離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案左孝凌版.pdf

1 離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案_(左孝凌版左孝凌版) （1） 解： a)是命題，真值為 T。 b)不是命題。 c)是命題，真值要根據(jù)具體情況確定。 d)不是命題。 e)是命題，真值為 T。 f)是命題，真值為 T。 g)是命題，真值為 F。 h)不是命題。 i)不是命題。 （2）解： 原子命題：我愛北京天安門。 復(fù)合命題：如果不是練健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(P R)Q b)QR c)P d)PQ （4）解： a)設(shè) Q:我將去參加舞會。R:我有時間。P:天下雨。 Q (RP):我將去參加舞會當(dāng)且僅當(dāng)我有時間和天不下雨。 b)設(shè) R:我在看電視。Q:我在吃蘋果。 RQ:我在看電視邊吃蘋果。 c) 設(shè) Q:一個數(shù)是奇數(shù)。R:一個數(shù)不能被 2 除。 （QR）(RQ):一個數(shù)是奇數(shù)，則它不能被 2 整除并且一個數(shù)不能被 2 整除，則它 是奇數(shù)。 (5) 解： a)設(shè) P：王強身體很好。Q：王強成績很好。PQ b)設(shè) P：小李看書。Q：小李聽音樂。PQ c)設(shè) P：氣候很好。Q：氣候很熱。PQ d)設(shè) P： a 和 b 是偶數(shù)。Q：a+b 是偶數(shù)。PQ e)設(shè) P：四邊形 ABCD 是平行四邊形。Q ：四邊形 ABCD 的對邊平行。PQ f)設(shè) P：語法錯誤。Q：程序錯誤。R：停機。 （P Q） R (6) 解： a)P:天氣炎熱。Q:正在下雨。PQ b)P:天氣炎熱。R:濕度較低。PR c)R:天正在下雨。S:濕度很高。 RS d)A:劉英上山。B:李進上山。AB e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。MN f)L:你看電影。M:我看電影。LM 2 g)P:我不看電視。Q:我不外出。 R:我在睡覺。PQR h)P:控制臺打字機作輸入設(shè)備。Q:控制臺打字機作輸出設(shè)備。PQ 習(xí)題解答 （1）解： a)不是合式公式，沒有規(guī)定運算符次序（若規(guī)定運算符次序后亦可作為合式公式） b)是合式公式 c)不是合式公式（括弧不配對） d)不是合式公式（R 和 S 之間缺少聯(lián)結(jié)詞） e)是合式公式。 （2）解： a） A 是合式公式，(AB)是合式公式，(A(AB) 是合式公式。這個過程可以簡記 為： A；(AB)；(A(AB) 同理可記 b） A；A ；(AB) ；(AB)A) c） A；A ；B；(AB) ；(BA) ；(AB)(BA) d） A；B；(AB) ；(BA) ；(AB)(BA) （3）解： a） (AC)(BC)A)(BC)A)(AC) b） (BA)(AB)。 （4）解： a) 是由 c) 式進行代換得到，在 c) 中用 Q 代換 P, (PP)代換 Q. d) 是由 a) 式進行代換得到，在 a) 中用 P(QP)代換 Q. e) 是由 b) 式進行代換得到，用 R 代換 P, S 代換 Q, Q 代換 R, P 代換 S. （5）解： a) P: 你沒有給我寫信。 R: 信在途中丟失了。 PQ b) P: 張三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。(PQ)R c) P: 我們能劃船。 Q: 我們能跑步。 (PQ) d) P: 你來了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P(QR) （6）解： P:它占據(jù)空間。 Q:它有質(zhì)量。 R:它不斷變化。 S:它是物質(zhì)。 這個人起初主張：(PQR) S 后來主張：(PQS)(SR) 3 這個人開頭主張與后來主張的不同點在于：后來認為有 PQ 必同時有 R，開頭時沒有 這樣的主張。 （7）解： a) P: 上午下雨。 Q:我去看電影。 R:我在家里讀書。 S:我在家里看報。 (PQ)(P(RS) b) P: 我今天進城。Q:天下雨。QP c) P: 你走了。 Q:我留下。