高等數(shù)學課件微積分泰勒級數(shù)傅里葉變換.ppt

,歡迎各位新同學！,高 等 數(shù) 學,石家莊鐵道大學數(shù)理系,陳聚峰 Tel:一. 為何要學習高等數(shù)學,二. 高等數(shù)學的主要內(nèi)容,三. 學好高等數(shù)學的主要學習方法,四. 其他與教學相關(guān)的事項,序 言,一.為何要學習高等數(shù)學,1. 對數(shù)學的評價,馬克思,恩格斯,要辨證而又唯物地了解自然,就必須熟悉數(shù)學.,一門科學,只有當它成功地運用數(shù)學時,才能達到真正完善的地步 .,第一個諾貝爾物理獎得主倫琴在回答“科學家需要什么樣的修養(yǎng)？”這一問題時，說：“第一是數(shù)學, 第二是數(shù)學, 第三還是數(shù)學.”,英國著名哲學家培根說 “數(shù)學是打開科學大門的鑰匙.”,聯(lián)合國教科文組織調(diào)查報告：目前科學研究工作的特點之一是各門學科的數(shù)學化.,被譽為“計算機之父”的馮 諾依曼認為“數(shù)學處于智慧的中心領(lǐng)域”,2. 高等數(shù)學是高校學生必修的重要基礎(chǔ)理論課,17世紀（1637年）笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，同時把變量引入數(shù)學，對數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響，使數(shù)學從研究常量的初等數(shù)學進一步發(fā)展到研究變量的高等數(shù)學。微積分是高等數(shù)學的一個重要的組成部分，是研究變量間的依賴關(guān)系函數(shù)的一門學科，是學習其它自然科學的基礎(chǔ)。,微積分對許多工程技術(shù)的重要性就像望遠鏡之于天文學, 顯微鏡之于生物學一樣. 因此在所有的理工科大學中,微積分總是被列為一門重要的基礎(chǔ)理論課程.這是因為: 一方面，它為進一步學習數(shù)學課（如:概率論與數(shù)理統(tǒng)計、復變函數(shù)等）打下一定的基礎(chǔ), 另一方面，它是學好后繼的專業(yè)課（如：離散數(shù)學、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、大學物理等）的重要工具.,另外, 考研時高等數(shù)學的內(nèi)容大約占數(shù)學試卷( 總分150)的三分之二.,二. 高等數(shù)學的主要內(nèi)容,微積分學,一元函數(shù)微積分學,多元函數(shù)微積分學,函數(shù)、極限、連續(xù),無窮級數(shù),常微分方程,掌握高等數(shù)學的基本知識、基本理論、基本方法，提高數(shù)學素養(yǎng).,1. 學習內(nèi)容,基礎(chǔ),三基,抽象概括問題的能力； 邏輯推理能力； 空間想象能力； 自學能力； 比較熟練的運算能力； 綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力。,2.培養(yǎng)能力,三. 學好高等數(shù)學的主要學習方法,1. 高等數(shù)學的特點,2. 高等數(shù)學課的教學特點,3. 抓好六個學習環(huán)節(jié),高等數(shù)學的特點,（2）嚴密的邏輯性 在數(shù)學理論的歸納和整理中，無論是概念和表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規(guī)則，遵循思維的規(guī)律。所以說，數(shù)學也是一種思想方法，學習數(shù)學的過程就是思維訓練的過程。,（3）應用的廣泛性 現(xiàn)代數(shù)學正成為科技發(fā)展的強大動力，同時也廣泛和深入地滲透到了社會科學領(lǐng)域。,（1）高度的抽象性 深入地揭示事物的本質(zhì)規(guī)律，有更廣泛的應用。,高等數(shù)學課的教學特點,與中學數(shù)學的教學相比，有以下三個顯著的差別：,1.課堂大 80150人合班上課，一般不可能提問，同學之間在學習基礎(chǔ)、水平、理解能力上差異大。,2.時間長 每一次課一般是連續(xù)講授兩節(jié)課。,3.