用首次積分法求_Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的精確解本科畢業(yè)論文.doc

2015 年度本科生畢業(yè)論文（設計） 用首次積分法求 drinfeld-sokolov- wilson 方程的精確解 院 系： 數(shù)學學院 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 年 級： 2011 級 學生姓名： 熊志海 學 號： 201101050163 導師及職稱： 何 斌（教授） 2015 年 4 月 2015 annual graduation thesis (project) of the college undergraduate the first integral method for solving exact solutions of drinfeld- sokolov-wilson equation department: college of mathematics major: mathematics and applied mathematics grade: 2011 students name: xiong zhihai student no.: 201101050096 tutor: he bin (professor) april, 2015 畢業(yè)論文（設計）原創(chuàng)性聲明 本人所呈交的畢業(yè)論文（設計）是我在導師的指導下進行的研究工作及取 得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內容外，本論文（設計）不 包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本論文（設計）的研究做出重 要貢獻的個人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。 作者簽名： 日期： 畢業(yè)論文（設計）授權使用說明 本論文（設計）作者完全了解紅河學院有關保留、使用畢業(yè)論文（設計） 的規(guī)定，學校有權保留論文（設計）并向相關部門送交論文（設計）的電子版 和紙質版。有權將論文（設計）用于非贏利目的的少量復制并允許論文（設計） 進入學校圖書館被查閱。學校可以公布論文（設計）的全部或部分內容。保密 的論文（設計）在解密后適用本規(guī)定。 作者簽名： 指導教師簽名： 日期： 日期： 熊志海熊志海 畢業(yè)論文（設計）答辯委員會畢業(yè)論文（設計）答辯委員會( (答辯小組答辯小組) )成員名單成員名單 姓名職稱單位備注 李紹林副教授數(shù)學學院組長 何斌教授數(shù)學學院組員 劉偉講師數(shù)學學院組員 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 摘要摘要 這篇文章利用首次積分法對 drinfeld-sokolov-wilson 方程進行了研究，并 借助前人某些輔助方程的研究結果得到了一些該方程在不同的參數(shù)條件下的精 確解，其中包括各種行波解、橢圓函數(shù)解、雙曲函數(shù)解等，顯示了運用首次積 分法求解非線性偏微分方程的有效性結合輔助方程求解所得到的結果更為豐 富，能解決一些其他學科所面臨的不能解決的難題，非常具有理論價值和實用 價值因此能否求解或如何求解非線性微分方程，關系到科學研究的深入和發(fā) 展，越來越多的科學工作者在這一方面的研究都表示出了極大的興趣論文由 四章組成：第一章主要介紹了非線性偏微分方程的研究背景、進展和研究現(xiàn)狀， 提出了本課題的研究意義和研究內容第二章介紹了首次積分方法的思想和具 體步驟，以及補充了后人對此方法的部分完善第三章是利用首次積分方法求 解 drinfeld-sokolov-wilson 方程組并得到了方程的一些新的精確解第四章是 對本文所作的工作進行一個簡單總結與展望 關鍵詞：關鍵詞：drinfeld-sokolov-wilson 方程；首次積分法；輔助方程；精確解 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） abstract in this paper, we apply using the first integral method solve the drinfeld- sokolov-wilson equation, and using the result of auxiliary equation to solve the drinfeld-sokolov-wilson equation directly. under different parametric conditions, so some special exact traveling wave solutions are obtained for the equation. meanwhile, it implies the effectiveness of the fist integral method to solve the nonlinear partial differential equationgs. it is the result of combination of auxiliary equation is more abundant, can solve some of the other subjects facing cant solve the problem, very has the theory value and practical value. therefore whether or how to solve the nonlinear differential equation, with the development of scientific research, a growing number of scientific workers in this area of research have expressed great interest. the paper consists of four