北大附中高考數學專題復習三角函數.docx

學科：數學教學內容：三角函數(上)【考點梳理】一、考試內容1.角的概念的推廣，弧度制，0360間的角和任意角的三角函數。同角三角函數的基本關系。誘導公式。已知三角函數的值求角。2.用單位圓中的線段表示三角函數值。正弦函數的圖像和性質。余弦函數的圖像和性質。函數y=asin(x+)的圖像。正切函數、余切函數的圖像和性質。3.兩角和與差的三角函數。二倍角的正弦、余弦、正切。半角的正弦、余弦、正切。三角函數的積化和差與和差化積。4.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。5.反正弦函數、反余弦函數、反正切函數與反余切函數。6.最簡單的三角方程的解法。二、考試要求1.理解弧度制的意義，并能正確地進行弧度和角度的換算。2.掌握任意角的三角函數的定義，三角函數的符號，三角函數的性質，同角三角函數的關系式與誘導公式，了解周期函數和最小正周期的意義。會求函數y= asin(x+)的周期，或者經過簡單的恒等變形可化為上述函數的三角代數式的周期。能運用上述三角公式化簡三角函數，求任意角的三角函數值與證明較簡單的三角恒等式。3.了解正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的圖像的畫法，會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數y= asin(x+)的簡圖，并能解決與正弦曲線有關的實際問題。4.能推導并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式。5.了解三角函數的積化和差與和差化積公式，不要求記憶。6.能正確地運用上述公式化簡三角函數，求某些角的三角函數值，證明較簡單的三角恒等式以及解決一些簡單的實際問題。7.掌握余弦定理、正弦定理及其推導過程，并能運用它們解斜三角形。8.理解反三角函數的概念，能由反三角函數的圖像得出反三角函數的性質，能運用反三角函數的定義、性質解決一些簡單問題。9.掌握最簡單的三角方程的解法。三、考點簡析1.三角函數相關知識關系表2.終邊相同的角、區(qū)間角與象限角（1）終邊相同的角是指與某個角具有同終邊的所有角，它們彼此相差2k(kz)，即|=2k+，kz，根據三角函數的定義，終邊相同的角的各種三角函數值都相等。（2）區(qū)間角是介于兩個角之間的所有角，如|=，。（3）象限角，的終邊落在第幾象限，就稱是第幾象限角。（4）、2之間的關系。若終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。若終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。3.三角函數線三角函數線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數值的一種圖示方法。利用三角函數線在解決比較三角函數值大小、解三角方程及三角不等式等問題時，十分方便。4.函數y= asin(x+)（a，0）的性質（1）定義域是r；（2）值域a，a；（3）單調區(qū)間：在區(qū)間，（kz）上是增函數；在區(qū)間，（kz）上是減函數；（4）奇偶性：當=k+時是偶函數，當=k時是奇函數，當時是非奇非偶函數（kz）；（5）周期性：是周期函數且最小正周期為t=；（6）對稱性：關于點（，0）中心對稱，關于直線x=軸對稱。5.函數圖像變換理論（1）函數y=f(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于y軸對稱；（2）函數y=f(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于x軸對稱；（3）函數x=f(y)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于直線y=x對稱；（4）函數x=f(y)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于直線y=x對稱； （5）函數y=f(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于原點（0，0）對稱；（6）函數y=f(x+p)(p0)的圖像是將函數y=f(x)的圖像向左平移p個單位而得；（7）函數y=f(xp)(p0)的圖像是將函數y=f(x)的圖像向右平移p個單位而得；（8）函數y=f(x)+q的圖像是將函數y=f(x)的圖像向上或向下平移|q|個單位而得，當q0時，向上，q0)的圖像是將函數y=f(x)的圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）；（10）函數qy=f(x)(q0)即y=f(x)的圖像是將函數y=f(x)的圖像上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼模M坐標不變）。6.三角函數公式內在聯系7.常用的三角恒等式（1）sin2sin2=sin(+)sin()（2）cos2cos2=sin()sin(+)（3）cos+cos+cos=（4）sin3=3sin4sin3（5）cos3=4cos33cos（6）sin2(+)=cos2+cos22coscoscos(+)（7）sin+sin(+)+sin(+)=0（8）sin2+sin2 (+)+sin2 (+)= （9）sin3+sin3 (+)+sin3 (+)= sin3（10）cos3+cos3 (+)+cos3 (+)=cos3（11）sin6+cos6=+cos4（12）sin()sin()+sin()sin()+sin() sin()=0（13）sin+sin+sinsin(+) =4sinsinsin（14）cos+cos+cos+cos(+) =4coscoscos（15）tantan2+tan2tan3+tan(n1)tann=n8.