信號分析與處理第5章.ppt

第5章 離散時間信號處理基礎(chǔ),5.1 線性時不變離散系統(tǒng)時域模型差分方程,5.1.1 線性時不變離散系統(tǒng)的數(shù)學模型和基本運算單元,5.1.2 差分方程的建立,5.1.3 差分方程的時域經(jīng)典解法,5.1.4 用z變換求解差分方程,5.2 卷積和,5.2.1 零輸入響應和零狀態(tài)響應,5.2.2 離散系統(tǒng)的單位脈沖響應,5.2.3 卷積和,5.2.4 用卷積和計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應,5.3 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),5.3.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義,5.3.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性,5.3.3 系統(tǒng)的頻率特性,5.1 線性時不變離散系統(tǒng)時域模型差分方程,連續(xù)時間信號處理是用連續(xù)時間系統(tǒng)來完成的，而離散信號的處理是用離散時間系統(tǒng)完成的。離散時間系統(tǒng)的作用是將輸入序列轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鲂蛄?，即系統(tǒng)的功能是完成輸入x(n)轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鰕(n)的運算，記為：,y(n)=Tx(n),5.1.1 線性時不變離散系統(tǒng)的數(shù)學模型和基本運算單元,離散時間系統(tǒng)的輸入與輸出是離散的時間序列，它們的關(guān)系常用差分方程來描述。對于在輸入序列x(n)激勵下的輸出響應y(n)系統(tǒng)，其數(shù)學模型是下面的差分方程。,描述離散系統(tǒng)的差分方程是由延遲、倍乘、相加三種基本運算單元組合而成的。常用的基本運算單元如圖5-1所示。,圖5-1 離散時間系統(tǒng)基本運算單元：延遲，倍乘，相加,5.1.2 差分方程的建立,例5-1 系統(tǒng)方框如圖5-2所示，寫出其差分方程。,解：根據(jù)系統(tǒng)框圖 輸出y(n)由輸入x(n)與y(n)一個延遲相加得出的,y(n)=ay(n-1)+x(n),等式左邊由未知序列y(n)及其移位序列y(n-1)構(gòu)成，因為僅差一個移位序列，所以是一階差分方程。,y(n)-ay(n-1)=x(n),例5-2 已知一個離散LTI系統(tǒng)如圖5-3，寫出系統(tǒng)的差分方程。,解：圍繞加法器，利用延遲算子D滯后作用，可方便的寫出系統(tǒng)的差分方程為,y(n)-y(n-1)+0.5 y(n-2) =x(n),因為y(n)最高與最低值之差相差二個移位序列，所以是二階差分方程,如果系統(tǒng)的激勵為x(n)，響應為y(n)，則描述線性時不變離散系統(tǒng)的N階差分方程的一般形式為,上式可寫成,其中,為實常數(shù)，N稱為方程的階數(shù)。,如果式中a00，且已知x(n)和初始條件y(1)，y(2)，y(N-1)，則可以計算出n0時的所有輸出y(n)。,這種方法概念清楚，也比較簡單，適合計算機編程求解，但不能給出解答的解析表達式。求解差分方程的方法還有時域經(jīng)典法，Z變換法等。,5.1.3 差分方程的時域經(jīng)典解法,與微分方程的經(jīng)典解相類似，形如式（5-3）差分方程的解由齊次解和特解兩部分組成。,1齊次解,當一般差分方程(5-3)中的x(n)及其移位項的系數(shù)bk均為零時，那么該差分方程就成為齊次方程，其形式為,它的解稱為齊次解。,式中y(1)，y(2)，y(N-1)為初始條件。,對于N階齊次差分方程,（1）特征根均為單根,如果N個特征根,都互不相同，則差分方程的齊次解為,先求出其所對應的特征方程的特征根,式中常數(shù)Ci(i =1,2,N)由初始條件確定。,例5-3 已知差分方程和系統(tǒng)的初始條件,，試求齊次解。,解：該齊次差分方程的特征方程為,，可求得其解為,它們都是單根，由式（5-9）得該方程的齊次解應為,代入初始條件,所以：,于是方程的齊次解為,（2）特征根有重根,如果1是特征方程的r重根，則差分方程的齊次解為,式中常數(shù)Ci由初始條件確定。,例5-4 已知差分方程,和初始條件,，試求它的齊次解。,解：方程的特征方程為：,解得,由式（5-10）可得該方程的齊次解應為,代入初始條件,可得,方程的齊次解為,如果1是特征方程的r根，即有1=2=r , N-r根，則差分方程的齊次解為,（3）特征方程有復根,與連續(xù)時間系統(tǒng)類似，對實系數(shù)的特征方程，若有復根必為共軛成對出現(xiàn)，形成振蕩 (增、減、等幅)序列。一般共軛復根既可當單根處理，最后整理成實序列，亦可看做整體因子。當特征方程有共軛復根時，齊次解的形式可以是增幅、等幅或衰減形式的正弦或余弦序列。,2非齊次方程的特解 與常系數(shù)微分方程特解的求法相類似，差分方程特解的形式也與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。選定特解后，把它代入到原差分方程，求出其待定系數(shù)，就得出方程的特解。表5-1列出各種輸入信號對應的特解，供大家參考。,3完全解 求線性差分方程的完全解的一般步驟如下： (1)寫出與該方程相對應的特征方程；求出特征根，并寫出其齊次解通式; (2) 根據(jù)原方程的激勵函數(shù)的形式，寫出其特解的通式； (3) 將特解通式代入原方程求出待定系數(shù)，確定特解形式； (4) 寫出原方程的通解的一般形式(即齊次解+特解)； (5) 把初始條件代入，求出齊次解的待定系數(shù)值。,例5-5 解差分方程,，其中,解：先求方程,的齊次解，特征方程為,，,。,可解特征根,因此,根據(jù)表5-1得出其特解形式：,帶入原方程：,解出,特解為,差分方程的全解為,將已知的初始條件帶入上式，有,由上例可以分析，差分方程的齊次解也稱為系統(tǒng)的自由響應，此時系統(tǒng)沒有輸入信號，完全由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所決定。特解也稱為強迫響應，由輸入信號決定，而此時不考慮系統(tǒng)的初始狀態(tài)。其完全解稱為全響應。,5.1.3 用Z變換求解差分方程,線性時不變離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為,設(shè)x(n)為因果信號，對上式兩邊取Z變換，并利用移位性質(zhì)，得,解出Y(z)后再取逆變換可得輸出序列y(n)。,例5-6 已知差分方程,，,，求響應y(n)。,解 對方程兩邊分別取Z變換，并利用移位性質(zhì)，有,用部分分式法得,取逆變換，得,5.2 卷積和,5.2.1 零輸入響應和零狀態(tài)響應,線性時不變離散系統(tǒng)的完全響應還可以分為零輸入響應和零狀態(tài)響應。,（1）零輸入響應,若其特征根均為單根，則其零輸入響應,式中Czi為待定系數(shù)，用初始狀態(tài)確定。,（2）零狀態(tài)響應,所謂零輸入響應是指激勵為零時僅由初始狀態(tài)所引起的響應。,零狀態(tài)響應是指初始狀態(tài)為零時僅由輸入信號所引起的響應。,若其特征根為單根，則零狀態(tài)響應,式中Czs為待定系數(shù)。,y(n)與各種響應之間的關(guān)系是,式中,（3）全響應,線性時不變系統(tǒng)的全響應是零輸入響應與零狀態(tài)響應之和，即,例5-7 用Z變換求例5-6的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。,解 輸入為零時，差分方程右端為零，初始值,。對方程兩邊取Z變換后有,顯然，零輸入響應為,對零狀態(tài)響應，初始狀態(tài)為零，。對方程兩邊取Z變換后有,把它用部分分式展開，得,則零狀態(tài)響應為,將零輸入響應與零狀態(tài)響應相加，全響應為,5.2.2 離散系統(tǒng)的單位脈沖響應,由(n)產(chǎn)生的系統(tǒng)零狀態(tài)響應定義為單位脈沖響應（也可以稱為單位樣值響應），記為h(n)。,h(n)=T(n),h(n)和模擬系統(tǒng)中的h(t)單位沖激響應相類似，都代表系統(tǒng)的時域特征。,意義：由于任意序列都可以用單位脈沖序列的移位加權(quán)和表示，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性，只要求得系統(tǒng)的單位脈沖響應，則多個單位脈沖序列作用于線性系統(tǒng)所引起的響應等于各個單位脈沖序列所引起的響應（單位脈沖響應）的線性組合。,由差分方程計算系統(tǒng)的單位脈沖響應的方法：遞推法、經(jīng)典法 、z變換法,例5-8 已知某系統(tǒng)的差分方程,，分別用遞推法、經(jīng)典法和z變換法求單位脈沖響應h(n)。,解：,1、遞推法,遞推公式為,2、經(jīng)典法,先用遞推公式求得,顯然，差分方程的特征根,則n1時的單位脈沖響應為,根據(jù)h(0)=1可確定出C=1，故,3、Z變換法,兩邊取Z變換，得,取Z逆變換得,5.2.3 卷積和,由于任一離散時間信號可以表示為移位單位樣值序列的加權(quán)和，即,線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系,系統(tǒng)的輸出為,由系統(tǒng)的線性性質(zhì)可得,可加性,齊次性,由系統(tǒng)的時不變性質(zhì)得,上式表示線性時不變系統(tǒng)對任意輸入信號的響應可表示為系統(tǒng)的單位脈沖響應與輸入信號的“卷積和”（線性卷積），可以用運算符號“ * ”表示成下式:,卷積符合交換律、分配律和結(jié)合律，即,任一信號x(n)與延遲n0時間的單位樣值信號(n-n0)的卷積為,5.2.4 用卷積和計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應,線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應,卷積和的運算有很多方法，基本上可分為解析法、列表法、圖解法、豎式法和變換域法等。本節(jié)將舉例對卷積和的運算進行說明，重點介紹解析法、圖解法和豎式法和z域法。,一、解析法,根據(jù)式（5-28）的卷積定義，利用離散序列的卷積性質(zhì)，通過級數(shù)求和公式，可以方便地求出結(jié)果。,例5-10 已知激勵信號序列,，單位脈沖響應,，求零狀態(tài)響應,。,解 由卷積和定義， 考慮單位階躍序列(n)特性，有,為了計算方便，將常用序列卷積和結(jié)果列于表5-2，供大家參考。,由無窮等比級數(shù)求和公式，可得,二、圖解法： 與卷積運算一樣，用圖解法求兩序列的卷積和運算也包括信號的反轉(zhuǎn)、移位、相乘、求和等四個基本步驟。,例5-11 已知離散信號和單位脈沖響應,求卷積和,三、豎式法,對于復雜的序列圖解法和解析法均難以應用，用計算機來實現(xiàn)很簡單。也有人研究一些簡便計算方法，例如：“對位相乘求和”法計算卷積和就是其中一種，非常簡便。,“對位相乘求和”法計算卷積和的方法為：將兩序列樣值以各自n的最高值按右端對齊，然后把逐個樣值對應相乘但不要進位，最后把同一列上的乘積值按對位求和即可得到y(tǒng)(n),例5-12 在例題5-11中將兩序列樣值以各自n的最低位按左端對齊，如下排列：,4 3 2 1,1 3 2,4 3 2 1 12 9 6 3 + 8 6 4 2,4 15 19 13 7 2,四、z域法,利用Z變換的時域卷積性質(zhì)，即,可以把在時域的卷積問題轉(zhuǎn)化為z域的相乘問題。,例5-14 系統(tǒng)的單位脈沖響應為,，求系統(tǒng)在激勵,解：單位脈沖響應的Z變換為,作用下的零狀態(tài)響應。,激勵信號的Z變換為,利用卷積定理得,取逆變換,5.3 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),5.3.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義,1、系統(tǒng)函數(shù)的引出,卷積,卷積運算量比較大，不過由于卷積運算在z域變?yōu)橄喑岁P(guān)系，則有,把上式中的H(z)定義為系統(tǒng)函數(shù)，它是單位脈沖響應h(n)的z變換，或是z域零狀態(tài)響應與激勵的比值，即,當系統(tǒng)的差分方程給出時，設(shè)為,在零狀態(tài)條件下，對上式兩邊取Z變換，系統(tǒng)函數(shù)為,2、線性時不變離散系統(tǒng)的三種描述方式,可以用以下三種方式描述線性時不變離散系統(tǒng)：差分方程，脈沖響應，系統(tǒng)函數(shù)，它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。,例5-15 已知,，求系統(tǒng)函數(shù)和差分方程。,解 對h(n)取Z變換，傳遞函數(shù)為,給分子和分母同乘以,，上式又可寫成,交叉相乘得,則差分方程為,三、系統(tǒng)的z域框圖,在實際應用中，往往根據(jù)系統(tǒng)的技術(shù)指標要求，首先確定出系統(tǒng)函數(shù)H(z)，再選用一種框圖實現(xiàn)H(z)，最后，根據(jù)框圖編寫數(shù)據(jù)處理的算法和程序。z域框圖與時域框圖只在延遲環(huán)節(jié)的表示上有區(qū)別，如圖5-6所示。為了便于比較，把圖5-1重畫在圖5-6中。,例5-16 已知系統(tǒng)函數(shù),試給出實現(xiàn)H(z)的框圖及數(shù)據(jù)處理算法。,解 根據(jù)給定的系統(tǒng)函數(shù)，Y(z)可表示為,與該式對應的一種系統(tǒng)的z域框圖如圖5-7所示。,設(shè)兩個延遲單元的輸出分別為v(n)和w(n)，則有,在編寫數(shù)據(jù)處理程序時，對每一給定的輸入x(n)，按以下算法重復計算：,5.3.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性,1、系統(tǒng)穩(wěn)定性的時域判別法,如果對任一有界輸入x(n)只能產(chǎn)生有界輸出y(n)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,證明：根據(jù)卷積公式,當,時（其中M為實常數(shù)），若有,則系統(tǒng)穩(wěn)定。,因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件（也可證明是必要條件）為,即離散時間系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是脈沖響應h(n)絕對可和。,對因果系統(tǒng)，上式求和從n=0開始，即,2、系統(tǒng)穩(wěn)定性的z域判別法,根據(jù)Z變換的定義,如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，上式為有限值，則H(z)在,即在單位圓上即處必收斂。,因此，離散線性時不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是：系統(tǒng)函數(shù)的收斂域必須包含單位圓。對單邊Z變換，H(z)的所有極點在收斂域的內(nèi)圓以內(nèi)，因而因果穩(wěn)定系統(tǒng)時H(z)的所有極點必須位于單位圓內(nèi)，如圖5-6所示。,3、系統(tǒng)函數(shù)的零極點與時域響應的關(guān)系,如果從系統(tǒng)函數(shù)的極點與時域響應之間的對應關(guān)系考慮，對單極點p，其z域和時域響應分量分別為,如果極點p是二階的，則有,當|p|1時，式（5-35）和式（5-36）響應分量的總趨勢隨n增大而衰減，,滿足絕對可和條件。,當|p|1時，響應分量的總趨勢隨n增大而增大，,，不滿足絕對可和條件。,當|p|=1時，也不滿足絕對可和條件。,例5-16 系統(tǒng)的差分方程為,（2）分析此因果系統(tǒng)H(z)的穩(wěn)定性；,（1）求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；,（3）求單位脈沖響應h(n)。,解（1）對差分方程兩邊取Z變換，得,（2）H(z)的兩個極點都在單位圓內(nèi)，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,（3）將H(z)/z展成部分分式，得,取逆變換，得單位脈沖響應,4、系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與系統(tǒng)的因果性,對于線性時不變系統(tǒng)，如果它是因果系統(tǒng)，則要求它的單位脈沖響應滿足條件,系統(tǒng)函數(shù)的所有極點都必須在單位圓內(nèi)，這樣的系統(tǒng)才能同時滿足穩(wěn)定性與因果性的要求。,這實際上是要求系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)為因果信號。由于系統(tǒng)函數(shù)H(z)是h(n)的Z變換，所以，根據(jù)Z變換的性質(zhì)，h(n)是否為因果信號，與H(z)收斂域的情況有直接的關(guān)系，即離散線性時不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是：系統(tǒng)函數(shù)的ROC是某個圓外部的區(qū)域，且包括無窮遠點。,5.3.3 系統(tǒng)的頻率特性,1、離散系統(tǒng)的頻率響應,離散時間系統(tǒng)在指數(shù)序列,輸入下的響應。,設(shè)系統(tǒng)是因果的，單位脈沖響應為h(n)，根據(jù)卷積公式，響應,上式中括號中的項為H(z)在z=z0處的值，設(shè)H(z0)存在，于是,其中,該式說明，系統(tǒng)在指數(shù)序列輸入條件下，響應也為指數(shù)序列，其權(quán)值為,它一般為復數(shù)，可用幅度和相位表示為,則,令z=ej，即當z在單位圓02上變化時，可得,其中,一般為復函數(shù)， H(ej)隨頻率的變化稱為離散時間系統(tǒng)的頻率響應，它給出了系統(tǒng)的頻域描述。由式（5-44）可知，H(ej)正好是該系統(tǒng)單位樣值響應的離散時間傅里