chapters: the first chapter mainly introduces the nonlinear partial differential equation of the research background, research progress and present situation, proposed this topic research significance and research content. the second chapter introduces the ideas and concrete steps of the first integral method, and added to the posterity to this method. the third chapter is using the first integral method for solving drinfel d - sokolov - wilson equations obtained some new exact solutions of the equations. the fourth chapter is the work of this paper made a simple summary and prospect. keywords: drinfeld-sokolov-wilson equation; the first integral method; auxiliary equation; exact solution 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 目錄 1. 緒論.1 1.1 研究背景及意義1 1.2 非線性方程的研究現(xiàn)狀1 1.3 本文的主要內容2 2. 首次積分法的思想和基本步驟.3 2.1 首次積分與除法定理 3 2.2 首次積分方法的步驟 4 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 6 3.1 drinfeld-sokolov-wilson 方程.6 4. 總結與展望.25 參考文獻26 附錄28 致謝31 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 1 用首次積分法求用首次積分法求 drinfeld-sokolov-wilson 方程的精確解方程的精確解 1. 緒論緒論 1.1 研究背景及意義研究背景及意義 在數(shù)學里，有一種非線性關系，那就是非線性現(xiàn)象越來越多科學問題的 研究，都離不開對非線性偏微分方程和非線性常微分方程的描述與研究，它廣 泛應用于地球科學、生命科學、工程技術、和應用數(shù)學的眾多分支當中，如流 體力學、基本粒子物理、非線性光學、地球化學、生物學等等，因此能否求解 或如何求解非線性微分方程，關系到科學研究的深入和發(fā)展，越來越多的科學 工作者在這一方面的研究都表示出了極大的興趣 由于非線性科學研究的深入和發(fā)展，人們對非線性現(xiàn)象的分析，從早期的 只是從理論上對一些比較簡單的非線性現(xiàn)象作了線性近似，到現(xiàn)在隨著科學技 術的發(fā)展，非線性科學也得到了迅速的發(fā)展人們普遍認識到，非線性科學不 僅是出于自然科學前沿的學科，而且是一門研究非線性現(xiàn)象共性的交叉學科， 因此它又被譽為 20 世紀以來，繼相對論和量子力學之后的第三次“科學革命” 越來越多的數(shù)學家和物理學家能夠在前人的基礎上不斷的研究出求解非線 性方程的新方法，得到的新的精確解能夠幫助他們發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象，從而解決一 些相關的問題研究精確解也能作為數(shù)值分析中求近似解的基礎，解決一些其 他學科所面臨的不能解決的難題，因此求解非線性方程的精確解是非常具有理 論價值和使用價值的 1.2 非線性方程的研究現(xiàn)狀非線性方程的研究現(xiàn)狀 近年來，由于計算機的進步和發(fā)展，加快了非線性科學的發(fā)展經(jīng)過多年 的研究，目前求非線性微分方程的精確解已經(jīng)發(fā)展了許多方法. 如：廣田提出 的雙線性方法1，gardner, greene, miura 等發(fā)現(xiàn)的反散射法2，王明亮教授和李 志斌教授提出的齊次平衡法3， malfliet 提出的雙曲正切函數(shù)法4，張鴻慶提出 以代數(shù)化思想求解微分方程的理論，閆依據(jù)雙曲函數(shù)法的構造思想提出了 sine- 1. 緒論 2 cosine 方法liu 等人提出的雅克比橢圓函數(shù)展開法6，馮兆生教授運用可交換 的代數(shù)理論，基于除法定理和 hilbert 零點定理提出的首次積分方法該方法求得 了很多非線性偏微分方程大量的精確解，例如 burgers-kdv 方程7，維空1n 間中一種近似的 sine-gorden 方程8，(2+1)維 burgers-kdv 方程9， zhang 等 人在橢圓函數(shù)展開法和雙曲正切函數(shù)法的基礎上提出的 f-展開法10 1.3 本文的主要內容本文的主要內容 本文利用首次積分法7并結合除法定理討論了 drinfeld-sokolov-wilson 組的 精確解，給出在首次積分中的次數(shù)為 1 和 2 兩種情況下方程的行波解特別y 地，并結合參照文獻14,15得到更多 drinfeld-sokolov-wilson 的行波解 論文由四章組成，第一章主要介紹了非線性偏微分方程的研究背景、進展 和研究現(xiàn)狀，提出了本課題的研究意義和研究內容第二章介紹了首次積分方 法的思想和具體步驟，以及補充了后人對此方法的部分完善，第三章是利用首 次積分方法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程組得到了方程的一些新的精確解， 第四章是對本文所作的工作進行一個簡單總結與展望 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 3 2.首次積分法的思想和基本步驟 4 2. 