(論文)淺談微積分中求極限的方法

教學(xué)，重要的不是教師的“教”，而是學(xué)生的“學(xué)”淺談微積分中求極限的方法孟凡洲（河南大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 開封475004）摘 要 極限是微積分的一條基本線索，本文概述了微積分中幾種常用的求極限的方法：利用極限的定義驗(yàn)證極限；利用單調(diào)有界定理求極限；利用初等變換求極限；利用夾逼性求極限；利用兩個(gè)主要極限求極限；利用洛必達(dá)法則求極限；利用等價(jià)量代換求極限；利用定積分求極限；利用上下極限法求極限；利用壓縮性條件求極限；利用遞推公式求極限；利用泰勒展開式求極限等.關(guān)鍵詞 極限;洛必達(dá)法則;單調(diào)有界.1利用數(shù)列極限的定義驗(yàn)證極限利用極限的定義驗(yàn)證極限，應(yīng)先根據(jù)極限的唯一性求出極限，然后再證明極限的存.例1 求=.解 因要證： 只需證：N=max 因此 只要 既有： 所以，2利用單調(diào)有界定理求極限利用單調(diào)有界定理求極限的依據(jù)是單調(diào)有界數(shù)列必有極限.所以我們?cè)谇髽O限時(shí)一般分三個(gè)步驟：1 證單調(diào)性 2 證有界性 3 設(shè)出極限，求解關(guān)于極限的方程.例2 證明序列 的極限存在，并求.證明 令=則：故，由及的單調(diào)遞增性知：（1）若 ，則設(shè)時(shí) 則由歸納法可知： 于是即 顯然： 故 .于是：?jiǎn)握{(diào)遞增且有上界，于是收斂，我們記收斂于，則于是在中取極限值，得： 可得 而.（2）時(shí) 則同理可證： 于是： 即顯然 故故 單調(diào)遞減，且有下界，故收斂.同樣可知 .3 利用初等變換求極限利用初等變換是將變形，然后求極限。利用初等變換求極限也是求極限的一個(gè)重要方法，應(yīng)該熟練的掌握。利用初等變換求極限時(shí)要注意變形的準(zhǔn)確性，要做有利于解題的變形.例3 設(shè)= 求.解 兩邊同乘以 ，則可以得到： = =.4 利用夾逼性定理求極限夾逼性是指若存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有若 則 ，利用夾逼性求極限時(shí)，應(yīng)注意將做適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小.例4 求極限.解 記則.又從而 .例5 .解 由:從而不等式兩邊同時(shí)開次得：因?yàn)?，由夾逼定理知：.5 利用兩個(gè)重要極限求極限兩個(gè)重要極限是： （1） （2） .其中第一種重要極限可理解為，而第二種極限可以理解為或者.兩個(gè)重要求極限是求極限的一個(gè)重要手段。我們要根據(jù)題目中給出的條件靈活的選擇適當(dāng)?shù)男问剑允惯\(yùn)算更加便.例6 求.解 6 利用洛必達(dá)法則求極限利用洛必達(dá)法則求極限的時(shí)候應(yīng)該注意到或不存在不能得出或也不存在.洛必達(dá)法則是處理未定式極限的重要手段，且非常有效.但它只能應(yīng)用于（）型和型的未定式.只要是（）型和型的，都可一直進(jìn)行下去.每完成一次法則都要將式子化簡(jiǎn).而對(duì)于等形式，需化為（）型和型的形式求解.例7 求解 = = = = = 0例8 證明：.證明其中用了變量代換例 . 7 利用定理求極限定理是求分式數(shù)列極限的常用方法，是求極限的重要手段.定理：設(shè)是單調(diào)增加的正無窮大量，（可以是有限量，），則 .例 9 設(shè) （其中）.求 .解 因，應(yīng)用公式，= （再次用公式） .8 利用等價(jià)量代換求極限等價(jià)量代換是我們求解極限問題常用的方法.解題時(shí)要注意無窮小量的代換，熟悉常用的無窮小量代換，能便捷的求出極限.注意幾個(gè)幾個(gè)常用的無窮小量等價(jià)替換：其中且 為常數(shù) .例10 求極限.解 = = =1 .9 利用定積分求極限定義：若f（x）在a,b上可積，則對(duì)a,b的任一分割T ：，及介點(diǎn)都有其中 ， .例11 求極限 .解 記 則，它可看作在上對(duì)應(yīng)于等分割以及介點(diǎn)的積分和.于是，故.10 利用上下極限法求極限利用上下極限法求極限是一個(gè)很好的求極限方法，適用于一般的求數(shù)列極限，要很好的掌握.收斂的充分必要條件是：.例12 設(shè)，.則收斂證明 若，則.由時(shí)，知，設(shè)在已知等式中，分別取上下極限，知：，易知故收斂.11 利用微分中值定理求極限微分中值定理和其他求極限的方法聯(lián)系起來，能使問題更簡(jiǎn)便例13 求極限.解 設(shè)，在與所構(gòu)成的區(qū)間上應(yīng)用Lagrange中值定理： 4(介于).12 利用壓縮性條件求極限原理：設(shè)滿足：則收斂.例14 設(shè)，求.解 首先證明的存在：由已知條件：又顯然,于是，故 于是存在，記為則在上式中求極限：，即又 故：于是：（舍去）.13 利用遞推公式求極限理論：我們常常見到一些數(shù)列滿足 ,我們可以利用的規(guī)律性來推得某些關(guān)系再結(jié)合其他求極限的方法，可求得的極.例15 Fibonacci數(shù)列 ,， 那么.證明 記 則：，（1）.則由（1）可得：于是 顯然; 于是： .滿足壓縮性條件，故收斂于，在（1）中兩端取極限，且由，可知,即.例16 設(shè) ，求.解 令 則從而,于是單調(diào)有界 從而收斂，記收斂于，則.由，知：從而（利用公式） .14 利用泰勒展開求極限用泰勒公式求極限是將復(fù)合函數(shù)在某點(diǎn)展開，化為統(tǒng)一的多項(xiàng)式形式.例17 求極限.解 由可得：.綜上所述，以上歸納了求極限的幾種求法.當(dāng)然還有一些其他的方法，如利用麥克勞林公式、利用柯西準(zhǔn)則等等.由