在abc中常用的恒等式（1）tana+tanb+tanc=tanatanbtanc（2）cotacotb+cotbcotc+cotccota=1（3）tantan+tantan+tantan=1（4）+=1（5）sina+sinb+sinc=4coscoscos（6）cosa+cosb+cosc=1+4sinsinsin9.三角形中的公式（1）正弦定理： =2r（2）余弦定理：a2+b2c2=2abcoscb2+c2a2=2bccosac2+a2b2=2cacosb正弦定理、余弦定理溝通了角與邊的關系，可使邊轉化為角，也可使角化為邊。（3）三角形的面積公式，設abc的面積為，則=absinc=bcsina=acsinb=2r2sinasinbsinc=pr其中p為abc周長的一半，即p=(a+b+c),r與r分別為abc的外接圓與內切圓的半徑。（4）若在abc中，三邊a、b、c成等差數列，則有下列結論：a+c=2bsina+sinc=2sinbcos=2cos（4）tantan=（5）0sin，那么下列命題成立的是（ ）a.若、是第一象限角，則coscosb.若、是第二象限，則tantanc.若、是第三象限角，則coscosd.若、是第四象限角，則tantan（2）下列命題中正確的是（ ）a.y=tanx是增函數b.y=sinx在第一象限是增函數c.y=arccosx是奇函數d.y=sinx的反函數是y=arcsinx（3）函數y=sin(2x+)的圖象是由函數y=sin2x的圖像（ ）a.向左平移單位b.向右平移單位c.向左平移單位d.向右平移單位解析 （1）當，（0，）時，由sinsin得，此時cossin得,，此時tansin得，此時cossinsin2sin21cos2cos2tan2tan2 tan0,tantan。故答案選d。（2）y=tanx在每一個定義區(qū)間上都是增函數，但在其定義域內并不是增函數；y=sinx在第一象限的每個區(qū)間上都是增函數，但在第一象限上并不是增函數；y=arcsinx只是y=sinx，x,的反函數；令f(x)= arccosx,則f(x)= arccos(x)=arccosx= f(x)所以y=arccosx是奇函數。故答案選c。（3）y=sin2x圖像向左平移單位后得:y=sin2(x+)=sin(2x+);y=sin2x圖像，向右平移單位后得y=sin2(x)=sin(2x);y=sin2x圖象向左平移單位后得：y=sin2(x+)=sin(2x+)=sin(2x);y=sin2x圖像向右平移單位后得：y=sin2(x)=sin(2x)=sin(2x+)，故答案選d。例2 已知函數f(x)=tan(sinx)（1）求f(x)的定義域和值域；（2）在（，）中，求f(x)的單調區(qū)間；（3）判定方程f(x)=tan在區(qū)間（，）上解的個數。解 （1）1sinx1 sinx。又函數y=tanx在x=k+(kz)處無定義，且 （，）,（, ），令sinx=，則sinx=解之得：x=k (kz)f(x)的定義域是a=x|xr，且xk，kztanx在（，）內的值域為（，+），而當xa時，函數y=sinx的值域b滿足（，）bf(x)的值域是（，+）。（2）由f(x)的定義域知，f(x)在0，中的x=和x=處無定義。設t=sinx，則當x0, )（，）（，）時，t0, (,，且以t為自變量的函數y=tant在區(qū)間（0，），（，上分別單調遞增。又當x0，時，函數t=sinx單調遞增，且t0, 當x（，時，函數t=sinx單調遞增，且t（, 當x，時，函數t=sinx單調遞減，且t（, 當x（，）時，函數t=sinx單調遞減，且t（0，）f(x)=tan(sinx)在區(qū)間0，,（,上分別是單調遞增函數；在上是單調遞減函數。又f(x)是奇函數，所以區(qū)間（，0，也是f(x)的單調遞增區(qū)間是f(x)的遞減區(qū)間。故在區(qū)間（，）中,f(x)的單調遞增區(qū)間為：，（，），（，單調遞減區(qū)間為。（3）由f(x)=tan得：tan(sinx)=tan()sinx=k+ （kz）sinx=k+(kz)又1sinx1，k=0或k= 1當k=0時，從得方程sinx=當k=1時，從得方程sinx= +顯然方程sinx=,sinx= +，在（, ）上各有2個解，故f(x)=tan在區(qū)間（，）上共有4個解。注 本題是正弦函數與正切函數的復合。（1）求f(x)的定義域和值域，應當先搞清楚y=sinx的值域與y=tanx的定義域的交集；（2）求f(x)的單調區(qū)間，必須先搞清f(x)的基本性質。如奇偶性、周期性、復合函數單調性等。例3 化簡下列各式(1)cos3a+cos3(+a)+cos3(a);(2) +。 解 （1）由三倍角公式cos3=4cos33cos得：原式=cos3a+cosa+cos3（+a）+cos（+a）+cos3（a）+cos（a）=cos3a+cos3a+cos3a+ cosa+cos(+a)+cos(a)cosa+cos(+a)+cos(a)=cosa+2coscosa=0原式=cos3a(2) = = =cotcot2+=cotcot2+cot2cot4+cot4cot8+cot32cot64=cotcot64=注 本題（1）主要是降冪，通過降冪達到化簡的目的。（2）利用裂項法求和。三角函數中最好記住一些簡單的常用結論。如：=cotcot2,cosa+cos（+a）+cos（a）=0,cos2a+cos2(+a)+cos2(a)=等。