首次積分法的首次積分法的思想和基本步驟思想和基本步驟 首次積分方法的基本思想是利用除法定理求出常微分方程的一個首次積分 進而求得偏微分方程的精確解16, 該方法是馮兆生于 2002 年提出7 其主要 思想是：首先作變換，將原偏微分方程（組）轉化為常微分方程（組） ，然后通 過積分，并作相應的計算，將方程組轉化為二階的常微分方程，再次作變換， 將方程轉化為一個常微分方程組，最后利用多項式整出原理，并借助于數(shù)學軟 件求出方程組的一些精確解 2.1 首次積分與除法定理首次積分與除法定理 首次積分首次積分： 例如一階常微分方程： (2-1), dyx dxy 將(2-1)變量分離得到 ,ydyxdx (2-2) 兩邊積分得 (2-3) 22 , 222 yxc 因此(2-1)的通解為 (2-4) 22 ,yxc 將原方程的任一解代入(2-4)得到恒等式 xy (2-5) 22 ,x yyxc 則(2-5)就成為原方程的一個首次積分. 以上結果很容易推廣到一階常微分方程組： (2-6) , , , 1 12 2 11 1 nn n n n yyxf dx dy yyxf dx dy yyxf dx dy 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 5 如果(2-6)的任何一個解使得連續(xù)可微的函數(shù) xyxyxy n , 21 1 , jn x yy 成立，則稱為方程組(2-6)的個首次積分,1,2, j cjn 1 , jnj x yycn 除法定理除法定理：設式復數(shù)域上的多項式，并且在復數(shù)域 zwqzwp,azwp, 上不可約，如果在的所有零點處都有，那么存在復數(shù)域上azwp,0,zwq 的多項式使得zwg, zwgzwpzwq, 2.2 首次積分方法的步驟首次積分方法的步驟 步驟一：設非線性偏微分方程 (2-7) , ,.0. xtxxxt p u u u uu 通過行波變換可化為下列二階常微分方程： ,u x tuxctcr . (2-8) 0, uuuq 步驟二：引進新的獨立變量此時將常微分方程(2-8)化為一階常微, uyux 分方程組 (2-9) , ,. xy yfx y 如果在相同條件下能獲得(2-9)的一個首次積分，則可直接獲得它的一般 解但通常情況下，這是非常難實現(xiàn)的，因為對于一個給定的平面自治系統(tǒng)， 既沒有一個系統(tǒng)的理論，也沒有一種常規(guī)方法來獲得它的一個首次積分因此 可以利用除法定理找到(2-9)的一個首次積分，它可以將(2-9)化成一階可積的常 微分方程組，然后直接積分就可以得到原方程的精確解 步驟三：設首次積分為 (2-10)其 , 0, 0 m i i i yxayxq 中是復數(shù)域上關于的待定多項式由除法定理知在復 mixai, 2 , 1 , 0x 數(shù)域上存在多項式使得 yxxyxh, (2-11)通 ,yxqyxx d dq 過方程(2-11)可以確定多項式，從而求出的表達式在 xxxai,yxq, 通常情況下假設如有，與已知條件矛盾，直接考慮 0xai mixai0 , 0 下一種情況在文獻18中，當時遇到，此時將所得結果2m 0xai 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 6 代入首次積分，依然得到了原方程的精確解本文如遇到此種情 0 0 m i i i yxa 況，借鑒了該方法 步驟四：將代入方程組，求解常微分方程就可得 0 0 m i i i yxa xy, yf x,y , 到原方程的精確解 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 7 3.首次積分法求解首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程方程 3.1 drinfeld-sokolov-wilson 方程方程 考慮 drinfeld-sokolov-wilson 方程： (3-1) 0, 0, tx txxxxx uvv vvuvu v 假設方程組(3-1)具有如下形式的行波解： (3-2)( , )( ), ( , )( ),u x tuv x tvxct 將(3-2)代入(3-1)得到 (3-3) 0,cuvv (3-4) (3-+ u0. x cvvuvv 3)式對積分一次，積分常數(shù)為得； 2 r (3-5)將 22 1 1 0,+, 22c r cuvruv c (3-5)代入(3-4)得到方程組(3-1)的等價方程 (3-6) 2 1 ()()0, 2 r cvvv v cc 對（3-6）再對積分一次得，并令=0 得到方程組（3-1）的等價方程 2 r （3- 3 1 1 ()(). 32 r vcvv cc 7） 令則方程(3-6)等價于,xv yv (3-8) 3 1 , 1 ()(). 32 xy r ycxx cc 假設是方程組(3-8 的非平凡解， yyxx, yxq, 是復數(shù)域中不可約多項式，滿足 m i i i yxa 0 a (3-9) , 0, 0 m i i i yxayxq 其中是關于的待定多項式，則(3-9)稱為(3-8)的首次 0,1,2, i aximx 積分 下面就和兩種情況進行討論1m2m 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 8 情形一 設，由(3-9)得到1m (3-10) , 0 10 yxaxa 注意到的多項式，并且必然有 根據(jù)除法定yx d dq 和是 0,yxq0. dq d 理，在復數(shù)域中存在一個多項式使得a ,h x yxx y (3-11) 01 0 , dqq dxq dy xx yaxax y dx dy d 即 yyxaxaxxayxxayxxaxxa 000 2 110 3 1 1 1 ()(), 32 r axcxx cc 比較上式兩邊的各次冪系數(shù)，得到y(tǒng) , (3-12) xxaxa 10 , (3-13) xxaxxaxa 100 (3-14) 3 1 10 1 ()(). 