專題二數(shù)形結(jié)合的思想方法.ppt

專題二 數(shù)形結(jié)合的思想方法,數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第一部分,考題剖析 ,規(guī)律總結(jié) ,知識概要 ,03,05,23,數(shù)形結(jié)合的思想方法,1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本 質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合. 2.實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.如等式(x2)2+(y1)2=4,知識概要,返回目錄,數(shù)形結(jié)合的思想方法,3.縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”. 4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維、視野.,返回目錄,知識概要,數(shù)形結(jié)合的思想方法,考 題 剖 析,返回目錄,1.設(shè)命題甲：0x3，命題乙：|x1|4，則甲是乙成立的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.不充分也不必要條件,考題剖析,返回目錄,數(shù)形結(jié)合的思想方法,解析解法1：由命題乙|x1|4可得：3x5 , 所以命題甲是命題乙的充分不必要條件. 解法2：將兩個命題用數(shù)軸表示，如圖： 從上圖可以看出，命題甲是命題乙的充分不必要條件.所以選A.,點評 對于處理集合的問題，可以用數(shù)形結(jié)合的方法，如果是含字母參數(shù)的，可以畫韋恩圖；如果是具體的數(shù)集，則可以畫數(shù)軸，都可以使用集合間的關(guān)系直觀化.,A,2.已知函數(shù)y=f(x)(0x1)的圖象如右圖，若0x1x21,則（ ） A. B. C. D.以上都不正確,返回目錄,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,解析 由選項 的結(jié)構(gòu)特點，聯(lián)想到兩點間的斜率公式，事實上， 可以看作是點（x,f(x)與原點連線的斜率，由圖象不難得出答案為A.,點評 在解題的過程中，要注意一些式的幾何意義，一般地 可聯(lián)系到斜率， 可聯(lián)系到距離公式.,A,3.已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是（ ） A.( , ) B.( , ) C. , D. , ,返回目錄,解析如圖，當過右焦點的直線與漸近線平行時，由雙曲線性質(zhì)可知，此時直線與雙曲線右支有且僅有一個交點（且與整個雙曲線也僅此一個交點）.當過右焦點的直線位于兩條漸近線之間時， 直線與雙曲線左右支均交于一點，也符合題干條件. 又由雙曲線方程 1，有雙曲線的漸近 線方程為y x，所以有 k .,點評本題還可以設(shè)直線方程為yk(x4)，與雙曲線方程聯(lián)立，求 0，但不可忽略直線與雙曲線左右支各交于一點的情況，利用韋達定理確定k的值，基于本題是選擇題，不提倡采用解析法.本題重點在于考查數(shù)形結(jié)合的思想.,C,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,4.（2007湖南三市七校試題）若不等式 x(a0)的 解集為x|mxn，且|mn|=2a，則a的值為（ ） A.1 B.2 C.3 D.4,返回目錄,解析 畫出y= , y=x的圖象， 依題意，m=a，n=a， 從而 =a a=0或2.故選B.,點評本題很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，如果單純地從數(shù)的觀點來解題的話，得出m=a與n=a也是有一定的難度的，但從形的角度出發(fā)，可以很直觀地看出，這也就說明了解小題時，一 定要重視這種思想的應(yīng)用.,B,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,5.甲、乙兩人相約7:008:00在某地會面，假定每人在這 段時間內(nèi)的每個時刻到達會面地點的可能性是相同的，先到 者等20分鐘后便離去，則兩人能會面的概率為 .,返回目錄,解析在平面上建立直角坐標系，直線x=60，直線y=60, x軸，y軸圍成一個正方形區(qū)域G.設(shè)甲7時x分到達會面地點， 乙7時y分到達會面地點，這個結(jié)果與平面上的點（x,y） 對應(yīng).于是試驗的所有可能結(jié)果就與G中的所有點一一對應(yīng).,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,由題意知，每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的， 甲乙兩人能會面，當且僅當他們到達會面地點的時間相差不超 過20分鐘，即 yx20，x20yx+20, 因此，圖中的 陰影區(qū)域g就表示“甲乙能會面”.容易求得 g的面積為6024022000，G的面積為3600， 由幾何概型的概率計算公式，“甲乙能會面” 的概率 P(甲乙能會面)g的面積/G的面積 .,點評 解決問題的關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率.,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,6.設(shè)函數(shù)y=f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)， 它在區(qū)間0,1上的圖象為如右圖所示的線 段AB，則在區(qū)間1,2上，f(x)= .,解析 解法1：題目已給出f(x)在區(qū)間 0,1的圖象，可運用數(shù)形結(jié)合與對稱的思想方法. 由y=f(x)是偶函數(shù)，由“形”對稱變換到“形”， 得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,0上的圖象，如下圖的線 段CA. 