【高考輔導(dǎo)資料】2008年高考數(shù)學(xué)理科試題匯編--立體幾何

2008年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編立體幾何一選擇題：1（上海卷13） 給定空間中的直線l及平面a，條件“直線l與平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面a垂直”的（ C ）條件A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要2.（全國(guó)一11）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ C ）AB CD3.（全國(guó)二10）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（ C ）ABCD4.（全國(guó)二12）已知球的半徑為2，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓若兩圓的公共弦長(zhǎng)為2，則兩圓的圓心距等于（ C ）A1 B C D25.（北京卷8）如圖，動(dòng)點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于設(shè)，則函數(shù)的圖象大致是（ B ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO7.（四川卷）設(shè)是球心的半徑上的兩點(diǎn)，且，分別過(guò)作垂線于的面截球得三個(gè)圓，則這三個(gè)圓的面積之比為：( D )（）（）（）（）8.（四川卷）設(shè)直線平面，過(guò)平面外一點(diǎn)與都成角的直線有且只有：( B )（）條（）條（）條（）條9.（天津卷5）設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，則的一個(gè)充分條件是C（A） （B） （C） （D）10.（安徽卷4）已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（D ）ABC D11.（山東卷6）右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是D(A)9（B）10(C)11 (D)1212.（江西卷10）連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦、的長(zhǎng)度分別等于、，、分別為、的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題：弦、可能相交于點(diǎn) 弦、可能相交于點(diǎn)的最大值為5 的最小值為1其中真命題的個(gè)數(shù)為CA1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)13.（湖北卷3）用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為BA. B. C. D. 14，（湖南卷5）設(shè)有直線m、n和平面、.下列四個(gè)命題中，正確的是( D )A.若m,n,則mnB.若m,n,m,n,則C.若，m,則mD.若，m，m,則m15.（湖南卷9）長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是( C )A.2B.C.D. ABabl16.（陜西卷9）如圖，到的距離分別是和，與所成的角分別是和，在內(nèi)的射影分別是和，若，則（ D ）ABCD17.（陜西卷14）長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)都在球的球面上，其中兩點(diǎn)的球面距離記為，兩點(diǎn)的球面距離記為，則的值為 18.（重慶卷 9)如解（9）圖，體積為V的大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過(guò)大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)交點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn).V1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是D（A）V1=(B) V2=（C）V1 V2 （D）V1 V219.（福建卷6)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為DA.B. C. D. 20.（廣東卷5）將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ A ）EFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEABEBBECBED21.（遼寧卷11）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（ D ）A不存在B有且只有兩條C有且只有三條D有無(wú)數(shù)條22.（海南卷12）某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則a + b的最大值為（ C ）A. B. C. 4D. 23.（海南卷15）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為 _二填空題：1.（天津卷13）若一個(gè)球的體積為，則它的表面積為_122.（全國(guó)一16）等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，則所成角的余弦值等于 3.（全國(guó)二16）平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件 ；充要條件 （寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件）（兩組相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)；底面是平行四邊形注：上面給出了四個(gè)充要條件如果考生寫出其他正確答案，同樣給分）4.（四川卷15）已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于_。5.（安徽卷16）已知在同一個(gè)球面上,若,則兩點(diǎn)間的球面距離是 6.（江西卷16）如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)P。如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)（圖2）。有下列四個(gè)命題：A正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過(guò)點(diǎn)C任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿其中真命題的代號(hào)是： B,D （寫出所有真命題的代號(hào)）7.（福建卷15）若三棱錐的三個(gè)側(cè)圓兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是. 98.（浙江卷14）如圖，已知球O點(diǎn)面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O點(diǎn)體積等于_。9.（遼寧卷14）在體積為的球的表面上有A，B，C三點(diǎn)，AB=1，BC=，A，C兩點(diǎn)的球面距離為，則球心到平面ABC的距離為_三解答題：1.（全國(guó)一18）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，CDEAB（）證明：；（）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小解：（1）取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，18題圖又面面，面，即，面，（2）在面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，面，則即為所求二面角的平面角，則，即二面角的大小ABCDEA1B1C1D12.（全國(guó)二19）（本小題滿分12分）如圖，正四棱柱中，點(diǎn)在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小解法一：依題設(shè)知，（）連結(jié)交于點(diǎn)，則由三垂線定理知，3分ABCDEA1B1C1D1FHG在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，由于，故，與互余于是與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，所以平面6分（）作，垂足為，連結(jié)由三垂線定理知，故是二面角的平面角8分，又，ABCDEA1B1C1D1yxz所以二面角的大小為12分 解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系依題設(shè)，3分（）因?yàn)椋?