這樣既可提高運算速度又可產生聯想的火花。例4 已知:sin3+cos3=1，求sin+cos; sin4+cos4;sin6+cos6的值。解法一 令sin+cos=t，則sincos=sin3+cos3=(sin+cos)(sin2sincos+cos2)=t(1)=1，得：t33t+2=0(t1)2(t+2)=0t2 t=sin+cos=1，且sincos=0。sin4+cos4=(sin2+cos2)2 2sin2cos2=120=1sin6+cos6=(sin2+cos2)(sin4sin2cos2+cos4)=1解法二 sin3sin2,cos3cos2sin3+cos3sin2+cos2=1等號當且僅當時成立，或sin+cos=sin4+cos4=sin6+cos6=1注 （1）凡是遇到sinx+cosx與sinxcosx類的問題，均應采用換元法，令sinx+cosx=t，得sinxcosx=。（2）三角中的恒等變形與初中所學整式的恒等變形結合是解本題的關鍵所在。（3）本題還可推廣到一般情形：若k2且sin2k1+cos2k1=1，則sin=1，cos=0或sin=0,cos=1，若sin2k+cos2k=1，則sin=1，cos=0或sin=0,cos=1。例5 （1）已知sin(+)sin()=, (,)，求sin4；（2）已知cos(x+)=,x，求的值。解 （1）+=sin()=cos(+)sin(+)sin()=sin(+)cos(+)=sin(+2)= cos2= 又22,cos2=,sin2= sin4=2sin2cos2= 本題也可以這樣解：sin(+)sin()=（sin+cos）(cossin)= cos2sin2=cos2=也可以用積化和差公式：sin(+)sin()= (cos2cos)= cos2=（2）法一:由x+(,2)知sin(x+)= cosx=cos(x+)=cos(x+)cos+sin(x+)sin= 由cosx0可知，xf()證明 tanx1+ tanx2=+=x1,x2（0，），且x1x22sin(x1+x2)0,cosx1cosx20,0cos(x1x2)1從而有0cos(x1+x2)+cos(x1x2)=2tan另證：以上是采用化弦，放縮后利用公式tan=加以證明的，也可以利用正切的和差角公式加以證明。左邊右邊=tanx1+tanx2tan= tanx1tan+tanx2tan=tan(x1)(1+tanx1tan)+tan(x2)(1+tanx2tan)=tan(1+tanx1tan1tanx2tan)=tantan(tanx1tanx2)(0, ) tan0又tan和tanx1tanx2在x1x2時，同為正，在x10。綜上tantan(tanx1tanx2)0，即f(x1)+f(x2)f()注 在三角函數恒等式、條件等式、不等式證明中，常采用化弦法。本題解法一是化弦，了解決把兩個分數的單角轉化為和角，同時又使函數值適當縮小。例7 已知三角形abc的三邊a、b、c和對應的三內角a、b、c滿足條件：atana+btanb=(a+b)tan求證：abc是等腰三角形。證明 由atana+btanb=(a+b)tan得：a(tanatan)=b（tantanb）化弦得：a=b兩邊約去cos，及正弦定理把a,b換成sina,sinb，則上式變?yōu)閟in=sinsin(tanatanb)=0所以,tana=tanb或者sin=0由這兩個式子都可以得到a=b，因此abc為等腰三角形。注 （1）三角形中的計算和證明是三角函數的一個重要課題，這里除了應用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，三個內角的互補關系和它們半角之間的互余關系之外，還有一些獨特的解題思路和方法，其中把角的函數化成邊或把邊化成角的函數是最基本也最常用的方法。（2）在三角形中有不少有趣的關系式，如:tana+tanb+tanc=tanatanbtanccot+cot+cot=cotcotcottantan+tantan+tantan=1sina+ sinb+ sinc=4coscoscoscosa+ cosb+ cosc=1+4sinsinsinsina+sinb+sincsinasinbsinccosa+cosb+cosccosacosbcoscsin+sin+sinsinsinsin熟悉這些關系式常常會給解某些與三角形有關的題目帶來一些方便。例8 如圖，a、b是一矩 oefg邊界上不同的兩點，且aob=45,oe=1,ef=，設aoe=.（1）寫出aob的面積關于的函數關系式f();（2）寫出函數f(x)的取值范圍。解 （1）oe=1，ef=eof=60當0，15時，aob的兩頂點a、b在e、f上，且ae=tan,be=tan(45+)f()=saob=tan(45+)tan=當a（15,45時，a點在ef上，b點在fg上，且oa=，ob=saob=oaobsin45=sin45=綜上得：f()= （2）由（1）得：當0，時f()= ,1且當=0時，f()min= =時，f()max=1當時,2f（）=,且當=時，f() min=當=時，f() max=所以f(x) ,。注 三角函數與其他數學知識有著緊密的關系，它幾乎滲透了數學的每一個分支。練習時注意三角函數的綜合應用。例9 已知函數y=cos2x+sinxcosx+1 （xr）,（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數的圖像可由y=sinx(xr)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到？解 （1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos