【高考輔導資料】2008年高考數(shù)學理科試題匯編--立體幾何

2008年高考數(shù)學試題分類匯編立體幾何一選擇題：1（上海卷13） 給定空間中的直線l及平面a，條件“直線l與平面a內無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面a垂直”的（ C ）條件A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要2.（全國一11）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ C ）AB CD3.（全國二10）已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（ C ）ABCD4.（全國二12）已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（ C ）A1 B C D25.（北京卷8）如圖，動點在正方體的對角線上過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于設，則函數(shù)的圖象大致是（ B ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO7.（四川卷）設是球心的半徑上的兩點，且，分別過作垂線于的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：( D )（）（）（）（）8.（四川卷）設直線平面，過平面外一點與都成角的直線有且只有：( B )（）條（）條（）條（）條9.（天津卷5）設是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是C（A） （B） （C） （D）10.（安徽卷4）已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（D ）ABC D11.（山東卷6）右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是D(A)9（B）10(C)11 (D)1212.（江西卷10）連結球面上兩點的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦、的長度分別等于、，、分別為、的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題：弦、可能相交于點 弦、可能相交于點的最大值為5 的最小值為1其中真命題的個數(shù)為CA1個 B2個 C3個 D4個13.（湖北卷3）用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為BA. B. C. D. 14，（湖南卷5）設有直線m、n和平面、.下列四個命題中，正確的是( D )A.若m,n,則mnB.若m,n,m,n,則C.若，m,則mD.若，m，m,則m15.（湖南卷9）長方體ABCDA1B1C1D1的8個頂點在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,則頂點A、B間的球面距離是( C )A.2B.C.D. ABabl16.（陜西卷9）如圖，到的距離分別是和，與所成的角分別是和，在內的射影分別是和，若，則（ D ）ABCD17.（陜西卷14）長方體的各頂點都在球的球面上，其中兩點的球面距離記為，兩點的球面距離記為，則的值為 18.（重慶卷 9)如解（9）圖，體積為V的大球內有4個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點.V1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，V2為大球內、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關系中正確的是D（A）V1=(B) V2=（C）V1 V2 （D）V1 V219.（福建卷6)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為DA.B. C. D. 20.（廣東卷5）將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（ A ）EFDIAHGBCEFDABC側視圖1圖2BEABEBBECBED21.（遼寧卷11）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（ D ）A不存在B有且只有兩條C有且只有三條D有無數(shù)條22.（海南卷12）某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a + b的最大值為（ C ）A. B. C. 4D. 23.（海南卷15）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，那么這個球的體積為 _二填空題：1.（天津卷13）若一個球的體積為，則它的表面積為_122.（全國一16）等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點，則所成角的余弦值等于 3.（全國二16）平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：充要條件 ；充要條件 （寫出你認為正確的兩個充要條件）（兩組相對側面分別平行；一組相對側面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行四邊形注：上面給出了四個充要條件如果考生寫出其他正確答案，同樣給分）4.（四川卷15）已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于_。5.（安徽卷16）已知在同一個球面上,若,則兩點間的球面距離是 6.（江西卷16）如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點P。如果將容器倒置，水面也恰好過點（圖2）。有下列四個命題：A正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B將容器側面水平放置時，水面也恰好過點C任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經過點D若往容器內再注入升水，則容器恰好能裝滿其中真命題的代號是： B,D （寫出所有真命題的代號）7.（福建卷15）若三棱錐的三個側圓兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是. 98.（浙江卷14）如圖，已知球O點面上四點A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O點體積等于_。9.（遼寧卷14）在體積為的球的表面上有A，B，C三點，AB=1，BC=，A，C兩點的球面距離為，則球心到平面ABC的距離為_三解答題：1.（全國一18）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）四棱錐中，底面為矩形，側面底面，CDEAB（）證明：；（）設與平面所成的角為，求二面角的大小解：（1）取中點，連接交于點，18題圖又面面，面，即，面，（2）在面內過點作的垂線，垂足為，面，則即為所求二面角的平面角，則，即二面角的大小ABCDEA1B1C1D12.