浙江專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.8曲線與方程講義含解析.docx

9.8曲線與方程最新考綱考情考向分析了解方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，會(huì)求簡(jiǎn)單的曲線的方程.以考查曲線的軌跡、軌跡方程為主.題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，題目為中檔題，有時(shí)也會(huì)在選擇、填空題中出現(xiàn).1.曲線與方程的定義一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟概念方法微思考1.f(x0，y0)0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件嗎？提示是.如果曲線C的方程是f(x，y)0，則曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足f(x，y)0，以f(x，y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)也都在曲線C上，故f(x0，y0)0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件.2.方程y與xy2表示同一曲線嗎？提示不是同一曲線.3.若點(diǎn)P到直線x1的距離比它到點(diǎn)(2，0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡是什么圖形？提示依題意知，點(diǎn)P到直線x2的距離等于它到點(diǎn)(2，0)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是拋物線.4.曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系是怎樣的？提示曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系(1)兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解，兩條曲線就沒(méi)有交點(diǎn).題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)方程x2xyx的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線.()(2)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2y2.()(3)ykx與xy表示同一直線.()(4)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的.()題組二教材改編2.P37T3已知點(diǎn)F，直線l：x，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是()A.雙曲線B.橢圓C.圓D.拋物線答案D解析由已知|MF|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線.3.P35例1曲線C：xy2上任一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之積為_(kāi).答案2解析在曲線xy2上任取一點(diǎn)(x0，y0)，則x0y02，該點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之積為|x0|y0|x0y0|2.4.P37B組T1若過(guò)點(diǎn)P(1，1)且互相垂直的兩條直線l1，l2分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi).答案xy10解析設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x，0)，(0，2y)，連接PM，l1l2.|PM|OM|，而|PM|，|OM|.，化簡(jiǎn)，得xy10，即為所求的軌跡方程.題組三易錯(cuò)自糾5.方程(2x3y1)(1)0表示的曲線是()A.兩條直線B.兩條射線C.兩條線段D.一條直線和一條射線答案D解析原方程可化為或10，即2x3y10(x3)或x4，故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線.6.已知M(1，0)，N(1，0)，|PM|PN|2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A.雙曲線B.雙曲線左支C.一條射線D.雙曲線右支答案C解析由于|PM|PN|MN|，所以D不正確，應(yīng)為以N為端點(diǎn)，沿x軸正向的一條射線.7.已知M(2，0)，N(2，0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是_.答案x2y24(x2)解析連接OP，則|OP|2，P點(diǎn)的軌跡是去掉M，N兩點(diǎn)的圓，方程為x2y24(x2).題型一定義法求軌跡方程例1已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程.解由已知得圓M的圓心為M(1，0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r242|MN|.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為1(x2).思維升華定義法求軌跡方程(1)在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程.(2)利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看軌跡是不是完整的曲線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制.跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，|BC|4，ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，且|BD|CD|2，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi).答案1(x)解析以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，E，F(xiàn)分別為兩個(gè)切點(diǎn).則|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.所以|AB|AC|2).題型二直接法求軌跡方程例2已知拋物線C：y22x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：ARFQ；(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.