用首次積分法求_Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的精確解本科畢業(yè)論文.doc

2015 年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 用首次積分法求 drinfeld-sokolov- wilson 方程的精確解 院 系： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級： 2011 級 學(xué)生姓名： 熊志海 學(xué) 號： 201101050163 導(dǎo)師及職稱： 何 斌（教授） 2015 年 4 月 2015 annual graduation thesis (project) of the college undergraduate the first integral method for solving exact solutions of drinfeld- sokolov-wilson equation department: college of mathematics major: mathematics and applied mathematics grade: 2011 students name: xiong zhihai student no.: 201101050096 tutor: he bin (professor) april, 2015 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明 本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取 得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計(jì)）不 包含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重 要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。 作者簽名： 日期： 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說明 本論文（設(shè)計(jì)）作者完全了解紅河學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計(jì)）并向相關(guān)部門送交論文（設(shè)計(jì)）的電子版 和紙質(zhì)版。有權(quán)將論文（設(shè)計(jì)）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計(jì)） 進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。學(xué)?？梢怨颊撐模ㄔO(shè)計(jì)）的全部或部分內(nèi)容。保密 的論文（設(shè)計(jì)）在解密后適用本規(guī)定。 作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 日期： 熊志海熊志海 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯委員會(huì)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯委員會(huì)( (答辯小組答辯小組) )成員名單成員名單 姓名職稱單位備注 李紹林副教授數(shù)學(xué)學(xué)院組長 何斌教授數(shù)學(xué)學(xué)院組員 劉偉講師數(shù)學(xué)學(xué)院組員 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 摘要摘要 這篇文章利用首次積分法對 drinfeld-sokolov-wilson 方程進(jìn)行了研究，并 借助前人某些輔助方程的研究結(jié)果得到了一些該方程在不同的參數(shù)條件下的精 確解，其中包括各種行波解、橢圓函數(shù)解、雙曲函數(shù)解等，顯示了運(yùn)用首次積 分法求解非線性偏微分方程的有效性結(jié)合輔助方程求解所得到的結(jié)果更為豐 富，能解決一些其他學(xué)科所面臨的不能解決的難題，非常具有理論價(jià)值和實(shí)用 價(jià)值因此能否求解或如何求解非線性微分方程，關(guān)系到科學(xué)研究的深入和發(fā) 展，越來越多的科學(xué)工作者在這一方面的研究都表示出了極大的興趣論文由 四章組成：第一章主要介紹了非線性偏微分方程的研究背景、進(jìn)展和研究現(xiàn)狀， 提出了本課題的研究意義和研究內(nèi)容第二章介紹了首次積分方法的思想和具 體步驟，以及補(bǔ)充了后人對此方法的部分完善第三章是利用首次積分方法求 解 drinfeld-sokolov-wilson 方程組并得到了方程的一些新的精確解第四章是 對本文所作的工作進(jìn)行一個(gè)簡單總結(jié)與展望 關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：drinfeld-sokolov-wilson 方程；首次積分法；輔助方程；精確解 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） abstract in this paper, we apply using the first integral method solve the drinfeld- sokolov-wilson equation, and using the result of auxiliary equation to solve the drinfeld-sokolov-wilson