（黃岡名師）高考數(shù)學核心素養(yǎng)提升練二十九6.2等差數(shù)列及其前n項和理（含解析）新人教A版.docx

核心素養(yǎng)提升練二十九等差數(shù)列及其前n項和(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.等差數(shù)列an中,a1=1,an=100(n3).若an的公差為某一自然數(shù),則n的所有可能取值為()A.3,7,9,15,100 B.4,10,12,34,100C.5,11,16,30,100 D.4,10,13,43,100【解析】選B.由等差數(shù)列的通項公式得,公差d=.又因為dN,n3,所以n-1可能為3,9,11,33,99,n的所有可能取值為4,10,12,34,100.2.在張丘建算經(jīng)中有一道題:“今有女子不善織布,逐日所織的布同數(shù)遞減,初日織五尺,末一日織一尺,計織三十日,問共織布幾何?” ()A.30尺B.60尺C.90尺D.120尺【解析】選C.由題意知該女子每天織布的尺數(shù)成等差數(shù)列,等差數(shù)列an中,首項與第三十項分別為a1=5,a30=1,所以S30=90(尺).【變式備選】我國古代數(shù)學著作九章算術(shù)有如下問題:“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金箠,長五尺,一頭粗,一頭細,在粗的一端截下1尺,重4斤,在細的一端截下1尺,重2斤,問依次每一尺各重多少斤?”根據(jù)上題的已知條件,若金箠由粗到細是均勻變化的,問第二尺與第四尺的重量之和為()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤【解析】選A.依題意,金箠由粗到細各尺的重量構(gòu)成一個等差數(shù)列,設首項a1=4,則a5=2.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2+a4=a1+a5=6,所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤.3.(2016全國卷)已知等差數(shù)列an前9項的和為27,a10=8,則a100=()A.100B.99C.98D.97【解析】選C.由題意可知,解得a1=-1,d=1,所以a100=-1+991=98.【一題多解】選C.由等差數(shù)列性質(zhì)可知:S9=9a5=27,故a5=3,而a10=8,因此公差d=1,所以a100=a10+90d=98.【變式備選】(2018大同模擬)在等差數(shù)列an中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,則此數(shù)列前20項的和等于() A.290B.300C.580D.600【解析】選B.由a1+a2+a3=3a2=3,得a2=1.由a18+a19+a20=3a19=87,得a19=29,所以S20=10(a2+a19)=300.4.(2018全國卷)記Sn為等差數(shù)列的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=()A.-12B.-10C.10D.12【解析】選B.3=2a1+d+4a1+d9a1+9d=6a1+7d3a1+2d=06+2d=0d=-3,所以a5=a1+4d=2+4(-3)=-10.【變式備選】數(shù)列an首項a1=1,對于任意m,nN*,有an+m=an+3m,則an的前5項和S5=()A.121B.25C.31D.35【解析】選D.令m=1,有an+1=an+3,所以an是等差數(shù)列,首項為1,公差為3, 所以an=1+3=3n-2,所以S5=5a3=5=35.5.在數(shù)列an中,a2=8,a5=2,且2an+1-an+2=an(nN*),則|a1|+|a2|+|a10|的值是()A.-10B.10C.50D.70【解析】選C.由2an+1-an+2=an得2an+1=an+2+an,即數(shù)列an是等差數(shù)列,由a2=8,a5=2,可得a1=10,d=-2,所以an=-2n+12,當1n6時,an0,當n7時,an0,(S8-S5)(S9-S5)|a8|B.|a7|a8|C.|a7|=|a8|D.|a7|=0【解析】選B.因為(S8-S5)(S9-S5)0,所以(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)0,因為an為等差數(shù)列,所以a6+a7+a8=3a7,a6+a7+a8+a9=2(a7+a8),所以a7(a7+a8)0,所以a70,且|a7|a8|.二、填空題(每小題5分,共15分)6.在等差數(shù)列an中,a3+a9=27-a6,Sn表示數(shù)列an的前n項和,則S11=_.【解析】因為a3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11=(a1+a11)=11a6=99.答案:997.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn, =-2,Sm=0, =3,則正整數(shù)m的值為_.【解析】因為等差數(shù)列an的前n項和為Sn, =-2,Sm=0, =3,所以am=Sm-=2,= -Sm=3,數(shù)列的公差d=1,am+=-=5,即2a1+2m-1=5,所以a1=3-m.由Sm=(3-m)m+1=0,解得正整數(shù)m的值為5.答案:5【變式備選】設Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若S40,且S8=3S4,S12=S8,則=_.【解析】當S40,且S8=3S4,S12=S8時,由等差數(shù)列的性質(zhì)得:S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列,所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8),所以2(3S4-S4)=S4+(3S4-3S4),解得=2.答案:28.已知數(shù)列an的通項公式為an=(-1)n2n+1,該數(shù)列的項排成一個數(shù)陣(如圖),則該數(shù)陣中的第10行第3個數(shù)為_.a1a2a3a4a5a6【解析】由題意可得該數(shù)陣中的第10行、第3個數(shù)為數(shù)列an的第1+2+3+9+3=+3=48項,而a48=(-1)4896+1=97,故該數(shù)陣第10行、第3個數(shù)為97.