和in2分別指定系統(tǒng)1的部分輸出和系統(tǒng)2的部分輸入進(jìn)行連接。 num,den=series(num1,den1,num2,den2) 將串聯(lián)連接的傳遞函數(shù)進(jìn)行相乘。,3、反饋：feedback G1/(1+G1G2) 格式： sys=feedback(sys1,sys2) 將兩個(gè)LTI系統(tǒng)或相同T的離散系統(tǒng)按反饋方式連接， 一般而言，系統(tǒng)1為對(duì)象，系統(tǒng)2為反饋控制器。 sys=feedback(sys1,sys2 ,sign) 系統(tǒng)1的所有輸出連接到系統(tǒng)2的輸入，系統(tǒng)2的所有輸出連接到系統(tǒng)1的輸入，sign用來(lái)指示系統(tǒng)2輸出到系統(tǒng)1輸入的連接符號(hào)，sign缺省時(shí)，默認(rèn)為負(fù)，即sign= -1?？傁到y(tǒng)的輸入/輸出數(shù)等同于系統(tǒng)1。,k(sys1,sys2, inp1,out1, sign) 部分反饋連接，將系統(tǒng)1的指定輸出out1連接到系統(tǒng)2的輸入，系統(tǒng)2的輸出連接到系統(tǒng)1的指定輸入inp1，以此構(gòu)成 閉環(huán)系統(tǒng)。 sign的含義與前述相同。 num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) 在反饋系統(tǒng)中，子系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)均以傳遞函數(shù)的形式表示。sign的含義與前述相同。 當(dāng) G2=1時(shí)，就是單位反饋系統(tǒng)，也稱為閉環(huán)反饋系統(tǒng)，一般不特殊指明都是負(fù)反饋。,例： 系統(tǒng)1為： 系統(tǒng)2為： num1=1；num2=1；den1=1 5 23;den2=1 4; G1=tf(num1,den1);G2=tf(num2,d