數(shù)理統(tǒng)計的基本概念.ppt

,數(shù)理統(tǒng)計的任務就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題, 盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論.,一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象.,1.總體,研究對象的全體稱為總體(母體)，,總體中每個成員稱為個體.,總體,一、總體和樣本,然而在統(tǒng)計研究中，人們關心總體僅僅是關心其每個個體的一項(或幾項)數(shù)量指標和該數(shù)量指標在總體中的分布情況. 這時，每個個體具有的數(shù)量指標的全體就是總體.,由于每個個體的出現(xiàn)是隨機的，所以相應的數(shù)量指標的出現(xiàn)也帶有隨機性. 從而可以把這種數(shù)量指標看作一個隨機變量，因此隨機變量的分布就是該數(shù)量指標在總體中的分布.,這樣，總體就可以用一個隨機變量及其分布來描述.,而概率分布正是刻劃這種集體性質(zhì)的適當工具. 因此在理論上可以把總體與概率分布等同起來.,從另一方面看,統(tǒng)計的任務,是根據(jù)從總體中抽取的樣本，去推斷總體的性質(zhì).,由于我們關心的是總體中的個體的某項指標(如人的身高、體重，燈泡的壽命,汽車的耗油量) ，所謂總體的性質(zhì)，無非就是這些指標值的集體的性質(zhì).,例如:研究某批燈泡的壽命時，關心的數(shù)量指標就是壽命，那么，此總體就可以用隨機變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.,某批 燈泡的壽命,總體,壽命X可用一概 率分布來刻劃,鑒于此，常用隨機變量的記號 或用其分布函數(shù)表示總體. 如 說總體X或總體F(x) .,類似地，在研究某地區(qū)中學生的營養(yǎng)狀況時，若關心的數(shù)量指標是身高和體重，我們用X和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示.,統(tǒng)計中，總體這個概念 的要旨是：總體就是一個 概率分布.,為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗，以獲得有關總體的信息，這一抽取過程稱為 “抽樣”，所抽取的部分個體稱為樣本. 樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量.,2. 樣本,但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個具體的數(shù) (X1,X2,Xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值 .,樣本是隨機變量.,抽到哪5輛是隨機的,容量為n的樣本可以看作n維隨機變量.,2. 獨立性： X1,X2,Xn是相互獨立的隨機變量.,由于抽樣的目的是為了對總體進行統(tǒng)計推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法.,最常用的一種抽樣方法叫作“簡單隨機抽樣”，它要求抽取的樣本滿足下面兩點:,1. 代表性： X1,X2,Xn中每一個與所考察 的總體有相同的分布.,由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本，它可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,Xn表示.,簡單隨機樣本是應用中最常見的情形，今后，當說到“X1,X2,Xn是取自某總體的樣本”時，若不特別說明，就指簡單隨機樣本.,若總體的分布函數(shù)為F(x)，則其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為,F(x1) F(x2) F(xn),事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值. 如我們從某班大學生中抽取10人測量身高，得到10個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本. 我們只能觀察到隨機變量取的值而見不到隨機變量.,3. 總體、樣本、樣本值的關系,統(tǒng)計是從手中已有的資料-樣本值，去推斷總體的情況-總體分布F(x)的性質(zhì).,總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.,樣本是聯(lián)系二者的橋梁,由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.,二、統(tǒng)計量和抽樣分布,1. 統(tǒng)計量,這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量. 它是完全由樣本決定的量.,幾個常見統(tǒng)計量,樣本均值,樣本方差,它反映了總體均值 的信息,它反映了總體方差 的信息,樣本k階原點矩,樣本k階中心矩,k=1,2,它反映了總體k 階矩 的信息,它反映了總體k 階 中心矩的信息,2. 抽樣分布,統(tǒng)計量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機變量，故統(tǒng)計量也是隨機變量，因而就有一定的分布，這個分布叫做統(tǒng)計量的“抽樣分布” .,抽樣分布就是通常的隨機變量函數(shù)的分布. 只是強調(diào)這一分布是由一個統(tǒng)計量所產(chǎn)生的. 研究統(tǒng)計量的性質(zhì)和評價一個統(tǒng)計推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).,抽樣分布,精確抽樣分布,漸近分布,（小樣本問題中使用）,（大樣本問題中使用),三. 統(tǒng)計三大分布,記為,定義: 設 相互獨立, 都服從正態(tài) 分布N(0,1), 則稱隨機變量： 所服從的分布為自由度為 n 的 分布.,分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.,分布的密度函數(shù)為,請看演示,分布,由 分布的定義，不難得到：,2. 設 且X1,X2相互 獨立，則,這個性質(zhì)叫 分布的可加性.,應用中心極限定理可得，若,的分布近似正態(tài)分布N(0,1).,則可以求得， E(X)=n, D(X)=2n,若,T的密度函數(shù)為：,記為Tt(n).,2、t 分布,具有自由度為n的t分布的隨機變量T的數(shù)學期望和方差為: E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 對n 2,當n充分大時，其圖形類似于標準正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形.,t分布的密度函數(shù)關于x=0對稱，且,不難看到，當n充分大時，t 分布近似N (0,1)分布. 但對于較小的n，t分布與N (0,1)分布相差很大.,請看演示,t 分布,由定義可見，,3、F分布,F(n2,n1),即它的數(shù)學期望并不依賴于第一自由度n1.,X的數(shù)學期望為:,若n22,若XF(n1,n2)， X的概率密度為,請看演示,F分布,統(tǒng)計三大分布的定義、基本性質(zhì)在后面的學習中經(jīng)常用到，要牢記！,教材180頁給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)（分位點）的定義. 它在計算概率查表時經(jīng)常使用.,這里請看演示.,分位數(shù),當總體為正態(tài)分布時，教材上給出了幾個重要的抽樣分布定理. 這里我們不加證明地敘述. 除定理2外，其它幾個定理的證明都可以在教材上找到.,四、幾個重要