答案:97三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足a1=2,Sn=(n2),證明是等差數(shù)列.【證明】因為Sn=,所以2Sn-1Sn+Sn=Sn-1,即Sn-1-Sn=2SnSn-1,故-=2(n2),又=,因此數(shù)列是首項為,公差為2的等差數(shù)列.10.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,an0,a1=1,且2anan+1=4Sn-3(nN*).(1)求a2的值并證明:an+2-an=2.(2)求數(shù)列an的通項公式.【解析】(1)令n=1得2a1a2=4S1-3,又a1=1,所以a2=.2anan+1=4Sn-3,2an+1an+2=4Sn+1-3-得,2an+1(an+2-an)=4an+1.因為an+10,所以an+2-an=2.(2)由(1)可知:數(shù)列a1,a3,a5,a2k-1,為等差數(shù)列,公差為2,首項為1,所以a2k-1=1+2(k-1)=2k-1,即n為奇數(shù)時,an=n.數(shù)列a2,a4,a6,a2k,為等差數(shù)列,公差為2,首項為,所以a2k=+2(k-1)=2k-,即n為偶數(shù)時,an=n-.綜上所述,an=.(20分鐘40分)1.(5分)如果數(shù)列an滿足a1=2,a2=1,且=(n2),則這個數(shù)列的第10項等于()A.B.C. D.【解析】選C.因為=,所以1-=-1,即+=2,所以+=,故是等差數(shù)列.又因為d=-=,所以=+9=5,故a10=.【變式備選】已知數(shù)列an中,a2=,a5=,且是等差數(shù)列,則a7=()A.B.C.D.【解析】選D.設等差數(shù)列的公差為d,則=+3d,即=+3d,解得d=2,所以=+5d=12,解得a7=.2.(5分)(2019衡水模擬)若數(shù)列an滿足:a1=19,an+1=an-3(nN*),則數(shù)列an的前n項和數(shù)值最大時,n的值為()A.6B.7C.8D.9【解析】選B.因為a1=19,an+1-an=-3,所以數(shù)列an是以19為首項,-3為公差的等差數(shù)列,所以an=19+(n-1)(-3)=22-3n.設an的前k項和數(shù)值最大,則有kN*,所以所以k,因為kN*,所以k=7.所以滿足條件的n的值為7.【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決:選B.因為a1=19,an+1-an=-3,所以數(shù)列an是以19為首項,-3為公差的等差數(shù)列,所以Sn=19n+n(n-1)(-3)=-n2+n.顯然是關于n的二次函數(shù),開口向下,所以當n=時,Sn=-n2+n取得最大值,又因為kN*,所以k=7.所以滿足條件的n的值為7.3.(5分)(2019長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=cos x(x(0,2)有兩個不同的零點x1,x2(x1x2),且方程f(x)=m有兩個不同的實根x3,x4(x30和m0,再利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解.【解析】函數(shù)f(x)=cos x(x(0,2)有兩個不同的零點x1,x2(x10,則由余弦函數(shù)的圖象知x3,x4構(gòu)成等差數(shù)列,可得公差d=-=,則x3=-=-0,顯然不可能;若m0,則由余弦函數(shù)的圖象知,x3,x4,構(gòu)成等差數(shù)列,可得3d=-,解得d=,所以x3=+=,m=cos x3=cos=-.答案:-4.(12分)在公差為d的等差數(shù)列an中,已知a1=10,且5a3a1=(2a2+2)2.(1)求d,an.(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.【解析】(1)由題意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4,所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)設數(shù)列an的前n項和為Sn,因為d0,由(1)得d=-1,an=-n+11,則當n11時,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-n2+n,當n12時,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.綜上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|= 【變式備選】(2018沈陽質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a3+a6=4,S5=-5.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|an|,求T5的值和Tn的表達式.【解析】(1)設等差數(shù)列an的公差為d,由題意知解得故an=2n-7(nN*).(2)由an=2n-70,得n,即n3,所以當n3時,an=2n-70.由(1)知Sn=n2-6n,所以當n3時,Tn=-Sn=6n-n2;當n4時,Tn=-S3+(Sn-S3)=Sn-2S3=n2-6n+18.故T5=13,Tn=5.(13分)已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足a3a4=117, a2+a5=22.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)若數(shù)列bn滿足bn=,是否存在非零實數(shù)c使得bn為等差數(shù)列?若存在,求出c的值;若不存在,請說明理由.【解析】(1)因為數(shù)列an為等差數(shù)列,所以a3+a4=a2+a5=22.又a3a4=117,所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的