32 r axcxxaxx cc 由方程(3-12)可得出是常數(shù)且不失一般性，可以 xa1 0,x 1, 1 xa 從而方程(3-13)、(3-14)化為 (3-15) , 0 xxa (3-16) 3 1 0 1 ()(). 32 r cxxaxx cc 平衡的次數(shù)，可以得到的次數(shù)只能為 ，否則如果 xxa、 0 x1 由方程(3-15)推出方程(3-16)推出與 1,xm 0 1,xm 1m 矛盾類似的如果可以推出 由方程(3-16)推出矛1m 0x 0 1,x 盾 設由方程(3-15)得 ,xaxb (3-17)其 , 2 2 0 dbxx a xa 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 9 中是積分常數(shù)將代入方程(3-15)并取的系數(shù)為d xxa、 0 3 , 2 , 1 , 0ix i 零，得到 (3-18) 2 1 2 =0 1 2ad+b =(c+), 30, 2=(+ ), 32 bd r c ab a c ， 解方程組(3-18)，可得 (3-19) 2 11 1 0,(),(), 6 rr bdcac baccc 將(3-19)代入(3-10)式，得到方程組(3-8)的一個首次積分 (3-20) 22 1 12 a() . 2 yxcr c a 兩邊平方得 （3- 24 22222 11 22 1 ()() . 4 a xa ycr xcr cc 21） 利用輔助方程，通過查表一，知，當 2 42 ( ) ( )( ) df pfqfr d （3- 2 2 22 1 22 1 22 , 4 ()(1), 1 ()1, a pk a qcrk c rcr c 22） 時，即 ，方程（3-1）的解為 22 1 1 2 , crc akr c （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 23） 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 10 當時，解（3-23）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ), 2cc 24）當時，解（3-23）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sin( ), r u( )sin ( ). 2cc 25） 當 （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()2, 1 ()1, a p a qcrk c rcrk c 26）即，方程（3-1）的解為 22 1 1 2 2 , 1 crc air c k （3- 2 1 v( )dn( ,k), r u( )dn ( ,k), 2cc 27） 且當時，解（3-27）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ), 2cc 28） 當 （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()(1), 1 (), a p a qcrk c rcrk c 29） 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 11 即，方程（3-1）的解為 22 1 1 2, crc ar ck （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 30） 且當時，解（3-30）變?yōu)?k (3-31) 2 1 v( )coth( ), r u( )coth ( ), 2cc 當時，解（3-30）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ). 2cc 32） 當 （3- 2 2 22 1 22 1 22 1 4 ()2 1 ()1 a pk a qcrk c rcr c 33） 即，方程（3-1）的解為 22 2 1 1 21, 1 crc akr c （3- 2 1 v( )nd( ,k), r u( )nd ( ,k), 2cc 34） 且當時，解（3-34）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cosh( ), r u( )cosh ( ). 2cc 35） 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 12 當 （3-36） 2 2 22 1 22 1 22 1, 4 ()2, 1 ()1, a pk a qcrk c rcr c 即，方程（3-1）的解為 22 2 1 1 2 1, crc akr c （3- 2 1 v( )sc( ,k), r u( )sc ( ,k), 2cc 37） 且當時，解（3-37）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sinh( ), r u( )sinh ( ), 2cc 38） 當時，解（3-37）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ). 2cc 39） 當 （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()2, 1 ()1, a p a qcrk c rcrk c 40） 即，方程（3-1）的解為 22 1 1 2 2, 1 crc ar ck 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 13 （3- 2 1 v( )cs( ,k), r u( )cs ( ,k), 2cc 41） 且當時，解（3-41）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ), 2cc 42） 當時，解（3-41）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cot( ), r u( )cot ( ). 