QP （4）解：a) PQ R Q R P(Q R) P Q (PQ) R TT T TT F TF T TF F FT T FT F FF T FF F T F F F T F F F T F F F F F F F T T F F F F F F T F F F F F F F 所以，P(QR) (PQ)R b) PQ R Q R P(Q R) P Q (PQ)R 4 TT T TT F TF T TF F FT T FT F FF T FF F 所以，P(QR) (PQ)R ） （）（）（） 5 所以，P(QR) (PQ)(PR) ） P QPQ P Q (PQ ) P Q (PQ ) T T T F F T F F F F T T F T F T F T T T F T T T F F F T F F F T 所以，(PQ) PQ,(PQ) PQ （5）解：如表，對問好所填的地方，可得公式 F1F6，可表達為 PQR F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F6 TTTTFTTFF TTFFFTFFF TFTTFFTTF TFFFTFTTF FTTTFFTTF FTFTFFFTF FFTTFTTTF FFFFTFTTT F1:(QP)R F2:(PQR)(PQR) F3:(PQ)(QR) F4:(PQR)(PQR) F5:(PQR)(PQR) F6:(PQR) (6) 6 PQ 1 23456 789 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 FF F TFTFT FTFTFTFTFT FT F FTTFF TTFFTTFFTT TF F FFFTT TTFFFFTTTT TT F FFFFF FFTTTTTTTT 解：由上表可得有關(guān)公式為 1.F2.(PQ)3.(QP)4.P 5.(PQ)6.Q7.(PQ)8.(PQ) 9.PQ10.PQ11.Q12.PQ 13.P14.QP15.PQ16. T (7) 證明： a) A(BA) A(BA) A(AB) A(AB) A(AB) b) (AB) (AB)(AB) (AB)(AB) (AB)(AB) 或 (AB) (AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AA)(BB)(BA) (AB)(BA) 7 (AB)(AB) (AB)(AB) c) (AB) (AB)AB d) (AB)(AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AB) e) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(ABC)D) (ABC)(ABC)D (ABC)(ABC)D (AB)(AB)C)D (C(AB)D) f) A(BC) A(BC) (AB)C (AB)C (AB)C g) (AD)(BD)(AD)(BD) (AB)D (AB)D (AB)D h) (AB)C)(B(DC) (AB)C)(B(DC) (AB)(BD)C 8 (AB) (DB)C (AB)(DB)C (AD)B)C (B(DA)C （8）解： a) (AB) (BA)C (AB) (BA)C (AB) (AB)C TCC b) A(A(BB) (AA)(BB) TF T c) (ABC)(ABC) (AA) (BC) T(BC) BC （9）解：1）設(shè) C 為 T，A 為 T，B 為 F，則滿足 ACBC，但 AB 不成立。 2）設(shè) C 為 F，A 為 T，B 為 F，則滿足 ACBC，但 AB 不成立。 3）由題意知A 和B 的真值相同，所以 A 和 B 的真值也相同。 習(xí)題 1-5 （1）證明： a) (P(PQ)Q (P(PQ)Q (PP)(PQ)Q (PQ)Q (PQ)Q PQQ PT T b)P(PQ) P(PQ) 9 (PP)Q TQ T c)(PQ)(QR)(PR) 因為(PQ)(QR)(PR) 所以(PQ)(QR)為重言式。 d)(ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca) 因為(ab)(bc)(ca) (ac)b)(ca) (ac)(ca)(b(ca) (ac)(bc)(ba) 所以(ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca) 為重言式。 （2）證明： a)(PQ)P(PQ) 解法 1： 設(shè) PQ 為 T （1）若 P 為 T，則 Q 為 T，所以 PQ 為 T，故 P(PQ)為 T （2）若 P 為 F，則 Q 為 F，所以 PQ 為 F，P(PQ)為 T 命題得證 解法 2： 設(shè) P(PQ)為 F，則 P 為 T，(PQ)為 F，故必有 P 為 T，Q 為 F，所以 PQ 為 F。 