線性代數(shù)—n維向量.ppt

1,第二節(jié),向量及其線性運算,2,一、向量的概念,定義,行向量,列向量,或,3,向量可視為特殊的矩陣, 因此, 向量的相等、加減法、,分量全部為零的向量稱為零向量，記為 。,數(shù)乘等概念完全與矩陣相同.,則,4,向量的線性運算滿足以下八條運算律：,(1) a+b=b+a (2) a+(b+g)=(a+b)+g (3) a+=a (4) a+(-a)= (5) (k+l)a=ka+la (6) k(a+b)=ka+kb (7) (kl)a=k(la) (8) 1a=a,其中a, b, g 都是n維向量, k, l 為實數(shù).,5,除了上述八條運算規(guī)則，顯然還有以下性質：,例1,解,其中,移項規(guī)則,6,練習：,P141 習題三,7,第三節(jié),向量間的線性關系,8,一、向量組的線性組合,定義,如果兩個向量組可以互相表出,則稱等價。,9,例如, b =(2,-1,1), a1=(1,0,0), a2=(0,1,0), a3=(0,0,1),因為 b = 2a1-a2+a3 ,或者說 b 可由a1,a2,a3 線性表示.,即b 是 a1,a2,a3 的線性組合,10,稱,為n維基本單位向量組。,11,對線性方程組,將系數(shù)矩陣A分裂成列向量,則方程組改寫為,12,例1,解,13,例2,解,14,但表示法不唯一。,15,二、向量組的線性相關性,定義,16,包含零向量的向量組一定線性相關:,單個向量線性相關當且僅當它為零向量:,例3,設,有,17,定理,證,使,則,18,定理,(線性無關)的充分必要條件是齊次線性方程組,有(無)非零解,19,例4,解,判斷下列向量組的線性相關性:,線性相關.,20,解,線性無關.,注意,(1) 寫為列向量, 拼成矩陣；,(2) 只作行變換。,21,推論,線性相關(線性無關)的充分必要條件是行列式,n維基本單位向量組,線性無關,22,例5,證,23,例6,證,必線性相關。,用矩陣形式，,24,有非零解，比如,25,定理,證,26,定理,證,再證表法唯一。,設有兩種表示法，,即表法唯一。,27,線性相關性的性質,(1) 如果向量組有一個部分組線性相關，則該向量組線性相關。,等價命題:,如果一個向量組線性無關, 則其任一部分組,線性無關.,線性相關的向量組添加若干向量仍線性相關;,線性無關的向量組去掉若干向量仍線性無關.,28,可以推廣到添多個分量的情形.,等價命題:,線性相關的向量組各去掉一個(或幾個),分量所得向量組仍線性相關。,證,29,(3) 向量組的個數(shù)如果多于維數(shù), 則必線性相關。,齊次線性方程組,未知量個數(shù)多于方程個數(shù)，,必有非零解，,線性相關(線性無關)的充分必要條件是行列式,30,由上述推論知，,證略.,推