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2010高考數(shù)學(xué)萃取精華30套(18)1. 揭陽一模19(本題滿分14分)已知如圖,橢圓方程為.P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),F1、F2為橢圓的兩焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí),過F1作F1PF2的外角平分線的垂線F1M,垂足為M,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),定義M與P重合(1)求M點(diǎn)的軌跡T的方程;(2)已知、,試探究是否存在這樣的點(diǎn):是軌跡T內(nèi)部的整點(diǎn)(平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)),且OEQ的面積?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,說明理由19解:(1)當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí),延長F1M與F2P的延長線相交于點(diǎn)N,連結(jié)OM,, M是線段的中點(diǎn),|-2分 = =點(diǎn)P在橢圓上 4,-4分當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),M與P重合M點(diǎn)的軌跡T的方程為:.-6分(2)連結(jié)OE,易知軌跡T上有兩個(gè)點(diǎn)A,B滿足,分別過A、B作直線OE的兩條平行線、. 同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等符合條件的點(diǎn)均在直線、上.-7分 直線、的方程分別為:、-8分設(shè)點(diǎn) ( )在軌跡T內(nèi),-9分分別解與得 與 -11分為偶數(shù),在上對(duì)應(yīng)的在上,對(duì)應(yīng)的-13分滿足條件的點(diǎn)存在,共有6個(gè),它們的坐標(biāo)分別為:-14分20(本題滿分14分)設(shè)函數(shù) (1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值;(2)記函數(shù),若函數(shù)有零點(diǎn),求的取值范圍.20解:(1)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), -2分當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增 -4分由得又當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.-6分(2)函數(shù)有零點(diǎn)即方程有解即有解-7分令當(dāng)時(shí)-9分函數(shù)在上是增函數(shù),-10分當(dāng)時(shí),-12分函數(shù)在上是減函數(shù),-13分方程有解時(shí)即函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)-14分21(本題滿分14分) 已知:()是方程的兩根,且,. (1)求的值; (2)設(shè),求證:; (3)求證:對(duì)有 w。.w.21解:(1)解方程得,-1分-2分,-3分,-4分(2)由得即-6分當(dāng)時(shí),于是()-9分(3)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立;-10分當(dāng)時(shí),有-12分 對(duì)有-14分2. 徐州一模17. (本小題滿分15分)設(shè)常數(shù),函數(shù)(1)令,求的最小值,并比較的最小值與0的大??;(2)求證:在上是增函數(shù);(3)求證:當(dāng)時(shí),恒有17. 解:(), , 2分,令,得, 4分列表如下:20極小值在處取得極小值,即的最小值為 6分,又, 8分證明()由()知,的最小值是正數(shù),對(duì)一切,恒有, 10分從而當(dāng)時(shí),恒有, 11分故在上是增函數(shù) 12分證明()由()知:在上是增函數(shù), 當(dāng)時(shí), 13分 又, 14分,即, 15分故當(dāng)時(shí),恒有 16分18. (本小題滿分14分),其中,由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合:,其中是有序數(shù)對(duì),集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和若對(duì)于任意的,總有,則稱集合具有性質(zhì)(I)對(duì)任何具有性質(zhì)的集合,證明:;(II)判斷和的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論18.解:(I)證明:首先,由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有個(gè)因?yàn)?,所以;又因?yàn)楫?dāng)時(shí),時(shí),所以當(dāng)時(shí),從而,集合中元素的個(gè)數(shù)最多為,即(II)解:,證明如下:(1)對(duì)于,根據(jù)定義,且,從而如果與是的不同元素,那么與中至少有一個(gè)不成立,從而與中也至少有一個(gè)不成立故與也是的不同元素可見,中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù),即,(2)對(duì)于,根據(jù)定義,且,從而如果與是的不同元素,那么與中至少有一個(gè)不成立,從而與中也不至少有一個(gè)不成立,故與也是的不同元素可見,中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù),即,由(1)(2)可知,19(本小題滿分16分)公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金,以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加,歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目是一個(gè)公差為的等差數(shù)列與此同時(shí),國家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策,不僅采用固定利率,而且計(jì)算復(fù)利如果固定年利率為,那么,在第年末,第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?,第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?,以表示到第年末所累?jì)的儲(chǔ)備金總額求證:,其中是一個(gè)等比數(shù)列,是一個(gè)等差數(shù)列19.解: ,對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)系式,得 ,在式兩端同乘,得,得即如果記,則其中是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列;是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列20. (
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