，又，所以平?分（）設(shè)向量是平面的法向量，則，故，令，則，9分等于二面角的平面角， 所以二面角的大小為12分ACBP3（北京卷16）如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大?。唬ǎ┣簏c(diǎn)到平面的距離解法一：（）取中點(diǎn)，連結(jié)，ACBDP，平面平面，（），ACBEP又，又，即，且，平面取中點(diǎn)連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，是二面角的平面角在中，ACBDPH二面角的大小為（）由（）知平面，平面平面過(guò)作，垂足為平面平面，平面的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離由（）知，又，且，平面平面，在中， 點(diǎn)到平面的距離為解法二：（），又，平面平面，（）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)CBPzxyHE則設(shè)，取中點(diǎn)，連結(jié)，是二面角的平面角，二面角的大小為（），在平面內(nèi)的射影為正的中心，且的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離如（）建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)到平面的距離為4.（四川卷19）（本小題滿分12分） 如，平面平面，四邊形與都是直角梯形，（）證明：四點(diǎn)共面；（）設(shè)，求二面角的大??；【解1】：（）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由得 延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于同理可得 故，即與重合因此直線相交于點(diǎn)，即四點(diǎn)共面。（）設(shè)，則，取中點(diǎn)，則，又由已知得，平面故，與平面內(nèi)兩相交直線都垂直。所以平面，作，垂足為，連結(jié)由三垂線定理知為二面角的平面角。故所以二面角的大小【解2】：由平面平面，得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（）設(shè)，則故，從而由點(diǎn)，得故四點(diǎn)共面（）設(shè)，則， 在上取點(diǎn)，使，則從而又在上取點(diǎn)，使，則從而故與的夾角等于二面角的平面角，所以二面角的大小天津卷（19）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知（）證明平面；（）求異面直線與所成的角的大小；（）求二面角的大小（19）本小題主要考查直線和平面垂直，異面直線所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力滿分12分（）證明：在中，由題設(shè)可得于是.在矩形中，.又，所以平面（）解：由題設(shè)，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角.在中，由余弦定理得由（）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以異面直線與所成的角的大小為（）解：過(guò)點(diǎn)P做于H，過(guò)點(diǎn)H做于E，連結(jié)PE因?yàn)槠矫?，平面，所?又，因而平面，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影.由三垂線定理可知，從而是二面角的平面角。由題設(shè)可得，于是再中，所以二面角的大小為安徽卷（18）（本小題滿分12分如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大??； （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。方法一（綜合法） （1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE又 （2） 為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作連接，所以 與所成角的大小為（3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作 于點(diǎn)Q，又 ,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為方法二(向量法)作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得(2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值, 由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為山東卷(20)(本小題滿分12分)如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角EAFC的余弦值.（）證明：由四邊形ABCD為菱形，ABC=60，可得ABC為正三角形.因?yàn)?E為BC的中點(diǎn)，所以AEBC. 又 BCAD，因此AEAD.因?yàn)镻A平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以 AE平面PAD，又PD平面PAD.所以 AEPD.（）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點(diǎn)，連接AH，EH.由（）知 AE平面PAD，則EHA為EH與平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 當(dāng)AH最短時(shí)，EHA最大，即 當(dāng)AHPD時(shí)，EHA最大.此時(shí) tanEHA=因此 AH=.又AD=2，所以ADH=45，所以 PA=2.解法一：因?yàn)?PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC平面ABCD. 過(guò)E作EOAC于O，則EO平面PAC， 過(guò)O作OSAF于S，連接ES，則ESO為二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AEsin30=，AO=AEcos30=, 又F是PC的中點(diǎn)，在RtASO中，SO=AOsin45=, 又 在RtESO中，cosESO= 即所求二面角的余弦值為解法二：由（）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（），所以 設(shè)平面AEF的一法向量為則 因此取因?yàn)?BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 為平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cosm, =因?yàn)?二面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為江蘇卷16在四面體ABCD 中，CB= CD, ADBD，且E ,F分別是AB,BD 的中點(diǎn)，求證：（）直線EF 面ACD ；（）面EFC面BCD 【解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定（） E,F 分別是AB,BD 的中點(diǎn)，EF 是ABD 的中位線，EFAD，EF面ACD ，AD 面ACD ，直線EF面ACD （） ADBD ，EFAD， EFBD.CB=CD, F 是BD的中點(diǎn)，CFBD.又EFCF=F，BD面EFCBD面BCD，面EFC面BCD 江西卷解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以，則平面，所以。又是的中點(diǎn)，所以，則。因?yàn)?，所以面，則，因此面。（2）作于，連。因?yàn)槠矫?，根?jù)三垂線定理知，就是二面角的平面角。作于，則，則是的中點(diǎn)，則。設(shè)，由得，解得，在中，則，。所以，故二面角為。解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則所以所以所以平面由得，故：平面(2)由已知設(shè)則由與共線得:存在有得 同理:設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則令得 又是平面的一個(gè)法量所以二面角的大小為（3）由（2）知，平面的一個(gè)法向量為。則。則點(diǎn)到平面的距離為湖北卷18.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證：；（）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.18.