解法 3： (PQ) (P(PQ) (PQ)(P(PQ) (PQ)(PP)(PQ) T 所以(PQ)P(PQ) b)(PQ)QPQ 設(shè) PQ 為 F，則 P 為 F，且 Q 為 F， 故 PQ 為 T，(PQ)Q 為 F， 所以(PQ)QPQ。 c)(Q(PP)(R(R(PP)RQ 設(shè) RQ 為 F，則 R 為 T，且 Q 為 F，又 PP 為 F 所以 Q(PP)為 T，R(PP)為 F 所以 R(R(PP)為 F，所以(Q(PP)(R(R(PP)為 F 即(Q(PP)(R(R(PP)RQ 成立。 （3）解： a)PQ 表示命題“如果 8 是偶數(shù)，那么糖果是甜的” 。 b) a)的逆換式 QP 表示命題“如果糖果是甜的，那么 8 是偶數(shù)” 。 c) a)的反換式PQ 表示命題“如果 8 不是偶數(shù)，那么糖果不是甜的” 。 d)a)的逆反式QP 表示命題“如果糖果不是甜的，那么 8 不是偶數(shù)” 。 （4）解： a) 如果天下雨，我不去。 10 設(shè) P：天下雨。Q：我不去。PQ 逆換式 QP 表示命題:如果我不去，則天下雨。 逆反式QP 表示命題:如果我去，則天不下雨 b)僅當(dāng)你走我將留下。 設(shè) S：你走了。R：我將留下。RS 逆換式 SR 表示命題：如果你走了則我將留下。 逆反式SR 表示命題：如果你不走，則我不留下。 c)如果我不能獲得更多幫助，我不能完成個任務(wù)。 設(shè) E：我不能獲得更多幫助。H：我不能完成這個任務(wù)。EH 逆換式 HE 表示命題：我不能完成這個任務(wù)，則我不能獲得更多幫助。 逆反式HE 表示命題：我完成這個任務(wù)，則我能獲得更多幫助 （5）試證明 PQ，Q 邏輯蘊含 P。 證明：解法 1： 本題要求證明(PQ) QP, 設(shè)(PQ) Q 為 T，則(PQ)為 T，Q 為 T，故由的定義，必有 P 為 T。 所以(PQ) QP 解法 2： 由體題可知，即證(PQ)Q)P 是永真式。 (PQ)Q)P (PQ) (PQ) Q)P (PQ) (PQ) Q) P (PQ) (PQ) Q) P (QPQ) (QPQ) P (QP) T) P QPP QT T （6）解： P：我學(xué)習(xí)Q：我數(shù)學(xué)不及格R：我熱衷于玩撲克。 如果我學(xué)習(xí)，那么我數(shù)學(xué)不會不及格：PQ 如果我不熱衷于玩撲克，那么我將學(xué)習(xí):RP 但我數(shù)學(xué)不及格:Q 因此我熱衷于玩撲克。R 即本題符號化為：(PQ)(RP)QR 證： 證法 1：(PQ)(RP)Q)R (PQ)(RP)Q) R (PQ)(RP)QR (QP)(QQ)(RR)(RP) QPRP T 所以，論證有效。 證法 2：設(shè)(PQ)(RP)Q 為 T， 則因 Q 為 T，(PQ) 為 T，可得 P 為 F， 11 由(RP)為 T，得到 R 為 T。 故本題論證有效。 （7）解： P：6 是偶數(shù)Q：7 被 2 除盡R：5 是素數(shù) 如果 6 是偶數(shù)，則 7 被 2 除不盡PQ 或 5 不是素數(shù)，或 7 被 2 除盡RQ 5 是素數(shù)R 所以 6 是奇數(shù)P 即本題符號化為： （PQ）（RQ）R P 證： 證法 1：(PQ)(RQ)R)P (PQ) (RQ) R) P (PQ) (RQ) R) P (PP) (PQ) (RR) (RQ) (PQ) (RQ) T 所以，論證有效，但實際上他不符合實際意義。 證法 2：(PQ)(RQ)R 為 T， 則有 R 為 T，且RQ 為 T，故 Q 為 T， 再由 PQ 為 T，得到P 為 T。 （8）證明： a) P(PQ) 設(shè) P 為 T，則P 為 F，故PQ 為 T b) ABCC 假定ABC 為 T，則 C 為 T。 c) CABB 因為 ABB 為永真，所以 CABB 成立。 d) (AB) AB 設(shè)(AB)為 T，則 AB 為 F。 若 A 為 T，B 為 F，則A 為 F，B 為 T，故AB 為 T。 若 A 為 F，B 為 T，則A 為 T，B 為 F，故AB 為 T。 若 A 為 F，B 為 F，則A 為 T，B 為 T，故AB 為 T。 命題得證。 e) A(BC)，DE，(DE)ABC 設(shè)A(BC)，DE，(DE)A 為 T， 則 DE 為 T，(DE)A 為 T，所以A 為 T 又A(BC)為 T，所以 BC 為 T。命題得證。 