注重?cái)?shù)學(xué)的整體性提升系統(tǒng)思維水平.ppt

注重?cái)?shù)學(xué)的整體性提升系統(tǒng)思維水平,人民教育出版社 章建躍 ,一、關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性,整體是事物的一種真實(shí)存在形式。 數(shù)學(xué)是一個(gè)整體。 數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系上縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系。 學(xué)生的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)、逐步深入的，概念要逐個(gè)學(xué)，知識(shí)要逐步教。如何處理好這種矛盾，是教學(xué)中的核心問題。,例“反比例函數(shù)”反映的整體性,學(xué)習(xí)基礎(chǔ)：反比例關(guān)系，函數(shù)、自變量、函數(shù)值等概念，三種表示形式，函數(shù)圖像的概念，一次函數(shù)、二次函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)（函數(shù)的研究內(nèi)容、過程和方法）。 研究一類函數(shù)的內(nèi)容、過程：背景概念圖象與性質(zhì)簡單實(shí)際應(yīng)用。 研究方法：特殊到一般、具體到抽象；數(shù)形結(jié)合（畫圖像、觀察圖像得性質(zhì)等）。,反比例函數(shù)概念的抽象過程,概念的引入借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問題的需要引入概念； 概念屬性的歸納對(duì)典型豐富的具體例證進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，歸納不同例證的共同特征； 概念的抽象與概括下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述（文字的、符號(hào)的）；,概念的辨析以實(shí)例為載體分析概念關(guān)鍵詞的意義（恰當(dāng)使用反例）； 概念的鞏固應(yīng)用用概念解決簡單問題，形成用概念作判斷的具體步驟； 概念的“精致”通過概念的綜合應(yīng)用，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，將概念納入概念系統(tǒng)。,上述過程與正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等概念的抽象過程是一脈相承的。 其實(shí)，初中教材中的概念編寫思路基本上都按照這個(gè)“套路”展開。,反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究思路,畫出圖象，并根據(jù)圖象和函數(shù)表達(dá)式探索其性質(zhì)。,上述過程體現(xiàn)了研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)的一般過程與方法。,概念辨析,成反比例的量和關(guān)系：xy=k（定值），這里x和y都是可以變化的； 反比例函數(shù)：體現(xiàn)的“變化規(guī)律”是“變量y隨變量x的變化而變化，且它們的積xy保持不變”。 關(guān)鍵詞：反比例；函數(shù)。 y=1/x2 ，y是x2的反比例函數(shù)，對(duì)嗎？ 注意：自變量是x而不是x2；“反比例函數(shù)”是“自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值成反比例關(guān)系”。,二、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng),數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)需要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法。系統(tǒng)思維能極大地簡化人們對(duì)事物的認(rèn)知。系統(tǒng)思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強(qiáng)的集中表現(xiàn)。,例 “三角形”研究中的系統(tǒng)思維,定義“三角形”，明確它的構(gòu)成要素；用符號(hào)表示三角形及其構(gòu)成要素；以要素為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形進(jìn)行分類；明確研究對(duì)象 基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系，得到 “三角形內(nèi)角和等于180” 等； 研究“相關(guān)要素及其關(guān)系”，如“三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和”等；,三角形的全等（反映空間的對(duì)稱性，“相等”是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成“確定一個(gè)三角形的條件”）； 特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、直角三角形）； 三角形的變換（如相似三角形等）； 直角三角形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)），解直角三角形； 解三角形（正弦定理、余弦定理）。,把三角形作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究,明確研究對(duì)象（定義、表示、分類） 性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）特例（性質(zhì)和判定）聯(lián)系； 定性研究（相等、不等、對(duì)稱性等）定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。,培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問題的習(xí)慣，避免“見木不見林”，進(jìn)而使他們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，能把解決問題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過程、解決過程的優(yōu)化以及對(duì)問題的拓展、深化等作為一個(gè)整體進(jìn)行研究。這樣，“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問題的人才”就能落在實(shí)處。,什么叫性質(zhì)？,性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系。 問題：這里的“事物內(nèi)部”指什么？