equation directly. under different parametric conditions, so some special exact traveling wave solutions are obtained for the equation. meanwhile, it implies the effectiveness of the fist integral method to solve the nonlinear partial differential equationgs. it is the result of combination of auxiliary equation is more abundant, can solve some of the other subjects facing cant solve the problem, very has the theory value and practical value. therefore whether or how to solve the nonlinear differential equation, with the development of scientific research, a growing number of scientific workers in this area of research have expressed great interest. the paper consists of four chapters: the first chapter mainly introduces the nonlinear partial differential equation of the research background, research progress and present situation, proposed this topic research significance and research content. the second chapter introduces the ideas and concrete steps of the first integral method, and added to the posterity to this method. the third chapter is using the first integral method for solving drinfel d - sokolov - wilson equations obtained some new exact solutions of the equations. the fourth chapter is the work of this paper made a simple summary and prospect. keywords: drinfeld-sokolov-wilson equation; the first integral method; auxiliary equation; exact solution 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 目錄 1. 緒論.1 1.1 研究背景及意義1 1.2 非線性方程的研究現(xiàn)狀1 1.3 本文的主要內(nèi)容2 2. 首次積分法的思想和基本步驟.3 2.1 首次積分與除法定理 3 2.2 首次積分方法的步驟 4 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 6 3.1 drinfeld-sokolov-wilson 方程.6 4. 總結(jié)與展望.25 參考文獻(xiàn)26 附錄28 致謝31 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 1 用首次積分法求用首次積分法求 drinfeld-sokolov-wilson 方程的精確解方程的精確解 1. 緒論緒論 1.1 研究背景及意義研究背景及意義 在數(shù)學(xué)里，有一種非線性關(guān)系，那就是非線性現(xiàn)象越來越多科學(xué)問題的 研究，都離不開對非線性偏微分方程和非線性常微分方程的描述與研究，它廣 泛應(yīng)用于地球科學(xué)、生命科學(xué)、工程技術(shù)、和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多分支當(dāng)中，如流 體力學(xué)、基本粒子物理、非線性光學(xué)、地球化學(xué)、生物學(xué)等等，因此能否求解 或如何求解非線性微分方程，關(guān)系到科學(xué)研究的深入和發(fā)展，越來越多的科學(xué) 工作者在這一方面的研究都表示出了極大的興趣 由于非線性科學(xué)研究的深入和發(fā)展，人們對非線性現(xiàn)象的分析，從早期的 只是從理論上對一些比較簡單的非線性現(xiàn)象作了線性近似，到現(xiàn)在隨著科學(xué)技 術(shù)的發(fā)展，非線性科學(xué)也得到了迅速的發(fā)展人們普遍認(rèn)識到，非線性科學(xué)不 僅是出于自然科學(xué)前沿的學(xué)科，而且是一門研究非線性現(xiàn)象共性的交叉學(xué)科， 因此它又被譽(yù)為 20 世紀(jì)以來，繼相對論和量子力學(xué)之后的第三次“科學(xué)革命” 越來越多的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家能夠在前人的基礎(chǔ)上不斷的研究出求解非線 性方程的新方法，得到的新的精確解能夠幫助他們發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象，從而解決一 些相關(guān)的問題研究精確解也能作為數(shù)值分析中求近似解的基礎(chǔ)，解決一些其 他學(xué)科所面臨的不能解決的難題，因此求解非線性方程的精確解是非常具有理 論價(jià)值和使用價(jià)值的 1.2 非線性方程的研究現(xiàn)狀非線性方程的研究現(xiàn)狀 近年來，由于計(jì)算機(jī)的進(jìn)步和發(fā)展，加快了非線性科學(xué)的發(fā)展經(jīng)過多年 的研究，目前求非線性微分方程的精確解已經(jīng)發(fā)展了許多方法. 