2cc 43） 當 (3-44) 2 2 22 1 22 1 22 , 4 ()(1), 1 ()1, a pk a qcrk c rcr c 即，方程（3-1）的解為 22 1 1 2 , crc akr c （3- 2 1 v( )cd( ,k), r u( )cd ( ,k), 2cc 45） 且當時，解（3-45）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cos( ), r u( )cos ( ). 2cc 46） 當 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 14 （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()(1), 1 (), a p a qcrk c rcrk c 47） 即，方程（3-1）的解為 22 1 1 2, crc ar ck （3- 2 1 v( )dc( ,k), r u( )dc ( ,k), 2cc 48） 且當時，解（3-48）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sec( ), r u( )sec ( ). 2cc 49） 情形二 設，由(3-8)得到2m (3-50) , 0 2 210 yxayxaxa 方程(3-50)變 2 012 0 , dqq dxq dy xx yaxax yax y dx dy d 比較上式左右兩邊的各次冪系數(shù)得到： y 的系數(shù): 0 y （3- 3 1 101 1 ()() ()()()(), 32 r a x yaxxa xcxx cc 51） 的系數(shù)： 1 y （3- 2 2 ()() (),axaxx 52） 2 y 的系數(shù)： 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 15 (3-53) 121 ()() ()() (),axaxxa xx 的系數(shù)： 3 y (3-54) 0210 ()2() () ()() ().axax ya xxaxx 由方程(3-52)可得出必為常數(shù)且，不失一般性，取 xa2 0x 1, 2 xa 第一種情形：當；時，取，代入到（3- 1( ) 0a x ( )0x 2 1ax 0x 51） （3-52） 、 （3-53） 、 （3- 54）得 （3- 1( )(),axx 55） （3- 01 ()2 () (),axya xx 56） 求得 (為常數(shù))，將 24 1 02 1 ()()() 62 r axcxxr cc 2 r 代入（3-50）得到 012 ();();()axa xax （3- 2 42 1 2 1 ()(). 62 r yxcxr cc 57） 令，則當 1 2 1 (),(), 62 r pqcrr cc （3- 2 2 1 2 (), 62 1 ()(1), 1, ppk c r qck c rr 58） 即,方程（3-1）有解為 1 2 22 () 2 ,1 6(1) r c c r c kk 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 16 （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 59） 且當時，解（3-59）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ), 2cc 60） 當時，解（3-59）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sin( ), r u( )sin ( ). 2cc 61） 當 （3- 2 2 1 2 2 (), 62 1 ()21, 1, ppk c r qck c rrk 62） 即，方程（3-1）的解為 1 2 2 22 () 2 ,1 621 r c c rk c kk （3- 2 1 v( )cn( ,k), r u( )cn ( ,k), 2cc 63） 且當時，解（3-63）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ), 2cc 64） 當時，解（3-63）變?yōu)?k 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 17 （3- 2 1 v( )cos( ), r u( )cos ( ). 2cc 65） 當 （3- 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()2, 1, pp c r qck c rrk 66） 即，方程（3-1）的解為 1 2 2 2 () 2 ,1 62 r c c rk ck （3- 2 1 v( )dn( ,k), r u( )dn ( ,k), 2cc 67） 且當時，解（3-67）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ). 2cc 68） 當 （3- 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()(1), , pp c r qck c rrk 69） 即，方程（3-1）的解為 1 2 2 2 () 2 , 6(1) r c c rk ck 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 18 （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 70） 且當時，解（3-70）變?yōu)?k (3-71) 2 1 v( )coth( ), r u( )coth ( ), 2cc 當時，解（3-70）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ). 