(1)證明由題意知，F(xiàn)，設(shè)l1：ya，l2：yb，則ab0，且A，B，P，Q，R.記過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x(ab)yab0.由于F在線段AB上，故1ab0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k1bk2.所以ARFQ.(2)解設(shè)過(guò)AB的直線為l，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1，0)，則SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由題意可得|ba|，所以x11或x10(舍去).設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y).當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kABkDE可得(x1).而y，所以y2x1(x1).當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，滿足方程y2x1.所以所求軌跡方程為y2x1.思維升華直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性.通常將步驟簡(jiǎn)記為建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性.跟蹤訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(a，b)為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，已知F1PF2為等腰三角形.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M是直線PF2上的點(diǎn)，滿足2，求點(diǎn)M的軌跡方程.解(1)設(shè)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)(c0).由題意，可得|PF2|F1F2|，即2c，整理得2210，得1(舍去)或，所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得橢圓方程為3x24y212c2，直線PF2的方程為y(xc).A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c，代入直線方程得不妨設(shè)A，B(0，c).設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則，(x，yc).由y(xc)，得cxy.于是，(x，x)，由2，即xx2.化簡(jiǎn)得18x216xy150.將y代入cxy，得c0.所以x0.因此，點(diǎn)M的軌跡方程是18x216xy150(x0).題型三相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程例3(2018麗水調(diào)研)如圖所示，拋物線E：y22px(p0)與圓O：x2y28相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.過(guò)劣弧AB上動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點(diǎn)，分別以C，D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)M.(1)求p的值；(2)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.解(1)由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，代入y22px，解得p1.(2)由(1)知拋物線E：y22x.設(shè)C，D，y10，y20，切線l1的斜率為k，則切線l1：yy1k，代入y22x，得ky22y2y1ky0，由0，解得k，l1的方程為yx，同理l2的方程為yx.聯(lián)立解得易知CD的方程為x0xy0y8，其中x0，y0滿足xy8，x02，2，由得x0y22y0y160，則代入可得M(x，y)滿足可得代入xy8，并化簡(jiǎn)，得y21，考慮到x02，2，知x4，2，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y21，x4，2.思維升華“相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.跟蹤訓(xùn)練3如圖，動(dòng)圓C1：x2y2t2，1t3與橢圓C2：y21相交于A，B，C，D四點(diǎn).點(diǎn)A1，A2分別為C2的左、右頂點(diǎn)，求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.解由橢圓C2：y21，知A1(3，0)，A2(3，0).設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，由曲線的對(duì)稱性，得B(x0，y0)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，直線AA1的方程為y(x3).直線A2B的方程為y(x3).由相乘得y2(x29).又點(diǎn)A(x0，y0)在橢圓C2上，故y1.將代入得y21(x3，y0).因此點(diǎn)M的軌跡方程為y21(x3，y6時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，故選C.4.設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若2，且1，則點(diǎn)P的軌跡方程是()A.x23y21(x0，y0)B.x23y21(x0，y0)C.3x2y21(x0，y0)D.3x2y21(x0，y0)答案A解析設(shè)A(a，0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，所以即ax0，b3y0.由題意得，點(diǎn)Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.將a，b代入axby1得所求的軌跡方程為x23y21(x0，y0).故選A.5.在ABC中，B(2，0)，C(2，0)，A(x，y)，給出ABC滿足的條件，就能得到動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程.