f) (AB)C，D，CDAB 設(shè)(AB)C，D，CD 為 T，則D 為 T，CD 為 T，所以 C 為 F 又(AB)C 為 T，所以 AB 為 F，所以AB 為 T。命題得證。 （9）解： a)如果他有勇氣，他將得勝。 P：他有勇氣Q：他將得勝 12 原命題：PQ逆反式：QP 表示：如果他失敗了，說明他沒勇 氣。 b) 僅當(dāng)他不累他將得勝。 P：他不累Q：他得勝 原命題：QP逆反式：PQ 表示：如果他累，他將失敗。 習(xí)題1-6 (1)解： a)(PQ)P(PP)Q(TQ) b)(P(QR) PQ (P(QR)PQ (PPQ)(QPQ)(RPQ) (PQ)(PQ)(PRQ) PQ (PQ) c)PQ(RP) PQ(RP) (PQR)(PQP) (PQR)F PQR (PQR) (2) 解： a)P PP b)PQ(PQ) (PQ)(PQ) c)PQPQ (PP)(QQ) (3)解： P(PQ) P(PQ) T PP (PP)(PP) P(PP) 13 P(PQ) P(PQ) T PP (PP) (PP)P) (PP)P)(PP)P) (4)解： PQ (PQ) (PP)(QQ) (PP)(QQ)(PP)(QQ) (5)證明： (BC) (BC) BC (BC) (BC) BC (6)解：聯(lián)結(jié)詞“”和“”不滿足結(jié)合律。舉例如下： a)給出一組指派：P 為 T，Q 為 F，R 為 F，則(PQ)R 為 T，P(QR)為 F 故 (PQ)RP(QR). b)給出一組指派：P 為 T，Q 為 F，R 為 F，則(PQ) R 為 T，P(QR)為 F 故(PQ)RP(QR). (7)證明： 設(shè)變元 P，Q，用連結(jié)詞,作用于 P，Q 得到：P，Q，P，Q，PQ，PP，QQ，QP。 但 PQQP，PPQQ，故實際有： P，Q，P，Q，PQ，PP（T）（A） 用作用于（A）類，得到擴大的公式類（包括原公式類） ： P，Q，P，Q，（PQ） ， T，F(xiàn)，PQ（B） 用作用于（A）類，得到： PQ，PPF，PQ（PQ） ，P（PQ）Q，P（PP）P， QP（PQ） ，QQF，Q（PQ）P，QTQ, PQPQ，P（PQ）Q，PTP, 14 Q（PQ）P，QTQ, （PQ）（PQ）PQ. 因此， （A）類使用運算后，仍在（B）類中。 對（B）類使用運算得： P，Q，P，Q，PQ， F，T， （PQ） ， 仍在（B）類中。 對（B）類使用運算得： PQ，PPF，PQ（PQ） ，P（PQ）Q，PTP，PFP，P （PQ）Q， QP（PQ） ，QQF，Q（PQ）P，QTQ, QFQ， Q（PQ） P， PQPQ，P（PQ）Q，PTP, PFP,P（PQ）Q， Q（PQ）P，QTQ, QTQ,Q（PQ）P， （PQ）T（PQ） ，（PQ）FPQ，（PQ）（PQ）F TFF，T（PQ） PQ F（PQ） （PQ） （PQ）（PQ）PQ. 故由（B）類使用運算后，結(jié)果仍在（B）中。 由上證明：用,兩個連結(jié)詞，反復(fù)作用在兩個變元的公式中，結(jié)果只能產(chǎn)生（B）類中的 公式，總共僅八個不同的公式，故,不是功能完備的，更不能是最小聯(lián)結(jié)詞組。 已證,不是最小聯(lián)結(jié)詞組，又因為 PQ （PQ） ，故任何命題公式中的聯(lián)結(jié) 詞，如僅用, 表達，則必可用,表達，其逆亦真。故, 也必不是 最小聯(lián)結(jié)詞組。 (8)證明，和不是最小聯(lián)結(jié)詞組。 證明：若，和是最小聯(lián)結(jié)詞，則 P（PP） P（PP） PP(P(P) 對所有命題變元指派 T，則等價式左邊為 F，右邊為 T，與等價表達式矛盾。 所以，和不是最小聯(lián)結(jié)詞。 (9)證明,和,是最小聯(lián)結(jié)詞組。 證明：因為,為最小聯(lián)結(jié)詞組，且 PQPQ 所以,是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組，又,都不是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組。 所以,是最小聯(lián)結(jié)詞組。 又因為 PQ(PQ)，所以,是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組，又,不是功能完 備的聯(lián)結(jié)詞組， 所以,是最小聯(lián)結(jié)詞組。 