“穩(wěn)定的聯(lián)系”是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系”？,從三角形的“內(nèi)角和為180”、“兩邊之和大于第三邊”、“大邊對(duì)大角”、“等邊對(duì)等角”等你想到了什么？ “內(nèi)部”可以是“三角形的組成要素”，“穩(wěn)定的聯(lián)系”是指“三角形要素之間確定的關(guān)系”。 幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)。,從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三條高交于一點(diǎn)”、“等腰三角形三線合一”等又想到了什么？ 把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要素”也可以看成是“三角形的內(nèi)部”。 要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。,兩個(gè)幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從“同位角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等”以及“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可以想到，這時(shí)的“性質(zhì)”是借助“第三條直線”構(gòu)成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。 研究兩個(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的兩個(gè)幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關(guān)系入手。,圓的幾何性質(zhì),要素：圓心、半徑、直徑、弧、圓心角； 相關(guān)要素：弦、圓周角 你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的命題？,同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過圓心的任何一條弦； 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??； 在同（等）圓中：弧相等則所對(duì)的弦相等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對(duì)的弦較大（弦心距較?。?；逆定理也成立。 切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。 過圓外一點(diǎn)所作圓的兩條切線長相等。 你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？,從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué),以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程為載體，按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認(rèn)識(shí)和解決問題的能力。數(shù)學(xué)化的過程,相似,對(duì)內(nèi)容的認(rèn)識(shí) 初中幾何，包括圖形的認(rèn)識(shí)、測量、運(yùn)動(dòng)或變化、性質(zhì)和證明以及位置等。 相似是“圖形的變化”的主要內(nèi)容，研究的主題是圖形形狀之間的關(guān)系，圖形的位似還涉及圖形的位置關(guān)系，因此也是“圖形的認(rèn)識(shí)”的深化；投影與視圖則是在三維圖形與二維圖形的轉(zhuǎn)化中，體現(xiàn)出“圖形的變化”。,兩種“圖形的變換”,軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)或平移變換：改變了圖形的位置但不改變圖形的形狀和大??； 相似變換：改變了圖形的位置和大小，圖形的形狀則保持不變。,三角形的相似是“相似”的核心內(nèi)容。 “相似”與“全等”一般與特殊。 類比全等三角形，安排相似的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生探索相似三角形的判定和性質(zhì)及在實(shí)際測量中的應(yīng)用。 位似圖形是一種具有特殊位置關(guān)系的相似圖形，可用來放大或縮小圖形；在直角坐標(biāo)系中研究位似，用坐標(biāo)之間的關(guān)系表示位似，滲透用代數(shù)方法研究幾何變換的思想。,“相似”的內(nèi)容結(jié)構(gòu),圖形的相似,通過生活實(shí)例，在學(xué)生感受相似圖形的基礎(chǔ)上，給出相似圖形的概念，再特殊化給出相似多邊形概念，并從定義出發(fā)給出判定兩個(gè)多邊形相似的方法，以及相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)。,相似三角形,按照“定義判定性質(zhì)應(yīng)用”的順序展開。 定義：相似圖形的特殊化，既是判定也是性質(zhì)。 判定：類比全等三角形的判定，提出尋找判定三角形相似的任務(wù)。,“判定定理”的構(gòu)建過程,從定義出發(fā)，關(guān)鍵是“對(duì)應(yīng)邊成比例”； 通過旋轉(zhuǎn)、平移等變換，移到“一個(gè)角重合、一條邊平行”的位置，于是“平行截割”成為出發(fā)點(diǎn)基本事實(shí)； 特殊化：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；,預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似； 三個(gè)判定定理； 特殊化：相似直角三角形的判定定理。 降低了難度但保持了相似三角形的主干內(nèi)容，體現(xiàn)了公理化思想。,“性質(zhì)定理”的構(gòu)建過程,通過“思考”欄目引出問題，明確探究方向：,通過“探究”欄目引導(dǎo)學(xué)生探究并證明相似三角形性質(zhì)：,銳角三角函數(shù),對(duì)內(nèi)容的認(rèn)識(shí) 三角形是最簡單而基本的封閉圖形，而空間的大部分基本性質(zhì)都已經(jīng)在三角形的幾何性質(zhì)中得到充分體現(xiàn)。所以，三角形成為平面幾何所研究的主角，就在于它既簡單而又能充分反映空間的本質(zhì)。而在三角形中，等腰三角形和直角三角形是最為基本的。,定性平面幾何研究的主題是“全等形”和“平行性”。其中有兩個(gè)核心內(nèi)容，一是三角形內(nèi)角和定理，二是等腰三角形的性質(zhì)。,定量平面幾何中，要對(duì)不等長的兩條線段、不同大小的兩個(gè)角區(qū)或不同大小的兩個(gè)區(qū)域，賦予兩者之間定量的比值去度量兩者之間的差異。這時(shí)，平行性扮演著舉足輕重的“角色”，其作用是大大簡化了定量幾何的基礎(chǔ)理論和基本公式。由此得到的是簡樸好用的矩形面積公式、勾股定理和相似三角形定理。