如：廣田提出 的雙線性方法1，gardner, greene, miura 等發(fā)現(xiàn)的反散射法2，王明亮教授和李 志斌教授提出的齊次平衡法3， malfliet 提出的雙曲正切函數(shù)法4，張鴻慶提出 以代數(shù)化思想求解微分方程的理論，閆依據(jù)雙曲函數(shù)法的構(gòu)造思想提出了 sine- 1. 緒論 2 cosine 方法liu 等人提出的雅克比橢圓函數(shù)展開法6，馮兆生教授運(yùn)用可交換 的代數(shù)理論，基于除法定理和 hilbert 零點(diǎn)定理提出的首次積分方法該方法求得 了很多非線性偏微分方程大量的精確解，例如 burgers-kdv 方程7，維空1n 間中一種近似的 sine-gorden 方程8，(2+1)維 burgers-kdv 方程9， zhang 等 人在橢圓函數(shù)展開法和雙曲正切函數(shù)法的基礎(chǔ)上提出的 f-展開法10 1.3 本文的主要內(nèi)容本文的主要內(nèi)容 本文利用首次積分法7并結(jié)合除法定理討論了 drinfeld-sokolov-wilson 組的 精確解，給出在首次積分中的次數(shù)為 1 和 2 兩種情況下方程的行波解特別y 地，并結(jié)合參照文獻(xiàn)14,15得到更多 drinfeld-sokolov-wilson 的行波解 論文由四章組成，第一章主要介紹了非線性偏微分方程的研究背景、進(jìn)展 和研究現(xiàn)狀，提出了本課題的研究意義和研究內(nèi)容第二章介紹了首次積分方 法的思想和具體步驟，以及補(bǔ)充了后人對此方法的部分完善，第三章是利用首 次積分方法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程組得到了方程的一些新的精確解， 第四章是對本文所作的工作進(jìn)行一個(gè)簡單總結(jié)與展望 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 3 2.首次積分法的思想和基本步驟 4 2. 首次積分法的首次積分法的思想和基本步驟思想和基本步驟 首次積分方法的基本思想是利用除法定理求出常微分方程的一個(gè)首次積分 進(jìn)而求得偏微分方程的精確解16, 該方法是馮兆生于 2002 年提出7 其主要 思想是：首先作變換，將原偏微分方程（組）轉(zhuǎn)化為常微分方程（組） ，然后通 過積分，并作相應(yīng)的計(jì)算，將方程組轉(zhuǎn)化為二階的常微分方程，再次作變換， 將方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)常微分方程組，最后利用多項(xiàng)式整出原理，并借助于數(shù)學(xué)軟 件求出方程組的一些精確解 2.1 首次積分與除法定理首次積分與除法定理 首次積分首次積分： 例如一階常微分方程： (2-1), dyx dxy 將(2-1)變量分離得到 ,ydyxdx (2-2) 兩邊積分得 (2-3) 22 , 222 yxc 因此(2-1)的通解為 (2-4) 22 ,yxc 將原方程的任一解代入(2-4)得到恒等式 xy (2-5) 22 ,x yyxc 則(2-5)就成為原方程的一個(gè)首次積分. 以上結(jié)果很容易推廣到一階常微分方程組： (2-6) , , , 1 12 2 11 1 nn n n n yyxf dx dy yyxf dx dy yyxf dx dy 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 如果(2-6)的任何一個(gè)解使得連續(xù)可微的函數(shù) xyxyxy n , 21 1 , jn x yy 成立，則稱為方程組(2-6)的個(gè)首次積分,1,2, j cjn 1 , jnj x yycn 除法定理除法定理：設(shè)式復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式，并且在復(fù)數(shù)域 zwqzwp,azwp, 上不可約，如果在的所有零點(diǎn)處都有，那么存在復(fù)數(shù)域上azwp,0,zwq 的多項(xiàng)式使得zwg, zwgzwpzwq, 2.2 首次積分方法的步驟首次積分方法的步驟 步驟一：設(shè)非線性偏微分方程 (2-7) , ,.0. xtxxxt p u u u uu 通過行波變換可化為下列二階常微分方程： ,u x tuxctcr . (2-8) 0, uuuq 步驟二：引進(jìn)新的獨(dú)立變量此時(shí)將常微分方程(2-8)化為一階常微, uyux 分方程組 (2-9) , ,. xy yfx y 如果在相同條件下能獲得(2-9)的一個(gè)首次積分，則可直接獲得它的一般 解但通常情況下，這是非常難實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)閷τ谝粋€(gè)給定的平面自治系統(tǒng)， 既沒有一個(gè)系統(tǒng)的理論，也沒有一種常規(guī)方法來獲得它的一個(gè)首次積分因此 可以利用除法定理找到(2-9)的一個(gè)首次積分，它可以將(2-9)化成一階可積的常 微分方程組，然后直接積分就可以得到原方程的精確解 