習(xí)題1-7 c c c c c 15 (1)解： P(PQ) P(PQ) (PP)(PQ) P(PQ) (P(QQ)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ) (2)解： a)(PQ)R (PQ)R PQR (PQ)(PQ)(QR)(QR)(RP)(RP) b)P(QR)S) P(QR)S) PQRS (PQ)(PQ)(QR)(QR)(RS)(RS)(SP) (SP) c)(PQ)(ST) (PQ)(ST) (PQS)(PQT) d) (PQ)R (PQ)R (PQ)R (PR)(QR) e)(PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (PP)(PQ)(QP)(QQ) (PQ)(QP) (3) 解： a) P(PQR) (PP)(PQ)(PR) (PQ)(PR) 16 b) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (PPQ)(QPQ) c) (PQ) (PQ) PQ (PQ)(PQ)(QP) d) (PQ)R (PQ)R (PQ)R (PR)(QR) e) (PQ)(PQ) (PP)(PQ)(QP)(QQ) (PQ)(QP) (4) 解： a) (PQ)(PQ) (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)(PQ) 1，2，3 PQ=0 b) Q(PQ) (PQ)(QQ) PQ =3 0，1，2 (PQ)(PQ) (PQ) c)P(P(Q(QR) P(P(Q(QR) PQR=0 1，2，3,4,5,6,7 =(PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)(PQR) d)(P(QR) )(P(QR) (P(QR) (P(QR) (PP) (P(QR) (QR) P) (QR) (QR) (PQR) (PQR) =0,7 1，2，3,4,5,6 (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) e)P(P(QP) P(P(QP) (PP)(PQP) T(TQ) T 17 0,1,2,3= (PQ) (PQ) (PQ) (PQ) f)(QP) (PQ) (QP) PQ (QP) (PQ) F 0,1，2，3= (PQ) (PQ) (PQ) (PQ) (5) 證明： a) (AB) (AC) (AB) (AC) A(BC) A(BC) (AB) (AC) b) (AB) (AB) (AB) (AB) (AB) (AB) A(BB) AT A (AB) (BA) (AB) (BA) A(BB) AF A c) AB(AB) (AA)(AB)B ABB F AB(AB) (AA)(AB)B ABB F d) A(A(AB) AA(AB) T AB(AB) (AB) (AB) T (6)解：AR(Q(RP),則 A* R(Q(RP) 18 AR(Q(RP) (R(Q(RP) RQ(RP) (RQ) (RP) A*R(Q(RP) (R(Q(RP) RQ(RP) (RQ) (RP) (7) 解：設(shè) A：A 去出差。B：B 去出差。C：C 去出差。D：D 去出差。 若 A 去則 C 和 D 中要去一個。A(CVD) B 和 C 不能都去。(BC) C 去則 D 要留下。CD 按題意應(yīng)有：A(CVD)，(BC)，CD 必須同時成立。 因為 CVD (CD) (DC) 故(A(CVD)(BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (BD) (CD) C) (ABC) (ABD) (ACD) (AC) (BCD) (CDBD) (CDCD) (CDC) (DCBC) (DCBD) (DCCD) (DCC) 在上述的析取范式中，有些（畫線的）不符合題意，舍棄，得 (AC) (BCD) （CD）(DCB) 故分派的方法為：BD,或 DA,或 CA。 (8)解：設(shè) P：A 是第一。Q：B 是第二。R：C 是第二。S：D 是第四。E：A 是第二。 由題意得 (PVQ) (RVS) (EVS) (PQ) (PQ) (RS) (RS) (ES) (ES) (PQRS) (PQRS) (PQRS) (PQRS)(ES)(ES) 因為(PQRS)與(PQRS)不合題意，所以原式可化為 (PQRS) (PQRS)(ES) (ES) (PQRSES) (PQRSES) (PQRSES)(PQRSES) (PQRSE) (PQRSE) 因 R 與 E 矛盾，故PQRSE 為真， 即 A 不是第一，B 是第二，C 不是第二，D 為第四，A 不是第二。 于是得： A 是第三B 是第二C 是第一D 是第四。 