（全國二19）（本小題滿分12分）如圖，正四棱柱中，點在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小解法一：依題設知，（）連結交于點，則由三垂線定理知，3分ABCDEA1B1C1D1FHG在平面內，連結交于點，由于，故，與互余于是與平面內兩條相交直線都垂直，所以平面6分（）作，垂足為，連結由三垂線定理知，故是二面角的平面角8分，又，ABCDEA1B1C1D1yxz所以二面角的大小為12分 解法二：以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系依題設，3分（）因為，故，又，所以平面6分（）設向量是平面的法向量，則，故，令，則，9分等于二面角的平面角， 所以二面角的大小為12分ACBP3（北京卷16）如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大小；（）求點到平面的距離解法一：（）取中點，連結，ACBDP，平面平面，（），ACBEP又，又，即，且，平面取中點連結，是在平面內的射影，是二面角的平面角在中，ACBDPH二面角的大小為（）由（）知平面，平面平面過作，垂足為平面平面，平面的長即為點到平面的距離由（）知，又，且，平面平面，在中， 點到平面的距離為解法二：（），又，平面平面，（）如圖，以為原點建立空間直角坐標系ACBPzxyHE則設，取中點，連結，是二面角的平面角，二面角的大小為（），在平面內的射影為正的中心，且的長為點到平面的距離如（）建立空間直角坐標系，點的坐標為點到平面的距離為4.（四川卷19）（本小題滿分12分） 如，平面平面，四邊形與都是直角梯形，（）證明：四點共面；（）設，求二面角的大小；【解1】：（）延長交的延長線于點，由得 延長交的延長線于同理可得 故，即與重合因此直線相交于點，即四點共面。（）設，則，取中點，則，又由已知得，平面故，與平面內兩相交直線都垂直。所以平面，作，垂足為，連結由三垂線定理知為二面角的平面角。故所以二面角的大小【解2】：由平面平面，得平面，以為坐標原點，射線為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系（）設，則故，從而由點，得故四點共面（）設，則， 在上取點，使，則從而又在上取點，使，則從而故與的夾角等于二面角的平面角，所以二面角的大小天津卷（19）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知（）證明平面；（）求異面直線與所成的角的大??；（）求二面角的大?。?9）本小題主要考查直線和平面垂直，異面直線所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力滿分12分（）證明：在中，由題設可得于是.在矩形中，.又，所以平面（）解：由題設，所以（或其補角）是異面直線與所成的角.在中，由余弦定理得由（）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以異面直線與所成的角的大小為（）解：過點P做于H，過點H做于E，連結PE因為平面，平面，所以.又，因而平面，故HE為PE再平面ABCD內的射影.由三垂線定理可知，從而是二面角的平面角。由題設可得，于是再中，所以二面角的大小為安徽卷（18）（本小題滿分12分如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大??； （）求點B到平面OCD的距離。方法一（綜合法） （1）取OB中點E，連接ME，NE又 （2） 為異面直線與所成的角（或其補角）作連接，所以 與所成角的大小為（3）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作 于點Q，又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，所以點B到平面OCD的距離為方法二(向量法)作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系,(1)設平面OCD的法向量為,則即 取,解得(2)設與所成的角為, , 與所成角的大小為(3)設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值, 由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為山東卷(20)(本小題滿分12分)如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點.（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角EAFC的余弦值.（）證明：由四邊形ABCD為菱形，ABC=60，可得ABC為正三角形.因為 E為BC的中點，所以AEBC. 又 BCAD，因此AEAD.因為PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以 AE平面PAD，又PD平面PAD.所以 AEPD.（）解：設AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH.由（）知 AE平面PAD，則EHA為EH與平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 當AH最短時，EHA最大，即 當AHPD時，EHA最大.此時 tanEHA=因此 AH=.又AD=2，所以ADH=45，所以 PA=2.解法一：因為 PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC平面ABCD. 過E作EOAC于O，則EO平面PAC， 過O作OSAF于S，連接ES，則ESO為二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AEsin30=，AO=AEcos30=, 又F是PC的中點，在RtASO中，SO=AOsin45=, 又 在RtESO中，cosESO= 即所求二面角的余弦值為解法二：由（）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E、F分別為BC、PC的中點，所以E、F分別為BC、PC的中點，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（），所以 設平面AEF的一法向量為則 因此取因為 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 為平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cosm, =因為 二面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為江蘇卷16在四面體ABCD 中，CB= CD, ADBD，且E ,F分別是AB,BD 的中點，求證：（）直線EF 面ACD ；（）面EFC面BCD 【解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關系的判定（） E,F 分別是AB,BD 的中點，EF 是ABD 的中位線，EFAD，EF面ACD ，AD 面ACD ，直線EF面ACD （） ADBD ，EFAD， EFBD.CB=CD, F 是BD的中點，CFBD.又EFCF=F，BD面EFCBD面BCD，面EFC面BCD 江西卷解 ：（1）證明：依題設，是的中位線，所以，則平面，所以。又是的中點，所以，則。因為，所以面，則，因此面。（2）作于，連。因為平面，根據(jù)三垂線定理知，就是二面角的平面角。作于，則，則是的中點，則。設，由得，解得，在中，則，。所以，故二面角為。解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則所以所以所以平面由得，故：平面(2)由已知設則由與共線得:存在有得 同理:設是平面的一個法向量,則令得 又是平面的一個法量所以二面角的大小為（3）由（2）知，平面的一個法向量為。則。則點到平面的距離為湖北卷18.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證：；（）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關系，并予以證明.18.本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關系等有關知識，同時考查空間想象能力和推理能力.（滿分12分）（）證明：如右圖，過點A在平面A1ABB1內作ADA1B于D，則由平面A1BC側面A1ABB1,且平面A1BC側面A1ABB1=A1B,得AD平面A1BC,又BC平面A1BC，所以ADBC.