2cc 72） 當 （3- 2 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()21, , ppk c r qck c rrk 73） 即，方程（3-1）的解為 1 2 2 22 () 2 , 6(1)21 r c c rk ckk （3- 2 1 v( )nc( ,k), r u( )nc ( ,k), 2cc 74） 且當時，解（3-74）變?yōu)?k (3-75) 2 1 v( )cosh( ), r u( )cosh ( ), 2cc 當時，解（3-74）變?yōu)?k 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 19 （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ). 2cc 76） 當 （3- 2 2 1 2 ()1, 62 1 ()2, 1, ppk c r qck c rr 77） 即，方程（3-1）的解為 1 2 22 () 2 ,1 6(1)2 r c c r ckk （3-78） 2 1 v( )nd( ,k), r u( )nd ( ,k), 2cc 且當時，解（3-78）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cosh( ), r u( )cosh ( ). 2cc 79） 當 （3- 2 2 1 2 ()1, 62 1 ()2, 1, ppk c r qck c rr 80） 即，方程（3-1）的解為 1 2 22 () 2 ,1 6(1)2 r c c r ckk 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 20 （3- 2 1 v( )sc( ,k), r u( )sc ( ,k), 2cc 81） 且當時，解（3-81）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sinh( ), r u( )sinh ( ), 2cc 82） 當時，解（3-81）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ). 2cc 83） 當 （3- 22 2 1 2 ()(1), 62 1 ()21, 1, ppkk c r qck c rr 84） 即，方程（3-1）的解為 1 2 222 () 2 ,1 6(1)21 r c c r c kkk （3- 2 1 v( )sd( ,k), r u( )sd ( ,k), 2cc 85） 且當時，解（3-85）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sinh( ), r u( )sinh ( ), 2cc 86） 當時，解（3-85）變?yōu)?k 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 21 （3- 2 1 v( )sin( ), r u( )sin ( ). 2cc 87） 當 （3- 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()2, 1, pp c r qck c rrk 88） 即方程（3-1）的解為 1 2 2 2 () 2 ,1 62 r c c rk ck （3- 2 1 v( )cs( ,k), r u( )cs ( ,k), 2cc 89） 且當時，解（3-89）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ), 2cc 90） 當時，解（3-89）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cot( ), r u( )cot ( ). 2cc 91） 當 （3- 2 2 1 2 (), 62 1 ()(1), 1, ppk c r qck c rr 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 22 92） 即，方程（3-1）的解為 1 2 22 () 2 ,1 6(1) r c c r c kk （3- 2 1 v( )cd( ,k), r u( )cd ( ,k), 2cc 93） 且當時，解（3-93）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )cos( ), r u( )cos ( ). 2cc 94） 當 （3- 2 1 22 2 ()1, 62 1 ()21, (1), pp c r qck c rrkk 95） 即，方程（3-1）的解為 1 22 2 2 () 2 ,(1) 621 r c c rkk ck （3- 2 1 v( )ds( ,k), r u( )ds ( ,k), 2cc 96） 且當時，解（3-96）變?yōu)?k 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 23 （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ), 2cc 101） 當時，解（3-96）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )csc( ), r u( )csc ( ). 2cc 102） 當 （3-103） 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()(1), , pp c r qck c rrk 即，方程（3-1）的解為 1 2 2 2 () 2 , 6(1) r c c rk ck （3- 2 1 v( )dc( ,k), r u( )dc ( ,k), 2cc 104） 且當時，解（3-104）變?yōu)?k （3- 2 1 v( )sec( ), r u( )sec ( ). 2cc 105） 第二種情況，取，代入到（3-51） （3-53） （3-54）化 2 1ax 0x 簡 （3- 10 () () ().ax yaxx 106） （3- 1( )().axx 107） 3.首次積分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 24