步驟三：設(shè)首次積分為 (2-10)其 , 0, 0 m i i i yxayxq 中是復(fù)數(shù)域上關(guān)于的待定多項(xiàng)式由除法定理知在復(fù) mixai, 2 , 1 , 0x 數(shù)域上存在多項(xiàng)式使得 yxxyxh, (2-11)通 ,yxqyxx d dq 過方程(2-11)可以確定多項(xiàng)式，從而求出的表達(dá)式在 xxxai,yxq, 通常情況下假設(shè)如有，與已知條件矛盾，直接考慮 0xai mixai0 , 0 下一種情況在文獻(xiàn)18中，當(dāng)時(shí)遇到，此時(shí)將所得結(jié)果2m 0xai 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 6 代入首次積分，依然得到了原方程的精確解本文如遇到此種情 0 0 m i i i yxa 況，借鑒了該方法 步驟四：將代入方程組，求解常微分方程就可得 0 0 m i i i yxa xy, yf x,y , 到原方程的精確解 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 7 3.首次積分法求解首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程方程 3.1 drinfeld-sokolov-wilson 方程方程 考慮 drinfeld-sokolov-wilson 方程： (3-1) 0, 0, tx txxxxx uvv vvuvu v 假設(shè)方程組(3-1)具有如下形式的行波解： (3-2)( , )( ), ( , )( ),u x tuv x tvxct 將(3-2)代入(3-1)得到 (3-3) 0,cuvv (3-4) (3-+ u0. x cvvuvv 3)式對積分一次，積分常數(shù)為得； 2 r (3-5)將 22 1 1 0,+, 22c r cuvruv c (3-5)代入(3-4)得到方程組(3-1)的等價(jià)方程 (3-6) 2 1 ()()0, 2 r cvvv v cc 對（3-6）再對積分一次得，并令=0 得到方程組（3-1）的等價(jià)方程 2 r （3- 3 1 1 ()(). 32 r vcvv cc 7） 令則方程(3-6)等價(jià)于,xv yv (3-8) 3 1 , 1 ()(). 32 xy r ycxx cc 假設(shè)是方程組(3-8 的非平凡解， yyxx, yxq, 是復(fù)數(shù)域中不可約多項(xiàng)式，滿足 m i i i yxa 0 a (3-9) , 0, 0 m i i i yxayxq 其中是關(guān)于的待定多項(xiàng)式，則(3-9)稱為(3-8)的首次 0,1,2, i aximx 積分 下面就和兩種情況進(jìn)行討論1m2m 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 8 情形一 設(shè)，由(3-9)得到1m (3-10) , 0 10 yxaxa 注意到的多項(xiàng)式，并且必然有 根據(jù)除法定yx d dq 和是 0,yxq0. dq d 理，在復(fù)數(shù)域中存在一個(gè)多項(xiàng)式使得a ,h x yxx y (3-11) 01 0 , dqq dxq dy xx yaxax y dx dy d 即 yyxaxaxxayxxayxxaxxa 000 2 110 3 1 1 1 ()(), 32 r axcxx cc 比較上式兩邊的各次冪系數(shù)，得到y(tǒng) , (3-12) xxaxa 10 , (3-13) xxaxxaxa 100 (3-14) 3 1 10 1 ()(). 32 r axcxxaxx cc 由方程(3-12)可得出是常數(shù)且不失一般性，可以 xa1 0,x 1, 1 xa 從而方程(3-13)、(3-14)化為 (3-15) , 0 xxa (3-16) 3 1 0 1 ()(). 32 r cxxaxx cc 平衡的次數(shù)，可以得到的次數(shù)只能為 ，否則如果 xxa、 0 x1 由方程(3-15)推出方程(3-16)推出與 1,xm 0 1,xm 1m 矛盾類似的如果可以推出 由方程(3-16)推出矛1m 0x 0 1,x 盾 設(shè)由方程(3-15)得 ,xaxb (3-17)其 , 2 2 0 dbxx a xa 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 9 中是積分常數(shù)將代入方程(3-15)并取的系數(shù)為d xxa、 0 3 , 2 , 1 , 0ix i 零，得到 (3-18) 2 1 2 =0 1 2ad+b =(c+), 30, 2=(+ ), 32 bd r c ab a c ， 解方程組(3-18)，可得 (3-19) 2 11 1 0,(),(), 6 rr bdcac baccc 將(3-19)代入(3-10)式，得到方程組(3-8)的一個(gè)首次積分 (3-20) 22 1 12 a() . 2 yxcr c a 兩邊平方得 （3- 24 22222 11 22 1 ()() . 4 a xa ycr xcr cc 21） 利用輔助方程，通過查表一，知，當(dāng) 2 42 ( ) ( )( ) df pfqfr d （3- 2 2 22 1 22 1 22 , 4 ()(1), 1 ()1, a pk a qcrk c rcr c 22） 時(shí)，即 ，方程（3-1）的解為 22 1 1 2 , crc akr c （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 23） 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 10 當(dāng)時(shí)，解（3-23）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ), 2cc 24）當(dāng)時(shí)，解（3-23）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sin( ), r u( )sin ( ). 