習(xí)題 1-8 (1)證明： a)(PQ)，QR，RP (1) RP (2) QRP 19 (3) Q(1)(2)T,I (4) (PQ)P (5) PQ(4)T,E (6) P(3)(5)T,I b)J(MN)，(HG)J，HGMN (1) (HG) JP (2) (HG)P (3) J(1)(2)T,I (4) J(MN)P (5) MN(3)(4)T,I c)BC，(BC)(HG)GH (1) BCP (2) B(1)T,I (3) C(1)T,I (4) BC(2)T,I (5) CB(3)T,I (6) CB(4)T,E (7) BC(5)T,E (8) BC(6)(7)T,E (9) (BC) (HG)P (10) HG(8)(9)T,I d)PQ，(QR)R，(PS)S (1) (QR) R (2) QR(1)T,I 20 (3) R(1)T,I (4) Q(2)(3)T,I (5) PQP (6) P(4)(5)T,I (7) (PS)P (8) PS(7)T,E (9) S(6)(8)T,I (2) 證明： a)AB，CBAC (1)(A C)P (2) A(1)T,I (3) C(1)T,I (4) ABP (5) B(2)(4)T,I (6) CBP (7) B(3)(6)T,I (8) BB矛盾。(5),(7) b)A(BC)，(CD)E，F(xiàn)(DE)A(BF) (1) (A(BF)P (2) A(1)T,I (3) (BF)(1)T,I (4) B(3)T,I (5) F(3)T, (6) A(BC)P 21 (7) BC(2)(6)T,I (8) C(4)(7)T,I (9) F(DE)P (10) DE(5)(9)T,I (11) D(10)T,I (12) CD(8)(11)T,I (13) (CD) EP (14) E(12)(13)T,I (15) E(10)T,I (16) EE矛盾。(14),(15) c)ABCD，DEFAF (1) (AF)P (2) A(1)T,I (3) F(1)T,I (4) AB(2)T,I (5) (AB) CDP (6) CD(4)(5)T,I (7) C(6)T,I (8) D(6)T,I (9) DE(8)T,I (10) DEFP (11) F(9)(10)T,I (12) FF矛盾。(3),(11) d)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE)BE 22 (1) (BE)P (2) B(1)T,I (3) E(1)T,I (4) BDP (5) D(2)(4)T,I (6) (EF) DP (7) (EF)(5)(6)T,I (8) E(7)T,I (9) EE矛盾 e)(AB)(CD)，(BE)(DF)，(EF)，ACA (1) (AB) (CD)P (2) AB(1)T,I (3) (BE) (DF)P (4) BE(3)T,I (5) AE(2)(4)T,I (6) (EF)P (7) EF(6)T,E (8) EF(7)T,E (9) AF(5)(8)T,I (10) CD(1)T,I (11) DF(3)T,I (12) CF(10)(10)T,I (13) ACP (14) AF(13)(12)T,I 23 (15) FA(14)T,E (16) AA(9)(15)T,I (17) AA(16)T,E (18) A(17) T,E (3)證明： a)AB，CBAC (1) AP (2) ABP (3) B(1)(2)T,I (4) CBP (5) C(3)(4)T,I (6) ACCP b)A(BC)，(CD)E，F(xiàn)(DE)A(BF) (1) AP (2) A(BC)P (3) BC(1)(2)T,I (4) BP (5) C(3)(4)T,I (6) (CD) EP (7) C(DE)(6)T,E (8) DE(5)(7)T,I (9) DE(8)T,E (10) (DE)(9)T,E (11) F(DE)P 24 (12) F(10)(11)T,I (13) BFCP (14) A(BF)CP c)ABCD，DEFAF (1) AP (2) AB(1)T,I (3) ABCDP (4) CD(2)(3)T,I (5) D(4)T,I (6) DE(5)T,I (7) DEFP (8) F(6)(7)T,I (9) AFCP d)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE)BE (1) BP(附加前提) (2) BDP (3) D(1)(2)T,I (4) (EF)DP (5) (EF)(3)(4)T,I (6) E(5)T,I (7) BECP (4)證明： a) RQ，RS，SQ，PQP (1) RQP 25 (2) RSP (3) SQP (4) Q(1)(2)(3)T,I (5) PQP (6) P(4)(5)T,I b) SQ，SR，R，PQP 證法一： (1) SRP (2) RP (3) S(1)(2)T,I (4) SQP (5) Q(3)(4)T,I (6) PQP (7)(PQ)(QP)(6)T,E (8) PQ(7)T,I (9) P(5)(8)T,I 證法二： （反證法） (1) PP（附加前提） (2) PQP (3)（PQ）（ QP） (2)T，E (4) PQ(3)T,I (5) Q(1)(4)T,I (6) SQP (7) S(5)(6)T,I 26 (8) SRP (9) R(7)(8)T,I (10) RP (11) RR矛盾（9） （10）T，I c)(PQ)(RS)，(QP)R)，RPQ (1) RP (2) (QP) RP (3) QP(1)(2)T,I (4)(PQ) (RS)P (5) (RS) (PQ)(4)T,E (6) RS(1)T,I (7) PQ(5)(6) (8) (PQ) (QP)(3)(7)T,I (9) PQ(8)T,E (5) 解： a) 設(shè) P：我跑步。Q：我很疲勞。 前提為：PQ，Q (1) PQP (2) QP (3) P(1)(2)T,I 結(jié)論為：P，我沒有跑步。 b)設(shè) S：他犯了錯誤。 R：他神色慌張。 前提為：SR，R 因為（SR）R（SR）RR。故本題沒有確定的結(jié)論。 27 實際上，若 S R 為真，R 為真,則 S 可為真，S 也可為假，故無有效結(jié)論。 c) 設(shè) P：我的程序通過。 Q：我很快樂。 R：陽光很好。S：天很暖和。 （把晚上十一點理解為陽光不好） 前提為：PQ，QR，RS (1) PQP (2) QRP (3) PR(1)(2)T,I (4) RSP (5) R(4)T,I (6) P(3)(5)T,I 結(jié)論為： P，我的程序沒有通過 習(xí)題 2-1,2-2 （1）解： a) 設(shè) W（x） ：x 是工人。c：小張。 則有W（c） b) 設(shè) S（x） ：x 是田徑運動員。B（x） ：x 是球類運動員。h：他 則有S（h）B（h） c) 設(shè) C（x） ：x 是聰明的。B（x） ：x 是美麗的。l：小莉。 則有 C（l） B（l） d）設(shè) O（x） ：x 是奇數(shù)。 則有O（m） O（2m） 。 e)設(shè) R（x） ：x 是實數(shù)。Q（x） ：x 是有理數(shù)。 則有 （x） （Q（x）R（x） ） f) 設(shè) R（x） ：x 是實數(shù)。Q（x） ：x 是有理數(shù)。 則有 （x） （R（x）Q（x） ） 28 g) 設(shè) R（x） ：x 是實數(shù)。Q（x） ：x 是有理數(shù)。 則有 （x） （R（x）Q（x） ） h)設(shè) P（x，y） ：直線 x 平行于直線 y G（x，y） ：直線 x 相交于直線 y。 則有P（A，B）G（A，B） （2）解： a) 設(shè) J(x)：x 是教練員。L(x)：x 是運動員。 則有 （x） （J（x）L（x） ） b) 設(shè) S(x)：x 是大學(xué)生。L(x)：x 是運動員。 則有 （x） （L（x）S（x） ） c) 設(shè) J(x)：x 是教練員。O(x)：x 是年老的。V（x） ：x 是健壯的。 則有（x） （J（x）O（x）V（x） ） d) 設(shè) O(x)：x 是年老的。V（x） ：x 是健壯的。j：金教練 則有 O（j）V（j） e) 設(shè) L(x)：x 是運動員。J(x)：x 是教練員。 則（x） （L（x）J（x） ） 本題亦可理解為：某些運動員不是教練。 故 （x） （L（x）J（x） ） f) 設(shè) S（x） ：x 是大學(xué)生。L（x） ：x 是運動員。C（x） ：x 是國家選手。 則有 （x） （S（x）L（x）C（x） ） g) 設(shè) C（x） ：x 是國家選手。V（x） ：x 是健壯的。 則有（x） （C（x）V（x） ）或（x） （C（x）V（x） ） h) 設(shè) C（x） ：x 是國家選手。O（x） ：x 是老的。L（x） ：x 是運動員。 則有 （x） （O（x）C（x）L（x） ） 29 i) 設(shè) W（x） ：x 是女同志。H（x） ：x 是家庭婦女。C（x） ：x 是國家選手。 則有 （x） （W（x）C（x）H（x） ） j） W（x） ：x 是女同志。