進度快 由于高等數(shù)學的內(nèi)容極為豐富，而學時又有限，因此，每次課要講授教材8-10頁。,抓好六個學習環(huán)節(jié),1、預習 閱讀教材，了解老師講課內(nèi)容，同時找出自己不懂的問題。使聽課時心中有底，不至于被動地跟著老師的“腳后跟”走。,2、聽課 帶著問題聽課！對自己不懂的地方（問題）要集中精力聽，聽老師如何提出問題的，如何分析問題的，如何解決問題的。要緊跟老師的思路，并積極思考。,3、記筆記 上課時將老師講授的重點、補充的內(nèi)容做必要的筆記，以便課后自學、復習。應當注意，書上有的不記。,“好記性不如爛筆頭”,4、復習 課后按老師講課的思路看教材，結(jié)合筆記，對教學內(nèi)容整理與小結(jié).,5、做作業(yè) 在復習與消化后，做練習冊上的有關(guān)習題。做題時要思考每題用到所學的哪些概念、定理、公式及方法，對常見題型整理，對各種解題方法小結(jié).,“學而時習之”,6、答疑 在學習中遇到疑問時，及時去請教老師或同學.,“三人行必有我?guī)煛?“溫故而知新”,四. 其他與教學相關(guān)的事項,1. 學習資源,(1) 教材、指導講義、練習冊,(2) 其他工科類的教材（如：同濟大學應用數(shù)學系主編高等數(shù)學 （第五、六版 上、下冊） ）及輔導書。,注意：指導講義（10元/本）、練習冊（10元/本）， 按自然班收齊后于今天下午2：30到春暉樓東11層 到數(shù)理系辦公室領(lǐng)取。, 高等數(shù)學、線性代數(shù)與幾何網(wǎng)址： /jpk2006/（主頁 教育教學 精品課程） 河北省精品課程 2008省級精品課程。,（3） 輔導答疑,10月1日以后，每周三晚上7：00-9：00答疑一次，,地點：一教的二樓教室休息室。,（4） 網(wǎng)上資料,2. 作業(yè)、考試,各小班上報數(shù)學課代表名單，每周三上課時由課代表收作業(yè).,作業(yè)在期末考試成績中占一定的比重。每次只批閱二分之一, 要求都要交作業(yè)。,課程名稱：高等數(shù)學(A)I 性質(zhì)：學位 學分： 4分 考核：閉卷考 2011分級教學班統(tǒng)一考試，統(tǒng)一判卷，試卷密封， 流水作業(yè)，公平公正！,3.幾個要求,（1） 上課前手機關(guān)機，準備好課本、筆記本、練習本和筆。 （2）上課時認真聽講，積極回答問題。 （3）課間多活動活動，各小班輪流值日擦黑板！ （4）課后帶好隨身物品。,第一章 微積分基礎(chǔ)知識 一元函數(shù)是主要的研究對象. 一元函數(shù)的極限和連續(xù)是高等數(shù)學中最基本的內(nèi)容，是一元函數(shù)微分學和積分學的理論基礎(chǔ).,1.1 集合 映射與初等函數(shù),一、集合 區(qū)間 鄰域,1. 集合及其表示、分類 2. 集合的關(guān)系與運算,自然數(shù)集,整數(shù)集,有理數(shù)集,實數(shù)集,(1) 閉區(qū)間 a, b = x | a x b ,(2) 開區(qū)間 (a, b) = x | a x b ,3. 區(qū)間,(a, b = x | a x b ；,a, b) = x | a x b ,(3) 半開半閉區(qū)間,(4) 無限區(qū)間,a, +) = x | x a ,( , b) = x | x b ,( , + ) = x | x + = x | xR ,(5) 區(qū)間長度,有限區(qū)間的長度 = 右端點值左端點值,所有無限區(qū)間的長度 = +,設(shè)a與R，且 0 ,稱數(shù)集 x | |x-a| 為點 a 的鄰域 ,記為U (a,). 點a 稱為鄰域中心, 稱為鄰域半徑.,點 a 的去心鄰域: x |0 |x-a| ,記作,x,4. 鄰域,二、函數(shù)的概念,設(shè) D 是 R 的一個非空數(shù)集.若對每個數(shù) x D,按照某種法則 f ,有唯一確定的 y R與之對應, 則稱 f 是從 D 到 R 的函數(shù),記為 y = f (x). 稱D 為定義域, x為自變量, y為因變量或函數(shù), f (D) = y | y = f (x), x D稱為函數(shù)的值域.,稱為函數(shù) f (x) 的圖象.