2cc 25） 當(dāng) （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()2, 1 ()1, a p a qcrk c rcrk c 26）即，方程（3-1）的解為 22 1 1 2 2 , 1 crc air c k （3- 2 1 v( )dn( ,k), r u( )dn ( ,k), 2cc 27） 且當(dāng)時(shí)，解（3-27）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ), 2cc 28） 當(dāng) （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()(1), 1 (), a p a qcrk c rcrk c 29） 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 11 即，方程（3-1）的解為 22 1 1 2, crc ar ck （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 30） 且當(dāng)時(shí)，解（3-30）變?yōu)?k (3-31) 2 1 v( )coth( ), r u( )coth ( ), 2cc 當(dāng)時(shí)，解（3-30）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ). 2cc 32） 當(dāng) （3- 2 2 22 1 22 1 22 1 4 ()2 1 ()1 a pk a qcrk c rcr c 33） 即，方程（3-1）的解為 22 2 1 1 21, 1 crc akr c （3- 2 1 v( )nd( ,k), r u( )nd ( ,k), 2cc 34） 且當(dāng)時(shí)，解（3-34）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cosh( ), r u( )cosh ( ). 2cc 35） 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 12 當(dāng) （3-36） 2 2 22 1 22 1 22 1, 4 ()2, 1 ()1, a pk a qcrk c rcr c 即，方程（3-1）的解為 22 2 1 1 2 1, crc akr c （3- 2 1 v( )sc( ,k), r u( )sc ( ,k), 2cc 37） 且當(dāng)時(shí)，解（3-37）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sinh( ), r u( )sinh ( ), 2cc 38） 當(dāng)時(shí)，解（3-37）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ). 2cc 39） 當(dāng) （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()2, 1 ()1, a p a qcrk c rcrk c 40） 即，方程（3-1）的解為 22 1 1 2 2, 1 crc ar ck 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 13 （3- 2 1 v( )cs( ,k), r u( )cs ( ,k), 2cc 41） 且當(dāng)時(shí)，解（3-41）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ), 2cc 42） 當(dāng)時(shí)，解（3-41）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cot( ), r u( )cot ( ). 2cc 43） 當(dāng) (3-44) 2 2 22 1 22 1 22 , 4 ()(1), 1 ()1, a pk a qcrk c rcr c 即，方程（3-1）的解為 22 1 1 2 , crc akr c （3- 2 1 v( )cd( ,k), r u( )cd ( ,k), 2cc 45） 且當(dāng)時(shí)，解（3-45）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cos( ), r u( )cos ( ). 2cc 46） 當(dāng) 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 14 （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()(1), 1 (), a p a qcrk c rcrk c 47） 即，方程（3-1）的解為 22 1 1 2, crc ar ck （3- 2 1 v( )dc( ,k), r u( )dc ( ,k), 2cc 48） 且當(dāng)時(shí)，解（3-48）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sec( ), r u( )sec ( ). 