下表給出了一些條件及方程：條件方程ABC周長(zhǎng)為10C1：y225ABC面積為10C2：x2y24(y0)ABC中，A90C3：1(y0)則滿足條件，的軌跡方程依次為()A.C3，C1，C2B.C1，C2，C3C.C3，C2，C1D.C1，C3，C2答案A解析ABC的周長(zhǎng)為10，即|AB|AC|BC|10，又|BC|4，所以|AB|AC|6|BC|，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為橢圓，與C3對(duì)應(yīng)；ABC的面積為10，所以|BC|y|10，即|y|5，與C1對(duì)應(yīng)；因?yàn)锳90，所以(2x，y)(2x，y)x2y240，與C2對(duì)應(yīng).故選A.6.(2015浙江)如圖，斜線段AB與平面所成的角為60，B為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足PAB30，則點(diǎn)P的軌跡是()A.直線B.拋物線C.橢圓D.雙曲線的一支答案C解析可構(gòu)造如圖所示的圓錐.母線與中軸線夾角為30，然后用平面去截，使直線AB與平面的夾角為60，則截口為P的軌跡圖形，由圓錐曲線的定義可知，P的軌跡為橢圓.故選C.7.已知兩定點(diǎn)A(2，0)，B(1，0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積為_(kāi).答案4解析設(shè)P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的軌跡為以(2，0)為圓心，2為半徑的圓.即軌跡所包圍的圖形的面積等于4.8.直線1與x，y軸交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡方程是_.答案xy1(x0且x1)解析直線1與x，y軸的交點(diǎn)為A(a，0)，B(0，2a)，設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x，y)，則x，y1，消去a，得xy1.因?yàn)閍0且a2，所以x0且x1.9.已知圓的方程為x2y24，若拋物線過(guò)點(diǎn)A(1，0)，B(1，0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程是_.答案1(y0)解析設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，過(guò)A，B，O作準(zhǔn)線的垂線AA1，BB1，OO1，則|AA1|BB1|2|OO1|4，由拋物線定義得|AA1|BB1|FA|FB|，所以|FA|FB|42，故F點(diǎn)的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)).10.如圖，P是橢圓1(ab0)上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_.答案1解析由于，又22，設(shè)Q(x，y)，則，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有1，即1.11.已知定圓M：(x3)2y216和圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn)A，點(diǎn)P是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，線段PA的垂直平分線l交直線PM于點(diǎn)Q.(1)討論Q點(diǎn)的軌跡可能是下面情形中的哪幾種：橢圓；雙曲線；拋物線；圓；直線；一個(gè)點(diǎn).(2)若定點(diǎn)A(5，0)，試求QMA的面積的最大值.解(1)由題意知|QP|QA|，當(dāng)A在圓M外時(shí)，|MA|4，且|QA|QM|PM|4|MA|，所以Q點(diǎn)的軌跡是以M，A為焦點(diǎn)的雙曲線，見(jiàn)圖(1).當(dāng)A在圓M內(nèi)，且與M不重合時(shí)，|MA|MA|，所以Q點(diǎn)的軌跡是以M，A為焦點(diǎn)的橢圓，見(jiàn)圖(2).當(dāng)A在圓M上時(shí)，l過(guò)定點(diǎn)M，l與PM的交點(diǎn)Q就是點(diǎn)M，所以點(diǎn)Q的軌跡就是一個(gè)點(diǎn)，見(jiàn)圖(3).當(dāng)A與M重合時(shí)，l與PM的交點(diǎn)Q就是PM的中點(diǎn)，所以點(diǎn)Q的軌跡就是圓，見(jiàn)圖(4).綜上所述，Q點(diǎn)的軌跡可能是四種.(2)因?yàn)锳(5，0)在圓M內(nèi)，由(1)知，點(diǎn)Q的軌跡是以M，A為焦點(diǎn)的橢圓，且|MA|22c，|MP|42a，所以b，由橢圓的幾何性質(zhì)可知，Q為短軸端點(diǎn)時(shí)，SMQA最大，所以SMQA的最大值為2cb.12.(2018浙江省普通高中高考模擬考試)已知拋物線C：x22py(p0)過(guò)點(diǎn)M(2，4).(1)求拋物線C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)P(1，1)的直線l交拋物線C于P1，P2兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段P1P2上，且滿足，求點(diǎn)Q的軌跡方程.解(1)把點(diǎn)M(2，4)代入拋物線C：x22py(p0)得48p，所以p，所以拋物線C的方程為x2y.(2)顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y1k(x1).聯(lián)立，得消去y得x2kx(k1)0，所以k24(k1)0，所以k22.設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Q(x，y)，則x1x2k，x1x2k1，又點(diǎn)P1，P2，Q均在直線l上，所以y1k(x1)，y11k(x11)，y21k(x21).由得，即.又(x11)(x21)x1x2x1x21k1k120，點(diǎn)Q在線段P1P2上，所以x11，x21，x1均同號(hào)，所以，所以x21，yk(x1)1.由得k(x1)，代入得y12x，所以2xy10(x1).又k22，所以x(1，1)，且x1.所以點(diǎn)Q的軌跡方程為2xy10，x(1，1)(1，1).13.若曲線C上存在點(diǎn)M，使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(5，0)，B(5，0)距離之差的絕對(duì)值為8，則稱曲線C為“好曲線”.以下曲線不是“好曲線”的是()A.xy5B.x2y29C.1D.x216y答案B解析M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(5，0)，B(5，0)距離之差的絕對(duì)值為8，M的軌跡是以A(5，0)，B(5，0)為焦點(diǎn)的雙曲線，方程為1.A項(xiàng)，直線xy5過(guò)點(diǎn)(5，0)，故直線與M的軌跡有交點(diǎn)，滿足題意；B項(xiàng)，x2y29的圓心為(0，0)，半徑為3，與M的軌跡沒(méi)有交點(diǎn)，不滿足題意；C項(xiàng)，1的右頂點(diǎn)為(5，0)，故橢圓1與M