它通常對應 著平面直角坐標系 xOy上的曲線.,1. 定義,(1) 解析法,(2) 列表法,(3) 圖象法,(4) 描述法,2. 函數(shù)的表示方法,如: 狄里克萊（Dirichlet）函數(shù).,(1)解析法：當函數(shù)的對應法則借助于數(shù)學式子給出時, 稱這種表示函數(shù)的方法為解析法.,(2)列表法：當函數(shù)的對應法則用含有自變量 x的值與函數(shù)f(x)的對應值的表格來表示, 則稱此表示函數(shù)的方法為列表法.,(3)圖象法：由圖象給出自變量 x與因變量 y 間的關(guān)系的方法稱為圖象法.,(4)描述法：有些函數(shù)不能用上述方法來表示,只能給予描述.,2. 函數(shù)的表示方法,幾個常見的函數(shù)：,在自變量的不同變化范圍中, 對應法則用不同的式子來表示的函數(shù), 稱為分段函數(shù).,3. 分段函數(shù),（1） 絕對值函數(shù) y = |x|.,（2） 符號函數(shù),（3） 取整函數(shù) y = x，,（4） 狄里克萊(Dirichlet)函數(shù),其中x表示不超過x的最大整數(shù).,這不是它的圖像,（5） 取最值函數(shù),常用的邏輯符號,表示“對于任意給定的”,表示“存在”或“能找到”,表示“推出”、“若，則”或“必要條件”,表示“推出”或“充分條件”,表示“等價”、“當且僅當”或“充要條件”,“任取”,或“對于任意的”,或“對于所有的” .,三、復合函數(shù)與反函數(shù),y 為因變量的函數(shù)，此函數(shù)稱為 y = f (u)與u = g(x)復合而成的復合函數(shù),1. 復合函數(shù),設(shè)有兩個函數(shù),記作,或,外函數(shù),內(nèi)函數(shù),中間變量,那么，就得到了一個以 x 為自變量,注意: 當且僅當,時，f 與 g才能復合.,例如, 函數(shù) :,函數(shù),但函數(shù)鏈,不能構(gòu)成復合函數(shù) .,可定義復合,復合函數(shù)的分解,將一個復雜的函數(shù)分解成一串簡單的函數(shù).,簡單的含義:,2. 最后一個函數(shù)可以是基本初等函數(shù)的四則運算.,3. 分解要徹底.,例如,1. 前幾個函數(shù)最好是基本初等函數(shù)；,例1 求下列復合函數(shù)的定義域，并指出復合過程：,練習？,設(shè)函數(shù)y = f (x) ，其定義域為D，值域為M如果對于 M 中的每一個值 y ，都可以從關(guān)系式 y = f (x) 確定唯一的值 x與之對應，這樣就確定了一個以 y 為自變量的函數(shù)，這個函數(shù)稱為 y = f (x)的反函數(shù),記為x = f -1(y). 而稱 y = f (x)為直接函數(shù) ,習慣上, 用x表示自變量， y 表示因變量對調(diào)x = f -1(y)中的 x與y. 因此函數(shù)的反函數(shù)可表示為 y = f -1(x),2. 反函數(shù),例2 討論函數(shù) y = x2的反函數(shù)。,注意: 并非每個函數(shù)都有反函數(shù)。,定理 嚴格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù). 嚴格單調(diào)增加的函數(shù)反函數(shù)必嚴格單調(diào)增加 ,嚴格單調(diào)減少的函數(shù)的反函數(shù)必嚴格單調(diào)減少.,四、函數(shù)的幾種特性,1. 有界性 設(shè)X為一實數(shù)集. 若 M0, xX ，都有 | f (x)| M 則稱函數(shù) f (x) 在X上有界. 如果這樣的 M 不存在, 稱函數(shù) f (x) 在X上無界.,M,M,幾何意義：f (x)在(a, b)內(nèi)有界就表示了f (x)的圖形夾在兩平行直線 y = M 之間.,例2 y=cos x 在其定義域內(nèi)是有界的，也稱它是有界函數(shù),例3 y=x 在其定義域內(nèi)是無界的，也稱它是無界函數(shù),例4 函數(shù) 在開區(qū)間 (0, 1) 內(nèi),注 討論函數(shù)的有界性，必須指明區(qū)間.,它在 (1, 2)內(nèi)是,有界的,是無界的;,2. 