由y=f(x)是最小正周期為2的函數(shù)，再由 “形”向右平移到“形”，得到函數(shù)y=f(x)在 區(qū)間1，2上的圖象，如右圖所示的線段BD.,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,由“形”到“數(shù)”，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,2 上的圖象是經(jīng)過B(1,1)，D(2,2)的直線，由待 定系數(shù)法，求得f(x)=x(x1,2).,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,解法2：也可以由“形”到“數(shù)”， 用待定系數(shù)法求得，當x0,1時，f(x)=x+2； 由偶函數(shù)，當x1,0時， f(x)=f(x)=(x)+2=x+2(0x1)， 由最小正周期為2，得當x1,2時， f(x)=f(x2)=(x2)+2=x.,返回目錄,點評 解法1根據(jù)偶函數(shù)與周期函數(shù)的特征作出在1,2上的圖象，再根據(jù)圖象找出解析式；解法2，先由 圖形確定在0,1上的解析式，再利用周期性和奇偶性將1，2上的解析式化歸到0,1上進行處理.兩種解法都 恰當利用了“數(shù)”與“形”的有機結(jié)合.,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,7.函數(shù)y= 的最大值為 ，最小值為 .,解析y= 表示點P(cosx，sinx)與點A(2，0)連線的斜率的取值范圍，而點P在單位圓上， 如右圖，過A作單位圓的切線AB，AC. 易知kAB= ，kAC= 為斜率 的最大值和最小值，那么y的最大值為 ，最小值為 .,點評 對于分式型問題的處理，?？蓸?gòu)造斜率模型，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行求解.,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,8.解關(guān)于x的不等式|x21|0).,解析 設(shè) 分別作出兩個函數(shù)的圖象， 由 令y1=y2，求出交點橫坐標：x1= , x2= , 從圖形不難看出當函數(shù)y2的圖象位于y1的圖象的上方時，對應(yīng)的x值的取值范圍即為原不等式的解. x .,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,點評 圖象法解不等式與圖象法解方程有類似之處，首先求出兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(即方程的根)，然后根據(jù)不等式的方向從圖象中判斷解 的區(qū)間.,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,9.實系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0的一根在(0,1)上，另一根在 (1,2)上，求 的取值范圍.,分析用二次函數(shù)的圖象研究根的分布問題，再研究所得不等式和式子的幾何意義.,解析由x2+ax+2b=0的二根分別在區(qū)間 (0,1)與(1,2)上的幾何意義為y=f(x)=x2+ax+2b與 x軸的兩交點的橫坐標分別在區(qū)間(0,1)，(1,2)內(nèi). ,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,在aOb坐標平面內(nèi)，上面不等式表示的點集為ABC的內(nèi)部， 如圖所示. A點由 解得A(3,1); B點由 解得B(2,0)； C點由 解得C(1,0). 而 的幾何意義是點(a,b)與點D(1,2)連線的斜率. kAD= = ，kCD= =1，由圖知kAD kCD， 1.,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,點評本題是二次方程根的分布、線性規(guī)劃等的小型綜合題，本題解法中兩次用到數(shù)形結(jié)合，一是研究方程根的分布，利用了二次函數(shù)的圖象，二是在研究 的取值范圍時，根據(jù)其幾何意義為斜率，累出不等式。,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,10.（2007岳陽質(zhì)檢）已知奇函數(shù)f(x)= （1）求實數(shù)m的值，并在給出的直角坐標系中畫出y=f(x)的圖象； （2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間1，|a|2上單調(diào)遞增，試確定a的 取值范圍.,解析（1）當 x0， f(x)=(x)2+2(x)=x22x， 又f（x）為奇函數(shù)，f(x)=f(x)=x22x， f（x）x22x，m2 yf（x）的圖象如右所示.,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,（2）由（1）知 f（x） ， 由圖象可知，f(x)在1，1上單調(diào)遞增， 要使f(x)在1，|a|2上單調(diào)遞增， 只需 解之得3a1或1a3.,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,規(guī) 律 總 結(jié),返回目錄,數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機結(jié)合.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使問題得到解決.運用這一數(shù)學(xué)思想，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征.,規(guī)律總結(jié),返回目錄,數(shù)形結(jié)合的思想方法,數(shù)形結(jié)合的兩個方面：即以形助數(shù)、以數(shù)解形. （1）以形助數(shù)的體現(xiàn)： 利用曲線方程解題； 利用“直線的斜率”； 利用“單位圓”； 利用“點到直線的距離”； 利用“兩點間的距離”； 利用“直線的截距”； 利用“平行線間的距離”； 利用“直線的方程”； 利用函數(shù)的圖象； 利用幾何圖形解題； 利用向量運算； 利用“三角形三邊的關(guān)系”； 利用勾股定理構(gòu)圖.,返回目錄,規(guī)律總結(jié),數(shù)形結(jié)合的思想方法,（2）以數(shù)解形的體現(xiàn)： 向量坐