2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章定積分3定積分的簡單應(yīng)用教案（含解析）北師大版.docx

3定積分的簡單應(yīng)用 如圖問題1：圖中陰影部分是由哪些曲線圍成？提示：由直線xa，xb和曲線yf(x)和yg(x)圍成問題2：你能求得其面積嗎？如何求？提示：能，先求由xa，xb和yf(x)圍成的曲邊梯形面積S1f(x)dx，再求由xa，xb和yg(x)圍成的曲邊梯形面積S2g(x)dx，則所求陰影部分面積為S1S2.平面圖形的面積一般地，設(shè)由曲線yf(x)，yg(x)以及直線xa，xb所圍成的平面圖形的面積為S，則Sf(x)dxg(x)dx，f(x)g(x)定積分在幾何中的簡單應(yīng)用主要是求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形確定被積函數(shù)以及積分上、下限不分割型圖形面積的求解例1求由拋物線yx24與直線yx2所圍成圖形的面積思路點撥畫出草圖，求出直線與拋物線的交點，轉(zhuǎn)化為定積分的計算問題精解詳析由得或所以直線yx2與拋物線yx24的交點為(3，5)和(2,0)，設(shè)所求圖形面積為S，根據(jù)圖形可得S(x2)dx (x24)dx.一點通求由曲線圍成圖形面積的一般步驟：(1)根據(jù)題意畫出圖形；(2)求交點，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)；(4)將面積用定積分表示；(5)用牛頓萊布尼茲公式計算定積分，求出結(jié)果1由直線x，x，y0與曲線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()A.B1C. D.解析：選D結(jié)合函數(shù)圖像可得所求的面積是定積分cos xdxsin x.2直線y4x與曲線yx3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為()A2 B4C2 D4解析：選D由4xx3，解得x0或x2或x2(舍去)，根據(jù)定積分的幾何意義可知，直線y4x與曲線yx3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為 (4xx3)dx4.3計算由曲線y2x，yx3所圍成的圖形的面積S.解：作出曲線y2x，yx3的草圖，所求面積為如圖中的陰影部分的面積解方程組得交點的橫坐標(biāo)x0，x1，因此所求圖形面積為Sdxx3dxxx4.分割型圖形面積的求解例2求由曲線xy1及直線xy，y3所圍成平面圖形的面積思路點撥作出直線和曲線的草圖，可將所求圖形的面積轉(zhuǎn)化為兩個曲邊梯形面積的和，通過計算定積分來求解，注意確定積分的上、下限精解詳析作出曲線xy1，直線xy，y3的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積求交點坐標(biāo)：由得故A；由得或(舍去)，故B(1,1)；由得故C(3,3)，故所求面積SS1S2dx (3x)dx(3xln x) 4ln 3.一點通由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)間內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所變化，通過解方程組求出曲線的交點坐標(biāo)后，可以將積分區(qū)間進(jìn)行細(xì)化分段，然后根據(jù)圖形對各個區(qū)間分別求面積進(jìn)而求和，在每個區(qū)間上被積函數(shù)均是由圖像在上面的函數(shù)減去下面的函數(shù)4由曲線ysin x，ycos x與直線x0，x所圍成的平面圖形(如下圖中的陰影部分)的面積是()A1 B.C. D22解析：選DS(cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x)(1)(1)22.5求由曲線yx2和直線yx及y2x所圍成的平面圖形的面積解：由得A(1,1)，由得B(2,4)，如圖所示所求面積為S2xdxxdx2xdxx2dx(2xx)dx(2xx2)dxxdx(2xx2)dxx2.簡單幾何體的體積的求解例3求拋物線y2x2與直線xa(a0)及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積精解詳析由a0，各曲線圍成的平面圖形如圖陰影部分所示，V(2x2)2dx4x4dx4x5a5.一點通求旋轉(zhuǎn)體的體積的步驟：建立平面直角坐標(biāo)系確定旋轉(zhuǎn)曲線函數(shù)f(x)確定積分上、下限a，b.計算體積Vf2(x)dx.6ysin x(0x)和x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為()A2 B42C.2 D.解析：選DVsin2xdxdx.7給定一個邊長為a的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個幾何體，則它的體積為_解析：以正方形的一個頂點為原點，兩邊所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則BC的方程：ya.則該旋轉(zhuǎn)體即圓柱的體積為：a2dxa2xa3.答案：a31求由曲線圍成的圖形的面積時，若積分變量選取x運算較為復(fù)雜，可以選y為積分變量，同時更改積分的上、下限2由曲線yf(x)，直線xa，xb(ab)以及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為Vf2(x)dx. 1曲線ycos x(0x2)與直線y1圍成的封閉圖形的面積是()A4B.C3 D2解析：選D如圖，求曲線ycos x(0x2)與直線y1圍成圖形的面積可根據(jù)余弦函數(shù)圖像的對稱性轉(zhuǎn)化為求由直線y0，y1，x0，x2圍成的矩形的面積故選D.2如果用1 N的力能將彈簧拉長1 cm，為了將彈簧拉長6 cm，所耗費的功為()A0.18 J B0.26 JC0.12 J D0.28 J解析：選A設(shè)F(x)kx，當(dāng)F1 N時，x0.01 m，則k100.W100xdx50x20.18 (J)3曲線yx22x與直線x1，x1及x軸所圍成圖形的面積為()A2 B.C. D.解析：選AS (x22x)dx (x22x)dx2.4.如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為()A. B.C. D.解析：選C陰影部分的面積為 (x)dx，故所求的概率P，故選C.5.如圖是一個質(zhì)點做直線運動的v t圖像，則質(zhì)點在前6 s內(nèi)的位移為_ m.解析：直線OA的方程為yx，直線AB的方程為yx9，故質(zhì)點在前6 s內(nèi)的位移為x dxdxx2639(m)答案：96.如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_解析：因為函數(shù)yex與函數(shù)yln x互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線yx對稱，又因為函數(shù)yex與直線ye的交點坐標(biāo)為(1，e)，所以陰影部分的面積為2(e1exdx)2e2ex2e(2e2)2，由幾何概型的概率計算公式，得所求的概率P.答案：7求拋物線yx24x3及其在點A(1,0)和點B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積解：由y2x4得在點A，B處切線的斜率分別為2和2，則兩直線方程分別為y2x2和y2x6，由得兩直線交點坐標(biāo)為C