2cc 49） 情形二 設(shè)，由(3-8)得到2m (3-50) , 0 2 210 yxayxaxa 方程(3-50)變 2 012 0 , dqq dxq dy xx yaxax yax y dx dy d 比較上式左右兩邊的各次冪系數(shù)得到： y 的系數(shù): 0 y （3- 3 1 101 1 ()() ()()()(), 32 r a x yaxxa xcxx cc 51） 的系數(shù)： 1 y （3- 2 2 ()() (),axaxx 52） 2 y 的系數(shù)： 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 15 (3-53) 121 ()() ()() (),axaxxa xx 的系數(shù)： 3 y (3-54) 0210 ()2() () ()() ().axax ya xxaxx 由方程(3-52)可得出必為常數(shù)且，不失一般性，取 xa2 0x 1, 2 xa 第一種情形：當(dāng)；時(shí)，取，代入到（3- 1( ) 0a x ( )0x 2 1ax 0x 51） （3-52） 、 （3-53） 、 （3- 54）得 （3- 1( )(),axx 55） （3- 01 ()2 () (),axya xx 56） 求得 (為常數(shù))，將 24 1 02 1 ()()() 62 r axcxxr cc 2 r 代入（3-50）得到 012 ();();()axa xax （3- 2 42 1 2 1 ()(). 62 r yxcxr cc 57） 令，則當(dāng) 1 2 1 (),(), 62 r pqcrr cc （3- 2 2 1 2 (), 62 1 ()(1), 1, ppk c r qck c rr 58） 即,方程（3-1）有解為 1 2 22 () 2 ,1 6(1) r c c r c kk 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 16 （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 59） 且當(dāng)時(shí)，解（3-59）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ), 2cc 60） 當(dāng)時(shí)，解（3-59）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sin( ), r u( )sin ( ). 2cc 61） 當(dāng) （3- 2 2 1 2 2 (), 62 1 ()21, 1, ppk c r qck c rrk 62） 即，方程（3-1）的解為 1 2 2 22 () 2 ,1 621 r c c rk c kk （3- 2 1 v( )cn( ,k), r u( )cn ( ,k), 2cc 63） 且當(dāng)時(shí)，解（3-63）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ), 2cc 64） 當(dāng)時(shí)，解（3-63）變?yōu)?k 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 17 （3- 2 1 v( )cos( ), r u( )cos ( ). 2cc 65） 當(dāng) （3- 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()2, 1, pp c r qck c rrk 66） 即，方程（3-1）的解為 1 2 2 2 () 2 ,1 62 r c c rk ck （3- 2 1 v( )dn( ,k), r u( )dn ( ,k), 2cc 67） 且當(dāng)時(shí)，解（3-67）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ). 2cc 68） 當(dāng) （3- 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()(1), , pp c r qck c rrk 69） 即，方程（3-1）的解為 1 2 2 2 () 2 , 6(1) r c c rk ck 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 18 （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 70） 且當(dāng)時(shí)，解（3-70）變?yōu)?k (3-71) 2 1 v( )coth( ), r u( )coth ( ), 2cc 當(dāng)時(shí)，解（3-70）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ). 2cc 72） 當(dāng) （3- 2 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()21, , ppk c r qck c rrk 73） 即，方程（3-1）的解為 1 2 2 22 () 2 , 6(1)21 r c c rk ckk （3- 2 1 v( )nc( ,k), r u( )nc ( ,k), 2cc 74） 且當(dāng)時(shí)，解（3-74）變?yōu)?k (3-75) 2 1 v( )cosh( ), r u( )cosh ( ), 2cc 當(dāng)時(shí)，解（3-74）變?yōu)?k 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 19 （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ). 