本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理能力.（滿分12分）（）證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作ADA1B于D，則由平面A1BC側(cè)面A1ABB1,且平面A1BC側(cè)面A1ABB1=A1B,得AD平面A1BC,又BC平面A1BC，所以ADBC.因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，則AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A,從而BC側(cè)面A1ABB1，又AB側(cè)面A1ABB1，故ABBC.（）解法1：連接CD，則由（）知是直線AC與平面A1BC所成的角，是二面角A1BCA的平面角，即于是在RtADC中，在RtADB中，由ABAC，得又所以解法2：由（）知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=a,AC=b,AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則由得可取n=(0,-a,c)，于是與n的夾角為銳角，則與互為余角.所以于是由cb，得即又所以湖南卷17.（本小題滿分12分） 如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.解: 解法一（）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且BCD=60知，BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BECD,又ABCD,所以BEAB.又因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，所以PABE.而AB=A,因此BE平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.過(guò)點(diǎn)A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因?yàn)锽AF60，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG.則AGPF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是解法二: 如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（）因?yàn)?，平面PAB的一個(gè)法向量是，所以共線.從而BE平面PAB.又因?yàn)槠矫鍼BE，故平面PBE平面PAB. ()易知 設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得所以 設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是陜西卷19（本小題滿分12分）A1AC1B1BDC三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，（）證明：平面平面；（）求二面角的大小解法一：（）平面平面，在中，又，即又，平面，平面，平面平面（）如圖，作交于點(diǎn)，連接，由已知得平面是在面內(nèi)的射影A1AC1B1BDCFE（第19題，解法一）由三垂線定理知，為二面角的平面角過(guò)作交于點(diǎn)，則，A1AC1B1BDCzyx（第19題，解法二）在中，在中，即二面角為解法二：（）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)坐標(biāo)為，又，平面，又平面，平面平面（）平面，取為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，則，如圖，可取，則，即二面角為重慶卷（19）（本小題滿分13分，（）小問(wèn)6分，（）小問(wèn)7分.）如題（19）圖，在中，B=,AC=,D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上.使,DE=3.現(xiàn)將沿DE折成直二角角，求：（）異面直線AD與BC的距離；（）二面角A-EC-B的大小（用反三角函數(shù)表示）.解法一：（）在答（19）圖1中，因，故BEBC.又因B90，從而ADDE.在第（19）圖2中，因A-DE-B是直二面角，ADDE,故AD底面DBCE，從而ADDB.而DBBC,故DB為異面直線AD與BC的公垂線.下求DB之長(zhǎng).在答（19）圖1中，由，得又已知DE=3,從而 因（）在第（19）圖2中，過(guò)D作DFCE,交CE的延長(zhǎng)線于F，連接AF.由（1）知，AD底面DBCE,由三垂線定理知AFFC,故AFD為二面角A-BC-B的平面角.在底面DBCE中，DEF=BCE,因此從而在RtDFE中，DE=3,在因此所求二面角A-EC-B的大小為arctan解法二：（）同解法一.（）如答（19）圖3.由（）知，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（0，0，4），E（0，3，0）.過(guò)D作DFCE,交CE的延長(zhǎng)線于F，連接AF.設(shè)從而 ，有 又由 聯(lián)立、，解得 因?yàn)?故,又因,所以為所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以 因此所求二面角A-EC-B的大小為福建卷（18）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面ABCD，側(cè)棱PA=PD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PD與CD所成角的大?。唬ǎ┚€段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.滿分12分.解法一：（）證明：在PAD中PA=PD,O為AD中點(diǎn)，所以POAD,又側(cè)面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)BDC.由（）知，POOB,PBO為銳角，所以PBO是異面直線PB與CD所成的角.因?yàn)锳D=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以O(shè)B，在RtPOA中，因?yàn)锳P，AO1，所以O(shè)P1，在RtPBO中，tanPBO所以異面直線PB與CD所成的角是.（）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為.設(shè)QDx，則，由（）得CD=OB=，在RtPOC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).解法二：()同解法一.()以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以所以異面直線PB與CD所成的角是arccos， ()假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為，由()知設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0).則所以即，取x0=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).設(shè)由，得解y=-或y=(舍去)，此時(shí)，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).廣東卷20（本小題滿分14分）FCPGEAB圖5D如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，垂直底面，分別是上的點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于（1）求與平面所成角的正弦值；（2）證明：是直角三角形；（3）當(dāng)時(shí)，求的面積【解析】（1）在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即為以為直角的直角三角形。設(shè)點(diǎn)到面的距離為,由有,即 ;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）時(shí),即,的面積浙江卷（18）（本題14分）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（）求證：AE/平面DCF；（）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為？本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力滿分14分方法一：DABEFCHG（）證明：過(guò)點(diǎn)作交于，連結(jié)，可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，從而四邊形