,三角學(xué)就是以這三個(gè)定理為基礎(chǔ)，討論三角形的各種幾何量（三邊長、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、高、外徑和內(nèi)徑等）之間的函數(shù)關(guān)系，銳角三角函數(shù)則是討論直角三角形各種幾何量之間的函數(shù)關(guān)系，它為討論一般三角形奠定了基礎(chǔ)。因此，研究直角三角形的種種性質(zhì)對(duì)定量平面幾何有奠基作用。,“銳角三角函數(shù)”就是在研究勾股定理、相似三角形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論直角三角形的邊角之間的關(guān)系，主要內(nèi)容是正弦、余弦和正切等銳角三角函數(shù)的概念，并綜合運(yùn)用這些知識(shí)解直角三角形,銳角三角函數(shù)的定義過程,以“比薩斜塔糾偏問題”引入，以“對(duì)于直角三角形，我們已經(jīng)知道三邊之間、兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，它的邊角之間有什么關(guān)系呢？”提出問題，然后研究銳角的正弦，再給出銳角的余弦、正切。,銳角的正弦的定義,先利用“直角三角形中，30角所對(duì)的邊是斜邊的一半”，得到30角所對(duì)的邊與斜邊的比值；再討論45、 60角所對(duì)的邊與斜邊的比值；然后討論一般情況：相似直角三角形中，一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比，隨著這個(gè)銳角的變化而變化，隨著它的確定而唯一確定，把RtABC中銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的正弦。,銳角三角函數(shù)概念的展開,課題的引入 從實(shí)際需要看（比薩斜塔糾偏問題）；從數(shù)學(xué)內(nèi)部看（以往討論了直角三角形邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系，邊與角有沒有確定的關(guān)系？）。 概念屬性的歸納 例證1 從最熟悉的開始，30角所對(duì)的邊與斜邊的比值是1/2 。 思考：由這個(gè)結(jié)論能解決什么問題？當(dāng)A=30時(shí)，已知斜邊就可求出A的對(duì)邊，反之也然。,例證2 等腰直角三角形中，銳角A的對(duì)邊與斜邊的比是多少？由此能解決什么問題？ 歸納：任意給定銳角A，A的對(duì)邊與斜邊的比值是否為一個(gè)確定的值？ 概念的明確與表示 下定義，用符號(hào)表示。,定義的辨析 （1）A為RtABC的銳角， ABC的大小可以變化，但A的對(duì)邊與斜邊的比值不變，即對(duì)于每一個(gè)銳角A都有唯一確定的比值與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)比值叫做A的正弦；（2）符號(hào)sinA的理解一個(gè)由A唯一確定的數(shù)，例如sin30=1/2 ；等。 概念的鞏固應(yīng)用 已知直角三角形的邊求正弦值等。 概念的精致 解直角三角形。,關(guān)于“解三角形”,教學(xué)設(shè)計(jì)中，加強(qiáng)思想方法、解決問題的策略等方面的思考： 如何發(fā)現(xiàn)問題； 從定性到定量地研究問題； 將新問題化歸為舊問題； 從知識(shí)的相互聯(lián)系性思考問題；等等。,如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（問題）,數(shù)學(xué)中，往往是在定性研究問題后，希望得到定量的結(jié)果。一個(gè)三角形有六個(gè)要素，由全等三角形的“基本事實(shí)”SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的問題？ 六個(gè)要素中，只要知道三個(gè)（其中至少有一個(gè)是邊），三角形就唯一確定。也就是說，其余三個(gè)要素可以由這三個(gè)要素唯一確定。從定量角度，由這三個(gè)要素可以求出其余三個(gè)要素。,關(guān)于解直角三角形,關(guān)于解三角形,對(duì)于“解三角形”，你會(huì)哪些知識(shí)？會(huì)解直角三角形，對(duì)于一般三角形，只有“內(nèi)角和定理”。 給定兩邊一夾角，求其他邊、角化歸為直角三角形。 還有沒有其他方法？從知識(shí)的聯(lián)系性出發(fā)，與解三角形相關(guān)的知識(shí)還有哪些？怎么用？,你還能提出哪些問題？ 對(duì)于一個(gè)確定的三角形，其外接圓是唯一確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形的邊、角來表示。怎樣用三角形的邊、角來表示它的外接圓半徑？ 對(duì)于一個(gè)確定的三角形，它的高、中線、角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣用三角形的邊、角來表示它們的度量？,一個(gè)三角形包含的各種幾何量，如三邊的邊長、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)徑、高、中線長、角平分線長等，這是三角形這個(gè)整體中的各種要素。對(duì)它們之間存在的各種函數(shù)關(guān)系的研究中，可以體現(xiàn)出系統(tǒng)思維的力量，在培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維、掌握“認(rèn)識(shí)、解決問題的方法”、提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力等方面都能發(fā)揮很好的作用。,加強(qiáng)認(rèn)識(shí)和解決問題方法的教學(xué),如何獲得研究對(duì)象； 構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本線索； 發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的具體問題； 掌握研究問題的基本方法。,例 投影與視圖,對(duì)內(nèi)容的認(rèn)識(shí) 中心投影、平行投影的事例隨處可見，與投影相關(guān)的概念都與現(xiàn)實(shí)生活緊密相關(guān)。 平行投影是三視圖的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。 投影與視圖涉及立體圖形與平面圖形間的轉(zhuǎn)化，要利用直觀感知、動(dòng)手操作等學(xué)習(xí)方式，是培養(yǎng)空間觀念的好載體。 本章順序：投影三視圖課題學(xué)習(xí)（制作立體模型）。,投影,按照從一般到特殊的線索展開，重點(diǎn)討論正投影問題。 從實(shí)例引出投影的概念及其分類（平行投影、中心投影）； 通過“思考”，引導(dǎo)學(xué)生比較和認(rèn)識(shí)中心投影與平行投影的投影線的區(qū)別，以及平行投影中“斜投影”與“正投影”的區(qū)別，進(jìn)而給出正投影的概念；,再通過“探究”，借助生活經(jīng)驗(yàn)，討論正投影中基本而重要的線段、正方形的投影問題： 線段與投影面的位置關(guān)系（