因為三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，則AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A,從而BC側面A1ABB1，又AB側面A1ABB1，故ABBC.（）解法1：連接CD，則由（）知是直線AC與平面A1BC所成的角，是二面角A1BCA的平面角，即于是在RtADC中，在RtADB中，由ABAC，得又所以解法2：由（）知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AA1=a,AC=b,AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是設平面A1BC的一個法向量為n=(x,y,z)，則由得可取n=(0,-a,c)，于是與n的夾角為銳角，則與互為余角.所以于是由cb，得即又所以湖南卷17.（本小題滿分12分） 如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.解: 解法一（）如圖所示，連結BD，由ABCD是菱形且BCD=60知，BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BECD,又ABCD,所以BEAB.又因為PA平面ABCD，平面ABCD，所以PABE.而AB=A,因此BE平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（）延長AD、BE相交于點F，連結PF.過點A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因為BAF60，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中點G，連接AG.則AGPF.連結HG，由三垂線定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是解法二: 如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關各點的坐標分別是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（）因為，平面PAB的一個法向量是，所以共線.從而BE平面PAB.又因為平面PBE，故平面PBE平面PAB. ()易知 設是平面PBE的一個法向量，則由得所以 設是平面PAD的一個法向量，則由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是陜西卷19（本小題滿分12分）A1AC1B1BDC三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，（）證明：平面平面；（）求二面角的大小解法一：（）平面平面，在中，又，即又，平面，平面，平面平面（）如圖，作交于點，連接，由已知得平面是在面內的射影A1AC1B1BDCFE（第19題，解法一）由三垂線定理知，為二面角的平面角過作交于點，則，A1AC1B1BDCzyx（第19題，解法二）在中，在中，即二面角為解法二：（）如圖，建立空間直角坐標系，則，點坐標為，又，平面，又平面，平面平面（）平面，取為平面的法向量，設平面的法向量為，則，如圖，可取，則，即二面角為重慶卷（19）（本小題滿分13分，（）小問6分，（）小問7分.）如題（19）圖，在中，B=,AC=,D、E兩點分別在AB、AC上.使,DE=3.現(xiàn)將沿DE折成直二角角，求：（）異面直線AD與BC的距離；（）二面角A-EC-B的大小（用反三角函數(shù)表示）.解法一：（）在答（19）圖1中，因，故BEBC.又因B90，從而ADDE.在第（19）圖2中，因A-DE-B是直二面角，ADDE,故AD底面DBCE，從而ADDB.而DBBC,故DB為異面直線AD與BC的公垂線.下求DB之長.在答（19）圖1中，由，得又已知DE=3,從而 因（）在第（19）圖2中，過D作DFCE,交CE的延長線于F，連接AF.由（1）知，AD底面DBCE,由三垂線定理知AFFC,故AFD為二面角A-BC-B的平面角.在底面DBCE中，DEF=BCE,因此從而在RtDFE中，DE=3,在因此所求二面角A-EC-B的大小為arctan解法二：（）同解法一.（）如答（19）圖3.由（）知，以D點為坐標原點，的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（0，0，4），E（0，3，0）.過D作DFCE,交CE的延長線于F，連接AF.設從而 ，有 又由 聯(lián)立、，解得 因為,故,又因,所以為所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以 因此所求二面角A-EC-B的大小為福建卷（18）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面ABCD，側棱PA=PD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PD與CD所成角的大??；（）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.滿分12分.解法一：（）證明：在PAD中PA=PD,O為AD中點，所以POAD,又側面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（）連結BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以OBDC.由（）知，POOB,PBO為銳角，所以PBO是異面直線PB與CD所成的角.因為AD=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以OB，在RtPOA中，因為AP，AO1，所以OP1，在RtPBO中，tanPBO所以異面直線PB與CD所成的角是.（）假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為.設QDx，則，由（）得CD=OB=，在RtPOC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在點Q滿足題意，此時.解法二：()同解法一.()以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以所以異面直線PB與CD所成的角是arccos， ()假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為，由()知設平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0).則所以即，取x0=1,得平面PCD的一個法向量為n=(1,1,1).設由，得解y=-或y=(舍去)，此時，所以存在點Q滿足題意，此時.廣東卷20（本小題滿分14分）FCPGEAB圖5D如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內接四邊形，其中是圓的直徑，垂直底面，分別是上的點，且，過點作的平行線交于（1）求與平面所成角的正弦值；（2）證明：是直角三角形；（3）當時，求的面積【解析】（1）在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即為以為直角的直角三角形。設點到面的距離為,由有,即 ;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）時,即,的面積浙江卷（18）（本題14分）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（）求證：AE/平面DCF；（）當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為？本題主要考查空間線面關系、空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力滿分14分方法一：DABEFCHG（）證明：過點作交于，連結，可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，從而四邊形