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向量的范數(shù),例1 考慮下面的兩個(gè)線性方程組：,其解分別為：,和,在對(duì)方程組的解進(jìn)行誤差分析、討論解方程組的迭代法的收斂性以及討論方程組的“優(yōu)劣”時(shí)，需要利用向量與矩陣的范數(shù)的概念。,定義：設(shè)X=(x1,x2,xn)T Rn ,則定義:,(1)向量的2范數(shù)：,(2)向量的范數(shù)：,(3)向量的1范數(shù)：,定義 設(shè)向量XRn ,若X的實(shí)值函數(shù)N(X)=X,滿足條件:,(1)非負(fù)性: X0 ,且X=0的充要條件為X=0;,(2)齊次性: kX =|k |X, kR；,(3)三角不等式:對(duì)任意 X,YRn ,都有: X+YX+Y,則稱N(X)=X為Rn上的向量 X 的范數(shù)。,矩陣范數(shù)和條件數(shù),定義:設(shè)矩陣ARnn ,若A的實(shí)值函數(shù)N(A)=A,滿足條件:,(1)非負(fù)性: A0 ,且A=0當(dāng)且僅當(dāng) A=0;,(2)齊次性: A=| |A, R;,(3)三角不等式:A+BA+B;,(4)柯西施瓦茨不等式:ABAB.,則稱A為矩陣A的范數(shù).,定義：設(shè)向量XRn ,矩陣ARnn ,且給定一種向量范數(shù)Xp ,則稱,為由向量范數(shù)派生的矩陣算子范數(shù).,定理：設(shè)A=(aij)nn,則對(duì)應(yīng)于3種常見的向量范數(shù)，有3種矩陣范數(shù),列和的最大值,行和的最大值,是ATA的最大特征值，也稱為譜范數(shù),矩陣范數(shù)的一些性質(zhì)：,證：,x為A的特征向量,#證畢,定義：設(shè)A=(aij)nn,的特征值為r，定義A的譜半徑為：,條件數(shù)和病態(tài)矩陣,若矩陣A的條件數(shù)較大，則稱A為病態(tài)矩陣。,注意到,因?yàn)椋?條件數(shù),很小,條件數(shù)表示了對(duì)誤差的放大率,同樣，類似有,注：一般判斷矩陣是否病態(tài)，并不計(jì)算A1，而由經(jīng)驗(yàn)得出。 行列式很大或很?。ㄈ缒承┬?、列近似相關(guān)）； 元素間相差大數(shù)量級(jí)，且無規(guī)則； 主元消去過程中出現(xiàn)小主元； 特征值相差大數(shù)量級(jí)。,精確解為,A1 =,解：考察 A 的特征根,39

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