2cc 76） 當(dāng) （3- 2 2 1 2 ()1, 62 1 ()2, 1, ppk c r qck c rr 77） 即，方程（3-1）的解為 1 2 22 () 2 ,1 6(1)2 r c c r ckk （3-78） 2 1 v( )nd( ,k), r u( )nd ( ,k), 2cc 且當(dāng)時(shí)，解（3-78）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cosh( ), r u( )cosh ( ). 2cc 79） 當(dāng) （3- 2 2 1 2 ()1, 62 1 ()2, 1, ppk c r qck c rr 80） 即，方程（3-1）的解為 1 2 22 () 2 ,1 6(1)2 r c c r ckk 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 20 （3- 2 1 v( )sc( ,k), r u( )sc ( ,k), 2cc 81） 且當(dāng)時(shí)，解（3-81）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sinh( ), r u( )sinh ( ), 2cc 82） 當(dāng)時(shí)，解（3-81）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ). 2cc 83） 當(dāng) （3- 22 2 1 2 ()(1), 62 1 ()21, 1, ppkk c r qck c rr 84） 即，方程（3-1）的解為 1 2 222 () 2 ,1 6(1)21 r c c r c kkk （3- 2 1 v( )sd( ,k), r u( )sd ( ,k), 2cc 85） 且當(dāng)時(shí)，解（3-85）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sinh( ), r u( )sinh ( ), 2cc 86） 當(dāng)時(shí)，解（3-85）變?yōu)?k 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 21 （3- 2 1 v( )sin( ), r u( )sin ( ). 2cc 87） 當(dāng) （3- 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()2, 1, pp c r qck c rrk 88） 即方程（3-1）的解為 1 2 2 2 () 2 ,1 62 r c c rk ck （3- 2 1 v( )cs( ,k), r u( )cs ( ,k), 2cc 89） 且當(dāng)時(shí)，解（3-89）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ), 2cc 90） 當(dāng)時(shí)，解（3-89）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cot( ), r u( )cot ( ). 2cc 91） 當(dāng) （3- 2 2 1 2 (), 62 1 ()(1), 1, ppk c r qck c rr 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 22 92） 即，方程（3-1）的解為 1 2 22 () 2 ,1 6(1) r c c r c kk （3- 2 1 v( )cd( ,k), r u( )cd ( ,k), 2cc 93） 且當(dāng)時(shí)，解（3-93）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cos( ), r u( )cos ( ). 2cc 94） 當(dāng) （3- 2 1 22 2 ()1, 62 1 ()21, (1), pp c r qck c rrkk 95） 即，方程（3-1）的解為 1 22 2 2 () 2 ,(1) 621 r c c rkk ck （3- 2 1 v( )ds( ,k), r u( )ds ( ,k), 2cc 96） 且當(dāng)時(shí)，解（3-96）變?yōu)?k 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 23 （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ), 2cc 101） 當(dāng)時(shí)，解（3-96）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )csc( ), r u( )csc ( ). 2cc 102） 當(dāng) （3-103） 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()(1), , pp c r qck c rrk 即，方程（3-1）的解為 1 2 2 2 () 2 , 6(1) r c c rk ck （3- 2 1 v( )dc( ,k), r u( )dc ( ,k), 2cc 104） 且當(dāng)時(shí)，解（3-104）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sec( ), r u( )sec ( ). 2cc 105） 第二種情況，取，代入到（3-51） （3-53） （3-54）化 2 1ax 0x 簡 （3- 10 () () ().ax yaxx 106） （3- 1( )().axx 107） 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 24