單調(diào)性 如果對于區(qū)間 I 內(nèi)的任意兩點 x1 及 x2 ，當 x1 x2時，恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) )，則稱函數(shù)f (x) 在I上單調(diào)增加(減少).,嚴格,討論函數(shù)的單調(diào)性，必須指明區(qū)間.,3. 奇偶性 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域D關(guān)于原點對稱，若對于任意 x D，有 f ( -x )= f (x) ，則稱函數(shù) f (x) 在 D上是偶函數(shù)； 若對于任意 x D,有f ( -x )= - f (x) ，則稱函數(shù) f (x)在D上是 奇函數(shù) 在幾何上, 偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱, 奇函數(shù)的圖象關(guān)于 原點對稱.,4. 周期性 設(shè)函數(shù)f (x)在數(shù)集D上有定義，若存在數(shù)T 0 ，對于任意 x D,且x +T D，都有 f ( x + T ) = f (x) , 則稱函數(shù) f (x)是周期函數(shù)，稱T為f (x)的周期. 使上式成立的最小正數(shù)稱為最小正周期通常我們所說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期.,周期為 ,周期為,注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函數(shù),五、基本初等函數(shù)與初等函數(shù),1. 基本初等函數(shù) 冪函數(shù), 指數(shù)函數(shù), 對數(shù)函數(shù), 三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).,(1) 冪函數(shù),(2). 指數(shù)函數(shù)：,它的定義域為(-,+).,當a 1時, 指數(shù)函數(shù)是嚴格單調(diào)增加的; 當1 a 0 時, 指數(shù)函數(shù)是嚴格單調(diào)減少的,(3). 對數(shù)函數(shù)：,它的定義域為(0, +).,當a1時, 對數(shù)函數(shù)是嚴格單調(diào)增加的; 當1 a 0時, 對數(shù)函數(shù)是嚴格單調(diào)減少的.,由于loga1=0, 所以對數(shù)函數(shù)的圖像總在y軸的右方,且通過點 (1, 0).,(4). 三角函數(shù):,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以 2為周期的周期函數(shù), 定義域都是(-, +), 值域都是閉區(qū)間-1, 1.正弦函數(shù)是奇函數(shù), 余弦函數(shù)是偶函數(shù),這兩個函數(shù)的值域都是(-,+),都是以為周期的周期函數(shù), 都是奇函數(shù),正切函數(shù)的定義域,余切函數(shù)的定義域,正割函數(shù)和余割函數(shù)都是以2為周期的周期函數(shù), 并且在開區(qū)間 內(nèi)都是無界函數(shù),(5). 反三角函數(shù)：,反正弦函數(shù)和反余弦函數(shù)的定義域都是閉區(qū)間-1, 1. 反正弦函數(shù)在-1,1上嚴格單調(diào)增加, 反余弦函數(shù)在-1,1上嚴格單調(diào)減少,注：sin2x不是基本初等函數(shù).,反正切函數(shù)與反余切函數(shù)的定義域都是(-, +). 反正切函數(shù)在定義域內(nèi)嚴格單調(diào)增加, 反余切函數(shù)在定義域內(nèi)嚴格單調(diào)減少,絕對值函數(shù),絕大多數(shù)分段函數(shù)不是初等函數(shù).只有