J（x） ：x 是教練。C（x） ：x 是國家選手。 則有（x） （W（x）J（x）C（x） ） k） L（x） ：x 是運動員。J（y） ：y 是教練。A(x,y)：x 欽佩 y。 則有（x） （L（x） （y） （J（y）A（x，y） ） ） l） 設(shè) S（x） ：x 是大學(xué)生。L（x） ：x 是運動員。A(x,y)：x 欽佩 y。 則（x） （S（x）（y） （L（y） A(x,y)） ） 習(xí)題 2-3 （1）解： a）5 是質(zhì)數(shù)。 b）2 是偶數(shù)且 2 是質(zhì)數(shù)。 c）對所有的 x，若 x 能被 2 除盡，則 x 是偶數(shù)。 d）存在 x，x 是偶數(shù)，且 x 能除盡 6。 （即某些偶數(shù)能除盡 6） e）對所有的 x，若 x 不是偶數(shù)，則 x 不能被 2 除盡。 f）對所有的 x，若 x 是偶數(shù)，則對所有的 y，若 x 能除盡 y，則 y 也是偶數(shù)。 g）對所有的 x，若 x 是質(zhì)數(shù)，則存在 y，y 是偶數(shù)且 x 能除盡 y（即所有質(zhì)數(shù)能除 盡某些偶數(shù)） 。 h）對所有的 x，若 x 是奇數(shù)，則對所有 y，y 是質(zhì)數(shù)，則 x 不能除盡 y（即任何奇 數(shù)不能除盡任何質(zhì)數(shù)） 。 （2）解： （x）(y)(P(x)P(y)E(x,y)(!z)(L(z)R(x,y,z) 或 （x）(y)(P(x)P(y)E(x,y)(z)(L(z)R(x,y,z) (u)(E(z,u) L(u) R(x,y,u) （3）解： a) 設(shè) N(x):x 是有限個數(shù)的乘積。 z(y):y 為 0。 30 P(x):x 的乘積為零。 F(y):y 是乘積中的一個因子。 則有(x)(N(x)P(x)(y)(F(y)z(y) b) 設(shè) R(x):x 是實數(shù)。Q(x,y):y 大于 x。 故 (x)(R(x)(y)(Q(x,y)R(y) c) R(x):x 是實數(shù)。G(x,y):x 大于 y。 則 (x)(y)(z)(R(x)R(y)R(z)G(x+y,xz) （4）解：設(shè) G(x,y):x 大于 y。則有 (x)(y)(z)(G(y,x) G(0,z)G(xz,yz) （5）解：設(shè) N(x):x 是一個數(shù)。 S(x,y):y 是 x 的后繼數(shù)。E(x,y)：x=y.則 a)(x)(N(x)(!y)(N(y)S(x,y) 或(x)(N(x)(y)(N(y)S(x,y) (z)(E(y,z) N(z)S(x,z) b) (x)(N(x)S(x,1) c) (x)(N(x)S(x,2)(!y)(N(y) S(y,x) 或(x)(N(x)S(x,2)(y)(N(y) S(y,x) (z)(E(y,z) N(z)S(z,x) （6）解：設(shè) S(x):x 是大學(xué)生。 E(x):x 是戴眼睛的。 F(x):x 是用功的。R(x,y):x 在看 y。 G(y):y 是大的。K(y):y 是厚的。J(y):y 是巨著。a:這本。b:那位。 則有 E(b)F(b)S(b)R(b,a)G(a)K(a)J(a) （7）解：設(shè) P(x,y):x 在 y 連續(xù)。Q(x,y):xy。則 P(f,a)()()(x)(Q(,0)(Q(,0)Q(,|x-a|)Q(,|f(x)-f(a)|) 習(xí)題 2-4 (1) 解：a) x 是約束變元，y 是自由變元。 b) x 是約束變元，P(x)Q(x)中的 x 受全稱量詞的約束，S(x)中的 x 受存在量詞的 約束。 c) x，y 都是約束變元,P(x)中的 x 受的約束，R(x)中的 x 受的約束。 d) x，y 是約束變元，z 是自由變元。 31 (2) 解：a) P(a)P(b)P(c) b) R(a)R(b)R(c)S(a)S(b)S(c) c) (P(a)Q(a)(P(b)Q(b)(P(c)Q(c) d) (P(a)P(b)P(c)(P(z)P(b)P(c) e) (R(a)R(b)R(c)(S(a)S(b)S(c) (3)解： a) (x)(P(x)Q(x)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)， 但 P(1)為 T，Q(1)為 F，P(2)為 F，Q(2)為 T,所以 (x)(P(x)Q(x)(TF)(FT)T。 b) (x)(PQ(x)R(a) (PQ(2)(PQ(3)(PQ(6)R(a) 因為 P 為 T，Q(2)為 T，Q(