以解析函數(shù)的理論與方法研究平面電磁場.ppt

以解析函數(shù)的理論與方法研究平面電磁場,余毅聰 2003年12月,復變函數(shù)和電磁學這兩門課中一些重要的公式是很相似的，本文試圖在一定的程度上發(fā)掘其中的聯(lián)系。,主要想法,主要內(nèi)容,1 建立數(shù)學模型 2 根據(jù)模型推算基本定理 3 一些結論 4 二維場的保形變換,二維場數(shù)學模型,無窮長導線的磁場 如圖，將一根無窮長的直導線置于坐標原點，方向為Z軸方向。于是易得(x,y)點處的磁場分量為：,X,Y,I,r,B,現(xiàn)把Y-X平面視為復平面， z=x+iy, 并令：,立即得到：w,其中：,這里，很明顯地有：,同樣，對于電場，則有：,在以下的討論中，視 為二維電荷， 為二維磁荷。 并統(tǒng)一以符號 表示。,X,同樣得到一個復變函數(shù)具有性質：,高斯定理與環(huán)路定理,注意到對于上面的兩種情況，都有 是解析的，因為Cauchy-Riemman方程得到足：,取C為一條圍繞原點的簡單封閉曲線，如果原點處存在無限長的導線（或者帶電直線），則由留數(shù)定理可得：,于是解析函數(shù)的理論與方法有了用武之地！,比較實部虛部即得：,下面分析上面二式的意義。,(1),(2),對于圖重的曲線積分,積分微元是,于是,如果把w看作有兩個分量的矢量,可有,即得:,由,最后得到:,對于磁場的情況,上式即是我們熟悉的安培環(huán)路定理. 而(2)式的意義又何在呢?注意到:,如果我們定義:,則可以得到:,的幾何意義如圖所示.當把曲線看成是無限長的柱面的截線時, 即是曲面的法向量.上式的意義即可理解為是二維平面的高斯定理.,顯然,稍作推廣即可以得到: 1. 對于磁場中的任意簡單封閉曲線C,有,2,對于電場的情況,由于電場和磁場所對應的w僅僅相差一個常數(shù)i, 所以情況完全類似,僅僅只需要將上面兩式的右邊交換即可.這里就不作過多的討論了.,由解析的性質得到的一些結論,磁場和電場(以下僅稱場)的分布由邊界決定.,事實上,若w在邊界C上的值為已知,則對于區(qū)域內(nèi)部的一點Z,有,即是可以由邊界上的函數(shù)值計算內(nèi)部的值.,2 平均值公式.對于一個閉圓 如果其內(nèi)部沒有電流(或電荷),則場在圓心處的值,等于圓周上的平均值.,上式的依據(jù)是平均值公式,圓心處實部和虛部的值對應為圓周上的平均值,于是即有以上結論.事實上,泊松公式為我們提供了計算區(qū)域內(nèi)任何點場值的方法:,3 如果平面區(qū)域中沒有電荷或者沒有磁荷,則場的最大值只能在區(qū)域的邊界上取到.,4 平面場所有的電荷之和為0。,5 如果穿過平面上有電荷： ,且滿足: 則平面上一定存在場強為0的點.,證明: 射N根導線的坐標的復數(shù)為: 容易得到這個場對應的復函數(shù)w(z)為:,為證明結論,只需要證明函數(shù),在復平面上有非無窮遠點的根即可.,上連續(xù),且存在極限:,設C是位于D中的圓弧,半徑為R,則,2 輻角原理: 設f(z)在閉路C的內(nèi)部可能有有限多個極點,除去這些極點外, f(z)在C及其內(nèi)部解析,且在C上無零點,則有:,這里N,P分別為極點總數(shù)和零點總數(shù).,有了上面的引理,下面證明 所表示的函數(shù)在復平面上定有非無窮遠的根.事實上:,在通分之后,分子的最高次為(2N-2)次,分母的最高次為(2N-1)次,系數(shù)均為:,所以,成立:,利用引理1即得到:,再由引力理2,有:,又:,所以零點總是存在的! 即平面上總是存在一點場強為零. 對于 的情況,則是沒有一般結論.,如圖,如果蘭色代表正電,黃色代表負電,則在該場中是沒有電場為0的點的. 而在下面的這張圖中,顯然正方形的中心的場強為0.,磁場中情況完全類似,不再贅述.,保形變換的應用,保形變換是二維空間所特有的，應此利用保形變換處理平面的電磁場問題，一定會給我們帶來驚喜。 為此，先建立一套體系：,一個定義： 為這個平面場的“場函數(shù)” 為場函數(shù)的充分必要條件是它滿足高斯定理和安培環(huán)路定理，即是有：,場函數(shù)是這樣的函數(shù)，它在平面上存在場源的點的留數(shù)是電荷的值，其余點它取場的值的共軛 為討論方便，一切常數(shù)假定為1。,我們知道，一個保形變換將一個區(qū)域映照成為另一個區(qū)域，如果我們把區(qū)域上的每一個點都標上該處的電荷（磁荷），那么保形變換就把一個場分布變換成為另一種場分布，稱作“場的保形變換”。,一個定理： 設 為 的一個場的保形變換，場函數(shù)：,事實上，邊界對應定理保證了,即變換后得到的函數(shù)仍然滿足高斯定理和環(huán)路定理，即為新場的場函數(shù)。,一個結論： 對于靜電平衡的導體，在經(jīng)過場的保形變換后仍靜電平衡。 容易驗證在經(jīng)過場的保形變換后，對于所給定的一個點 等勢線的輻角改變量和所對應的場函數(shù)的輻角改變量皆是 仍然滿足靜電平衡的條件。,得到一種新的求解電場的方法，舉例如下：,黎曼定理斷言，對于任意的區(qū)域（非全平面），總是存在保形變換將任意單連通區(qū)域映照成為單位圓，所以這種方法是具有