人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下第十七章勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么勾股定理的證明：方法一：，化簡(jiǎn)可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 方法三：，化簡(jiǎn)得證17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.3、互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.4、勾股數(shù)：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾股數(shù)常見(jiàn)的勾股數(shù)有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等例、在RtABC中，a=3，b=4，求c錯(cuò)解由勾股定理，得c=5診斷 這里默認(rèn)了C為直角其實(shí)，題目中沒(méi)有明確哪個(gè)角為直角，當(dāng)ba時(shí)，B可以為直角，故本題解答遺漏了這一種情況 當(dāng)B為直角時(shí)，c=例、已知RtABC中，B=RT，a=，c=，求b.錯(cuò)解 由勾股定理，得B=診斷 這里錯(cuò)在盲目地套用勾股定理“a2b2=c2”殊不知，只有當(dāng)C=Rt時(shí)，a2b2=c2才能成立，而當(dāng)B=Rt時(shí)，則勾股定理的表達(dá)式應(yīng)為a2c2=b2正確解答 B=Rt，由勾股定理知a2c2=b2b=例、若直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為6cm、8cm，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)錯(cuò)解 設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm由勾股定理，得x2=6282x=10即第三邊長(zhǎng)為10cm診斷 這里在利用勾股定理計(jì)算時(shí)，誤認(rèn)為第三邊為斜邊，其實(shí)題設(shè)中并沒(méi)有說(shuō)明已知的兩邊為直角邊，第三邊可能是斜邊，也可能是直角邊正確解法 設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm若第三邊長(zhǎng)為斜邊，由勾股定理，得x=10(cm)若第三邊長(zhǎng)為直角邊，則8cm長(zhǎng)的邊必為斜邊，由勾股定理，得x=(cm)因此，第三邊的長(zhǎng)度是10cm或者cm.例、如圖，已知RtABC中，BAC=90，AD是高，AM是中線，且AM=BC=AD.又RTABC的周長(zhǎng)是(6+2)cm.求AD錯(cuò)解 ABC是直角三角形，AC:AB:BC=3:4:5ACABBC=345AC=(6+2)=，AB=(6+2)=，BC=(6+2)=又=AD=(3+)(cm)診斷 我們知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三邊關(guān)系的一種特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三邊關(guān)系上述解法犯了以特殊代替一般的錯(cuò)誤正確解法AM=MD=又MC=MA，CD=MD點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于AD成軸對(duì)稱AC=AM，AMD=60=CB=30，AC=BC，AB=BCAC+AB+BC=BC+BC+BC=6+.BC=4BC=AD， AD=(cm)例、在ABC中，abc=91512， 試判定ABC是不是直角三角形錯(cuò)解 依題意，設(shè)a=9k，b=15k，c=12k(k0)a2b2=(9k)2(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，a2b2c2ABC不是直角三角形診斷 我們知道“如果一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊的平方等于另外兩邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形”而上面解答錯(cuò)在沒(méi)有分辨清楚最長(zhǎng)邊的情況下，就盲目套用勾股定理的逆定理正確解法 由題意知b是最長(zhǎng)邊設(shè)a=9k，b=15k，c=12k(k0)a2c2=(9k)2(12k)2=81k2144k2=225k2b2=(15k)2=225k2，a2c2=b2ABC是直角三角形單靠“死”記還不行,還得“活”用,姑且稱之為“先死后活”吧。讓學(xué)生把一周看到或聽(tīng)到的新鮮事記下來(lái),摒棄那些假話套話空話,寫(xiě)出自己的真情實(shí)感,篇幅可長(zhǎng)可短,并要求運(yùn)用積累的成語(yǔ)、名言警句等,定期檢查點(diǎn)評(píng),選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即鞏固了所學(xué)的材料,又鍛煉了學(xué)生的寫(xiě)作能力,同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力、思維能力等等,達(dá)到“一石多鳥(niǎo)”的效果。例、已知在ABC中，ABAC，AD是中線，AE是高求證：AB2AC2=2BCDE錯(cuò)證 如圖AEBC于E，AB2=BE2AE2，AC2=EC2AE2AB2AC2=BE2EC2=(BEEC)(BEEC)=BC(BEEC)BD=DC， BE=BCEC=2DCECAB2AC2=BC(2DCECEC)=2BCDE診斷 題設(shè)中既沒(méi)明確指出ABC的形狀，又沒(méi)給出圖形，因此，這個(gè)三角形有可能是銳角三角形，也可能是直角三角形或鈍角三角形高AE既可以在形內(nèi)，也可以與一邊重合，還可以在形外，這三種情況都符合題意而這里僅只證明了其中的一種情況，這就犯了以偏概全的錯(cuò)誤.剩下的兩種情況如圖所示.正確證明由讀者自己完成例、已知在ABC中，三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，a=n，b=-1，c=(n是大于2的偶數(shù)).求證:ABC是直角三角形.錯(cuò)證1 n是大于2的偶數(shù)，取n=4，這時(shí) a=4，b=3，c=5a2b2=4232=25=52=c2，ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)唐宋或更早之前，針對(duì)“經(jīng)學(xué)”“律學(xué)”“算學(xué)”和“書(shū)學(xué)”各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士”，這與當(dāng)今“博士”含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事”或講解“經(jīng)籍”者，又稱“講師”。“教授”和“助教”均原為學(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)”“律學(xué)”“醫(yī)學(xué)”“武學(xué)”等科目的講授者；而后者則于西晉武帝時(shí)代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國(guó)子、博士培養(yǎng)生徒。“助教”在古代不僅要作入流的學(xué)問(wèn)，其教書(shū)育人的職責(zé)也十分明晰。唐代國(guó)子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教”一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國(guó)子監(jiān)（國(guó)子學(xué)）一科的“助教”，其身價(jià)不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無(wú)論是“博士”“講師”，還是“教授”“助教”，其今日教師應(yīng)具有的基本概念都具有了。由勾股定理知ABC是直角三角形正解 a2+b2=n2+(-1)2=n2+-+1=+1c2=()2=()2=+1與當(dāng)今“教師”一稱最接近的“老師”概念，最早也要追溯至宋元時(shí)期。金代元好問(wèn)示侄孫伯安詩(shī)云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說(shuō)字驚老師?！庇谑强?，宋元時(shí)期小學(xué)教師被稱為“老師”有案可稽。清代稱主考官也為“老師”，而一般學(xué)堂里的先生則稱為“教師”或“教習(xí)”