2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷及答案-湖南卷.doc

絕密啟用前2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.參考公式:如果事件、互斥，那么如果事件、相互獨(dú)立，那么如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率是 球的體積公式 ,球的表面積公式，其中表示球的半徑一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1復(fù)數(shù)等于（ ）a b c d2不等式的解集是（ ）abcd3設(shè)是兩個(gè)集合，則“”是“”的（ ）a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件d既不充分又不必要條件4設(shè)是非零向量，若函數(shù)的圖象是一條直線，則必有（ ）a bcd5設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知，則=（ ）a0.025b0.050c0.950d0.9756函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）a4b3c2d17下列四個(gè)命題中，不正確的是（ ）a若函數(shù)在處連續(xù)，則b函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)是和c若函數(shù)，滿足，則d8棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長為（ ）abcd9設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）abcd10設(shè)集合， 都是的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對(duì)任意的，（，），都有（表示兩個(gè)數(shù)中的較小者），則的最大值是（ ）a10b11c12d13二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在橫線上11圓心為且與直線相切的圓的方程是 12在中，角所對(duì)的邊分別為，若，b=，則 13函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 14設(shè)集合，（1）的取值范圍是 ；（2）若，且的最大值為9，則的值是 15將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，第次全行的數(shù)都為1的是第 行；第61行中1的個(gè)數(shù)是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 圖1三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（i）設(shè)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，求的值（ii）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間17（本小題滿分12分）某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響（i）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；（ii）任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布列和期望18（本小題滿分12分）如圖2，分別是矩形的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，將，分別沿翻折成，并連結(jié)，使得平面平面，且連結(jié)，如圖3aebcfdg圖2圖3（i）證明：平面平面；（ii）當(dāng)，時(shí)，求直線和平面所成的角19（本小題滿分12分）如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路，點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點(diǎn)到平面的距離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬元/km當(dāng)山坡上公路長度為km（）時(shí)，其造價(jià)為萬元已知，（i）在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最?。唬╥i） 對(duì)于（i）中得到的點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最?。╥ii）在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（ii）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論20（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（i）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（ii）在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由21（本小題滿分13分）已知（）是曲線上的點(diǎn)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，（i）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（ii）確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（iii）證明：當(dāng)時(shí)，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1c 2d 3b 4a 5c 6b 7c 8d 9d 10b二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在橫線上11121314（1）（2）15，32三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16解：（i）由題設(shè)知因?yàn)槭呛瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱軸，所以，即（）所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，（ii）當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）17解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，（i）解法一：任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是（ii）因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的，所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即的分布列是01230.0010.0270. 2430.729的期望是（或的期望是）18解：解法一：（）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（ii）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)由（i）的結(jié)論可知，平面，所以是和平面所成的角因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，故因?yàn)?，所以可在上取一點(diǎn)，使，又因?yàn)?，所以四邊形是矩形由題設(shè)，則所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（i）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，從而又，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平面（ii）由（i）可知，平面故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)，則，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得故可取過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，于是點(diǎn)在軸上因?yàn)?，所以，設(shè)（），由，解得，所以設(shè)和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是19解：（i）如圖，由三垂線定理逆定理知，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設(shè)，則記總造價(jià)為萬元，據(jù)題設(shè)有當(dāng)，即時(shí)，總造價(jià)最小（ii）設(shè)，總造價(jià)為萬元，根據(jù)題設(shè)有則，由，得當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是增函數(shù)故當(dāng)，即（km）時(shí)總造價(jià)最小，且最小總造價(jià)為萬元（iii）解法一：不存在這樣的點(diǎn)，事實(shí)上，在上任取不同的兩點(diǎn)，為使總造價(jià)最小，顯然不能位于 與之間故可設(shè)位于與之間，且=，總造價(jià)為萬元，則類似于（i）、（ii）討論知，當(dāng)且僅當(dāng)，同時(shí)成立時(shí)，上述兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立，此時(shí)，取得最小值，點(diǎn)分別與點(diǎn)重合，所以不存在這樣的點(diǎn) ，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（ii）中得到的最小總造價(jià)解法二：同解法一得當(dāng)且僅當(dāng)且，即同時(shí)成立時(shí)，取得最小值，以上同解法一20解：由條件知，設(shè)，解法一：（i）設(shè)，則則，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是（ii）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是因?yàn)槭桥c無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)解法二：（i）同解法一的（i）有當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 由得當(dāng)時(shí)，由得，將其代入有整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是（ii）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（i）有，以上同解法一的（ii）21解：（i）當(dāng)時(shí)，由已知得因?yàn)?，所?于是 由得 于是 由得， 所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列（ii）由有，所以由有，所以，而 表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對(duì)任意的成立且即所求的取值集合是（iii）解