均值-方差分析方法.ppt

,均值-方差分析方法,一、均值-方差分析的一般性釋義,（一）問題的提出 Markowitz(1952)發(fā)展了一 個在不確定條件下嚴格陳述的 可操作的資產(chǎn)組合選擇理論： 均值-方差方法 Mean-Variance methodology.,馬科維茨(H. Markowitz, 1927) 證券組合選擇理論,馬科維茨投資組合選擇理論的基本思想為：投資組合是一個風險與收益的trade-off問題，投資組合通過分散化的投資來對沖掉一部分風險。 “Nothing ventured, nothing gained” “For a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk to maximize the return” “Dont put all eggs into one basket”,一、均值-方差分析的一般性釋義,（一）馬科維茨均值-方差組合理論 1、基本內(nèi)容： 在禁止融券和沒有無風險借貸的假設下，以資產(chǎn)組合中個別資產(chǎn)收益率的均值和方差找出投資組合的有效前沿(Efficient Frontier)，即一定收益率水平下方差最小的投資組合，并導出投資者只在有效組合前沿上選擇投資組合。 欲使投資組合風險最小，除了多樣化投資于不同的資產(chǎn)之外，還應挑選相關系數(shù)較低的資產(chǎn)。,一、均值-方差分析的一般性釋義,2、 均值-方差組合選擇的實現(xiàn)方法： （1）收益證券組合的期望報酬 （2）風險證券組合的方差 （3）風險和收益的權衡求解二次規(guī)劃,一、均值-方差分析的一般性釋義,首先，投資組合的兩個相關特征： （1）它的期望回報率（均值）; （2）可能的回報率圍繞其期望偏離程度的某種度 量，其中方差作為一種度量在分析上是最易于處 理的. 其次，理性的投資者將選擇并持有有效率投資組 合，即那些在給定的風險水平下的期望回報最大 化的投資組合，或者那些在給定期望回報率水平 上使風險最小化的投資組合.,一、均值-方差分析的一般性釋義,再次，通過對某種資產(chǎn)的期望回報率、回報率的方差和某一資產(chǎn)與其它資產(chǎn)之間回報率的相互關系（用協(xié)方差度量）這三類信息的適當分析，辨識出有效投資組合在理論上是可行的。 最后，通過求解二次規(guī)劃，可以算出有效投資組合的集合，計算結果指明各種資產(chǎn)在投資者的投資中所占份額，以便實現(xiàn)投資組合的有效性即對給定的風險使期望回報率最大化，或對于給定的期望回報使風險最小化。,一、均值-方差分析的一般性釋義,3、幾個基本概念 （1）證券投資組合的選擇：如何構筑各種有價證券的頭寸（包括多頭和空頭）來最好地符合投資者的收益和風險的權衡 （2）無差異曲線：對一個特定的投資者而言，任意給定一個證券組合，根據(jù)他對期望收益率和風險的偏好態(tài)度，按照期望收益率對風險補償?shù)囊螅梢缘玫揭幌盗袧M意程度相同的（無差異）證券組合。所有這些組合在均值方差（或標準差）坐標系中形成一條曲線，這條曲線就稱為該投資者的一條無差異曲線。 Return,一、均值-方差分析的一般性釋義,（二）均值-方差分析的含義 一個隨機變量的概率分布可以用一些數(shù)值特征矩來描述： 一階原點矩均值（數(shù)學期望） 二階中心矩方差 均值和方差是同一隨機變量在同一時期運動軌跡的不同統(tǒng)計值，分別用于對金融活動收益與風險的衡量,一、均值-方差分析的一般性釋義,均值-方差分析的含義是：投資者的效用函數(shù)由資產(chǎn)的收益和風險決定，用簡化的數(shù)學方式表示即投資者的效用函數(shù)僅包括均值和方差兩個自變量。 期望收益率的衡量：以均值來衡量，是指在未來不確定情況下對投資收益率所有可能的取值的加權平均。其權數(shù)為相應的概率值。 風險的衡量：以方差來衡量，是未來收益率的所有可能取值對期望收益率的偏離的加權平均。權數(shù)仍然為相應的概率值。 標準差：也反映未來收益率的所有可能取值對期望收益率的偏離程度。,一、均值-方差分析的一般性釋義,1、均值的性質 （1）均值的穩(wěn)定性：以漂移率來衡量均值的固定性 （2）均值的確定性：均值作為一階矩，加總時不會相互抵消，具有確定性 （3）均值的隨機性：本身具有一定的隨機性 （4）均值的相關性：均值具有記憶效應,一、均值-方差分析的一般性釋義,2、方差的性質： （1）方差的相關性：協(xié)方差 （2）方差的對稱性。與均值發(fā)生相同幅度的正偏離或負偏離，方差是一致的。 （3）方差的穩(wěn)定性： 方差的固定性：在維納過程或標準布朗運動中，方差率為1； 方差的穩(wěn)定變化：在一般維納過程和普通布朗運動中，方差率為b； 方差的非穩(wěn)定變化：在伊藤過程中，方差率與其它資產(chǎn)價格和時間有關，隨這兩個因素而變動。 Return,一、均值-方差分析的一般性釋義,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,（一）單項資產(chǎn)的投資風險與期望收益 1、不確定條件下的期望收益（均值）：各種可能結果的期望值（通常用E(X)表示），即所有可能的收益值與其發(fā)生的概率的乘積。 離散型概率分布的期望值： 其中，Xi為隨機事件的值，P(Xi)為隨機事件i發(fā)生的概率,例1：現(xiàn)有S和U兩項資產(chǎn)收益率概率分布情況如下表所示: 資產(chǎn)的收益狀況 資產(chǎn)的收益率 經(jīng)濟狀況 概 率 S U 繁榮 0.2 0.25 0.05 適度增長 0.3 0.20 0.10 緩慢增長 0.3 0.15 0.15 衰退 0.2 0.10 0.20 S、U兩資產(chǎn)的期望收益率分別為： E(RS)0.2X0.25+0.3X0.20+0.3X0.15+0.2X0.1017.5 E(RU)=0.2X0.05+0.3X0.10+0.3X0.15+0.2X0.2612.5,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,2、單項資產(chǎn)的風險：被定義為實際現(xiàn)金流收益對其預期現(xiàn)金流收益的背離 用方差來描述和衡量風險:一個證券在該時期的方差是未來收益可能值對期望收益率的偏離（通常稱為離差）的平方的加權平均，權數(shù)是相應的可能值的概率。即,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,上例：S、U兩資產(chǎn)收益率的方差分別計算如下：,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,小結 對于單個證券的持有者而言： 收益指標：期望收益 風險指標：標準差或方差 Return,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,（二）組合資產(chǎn)的風險與期望收益 資產(chǎn)組合的期望收益是構成組合的每一資產(chǎn)收益率的加權平均，以構成比例為權重。 每一資產(chǎn)對組合的預期收益率的貢獻依賴于它的預期收益率，以及它在組合初始價值中所占份額，而與其他一切無關。,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,1、組合資產(chǎn)的收益 （1）兩種證券形成的投資組合的收益率的測定 投資者將資金投資于A、B兩種證券，其投資比重分別為XA和XB，XA+XB=1，則兩證券投資組合的預期收益率Rp等于每個預期收益率的加權平均數(shù)，即： E（Rp）= XA E（RA） +XBE（RB） 其中：Rp代表兩種證券投資組合預期收益率； RA、RB分別代表A、B兩種證券的預期收益率,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,例：下表是投資于國庫券、股票兩種證券的一個組合，假定其投資比例各占一半，計算兩種證券投資組合的收益率。 RP=1/210%+1/210%=10%,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,（2）多種證券投資組合收益率的測定 證券投資組合的預期收益率就是組成該組合的各種證券的預期收益率的加權平均數(shù)，權數(shù)是投資于各種證券的資金占總投資額的比例，即： Rp代表證券投資組合的預期收益率； Xi是投資于證i券的資金占總投資額的比例或權數(shù)； Ri是證券i的預期收益率； n是證券組合中不同證券的總數(shù)。,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,例：用下表中的數(shù)據(jù)計算證券投資組合的預期收益率,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,解：（1）各種證券的預期收益率如下： （2）各種證券投資組合的預期收益率： Return,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,2、組合資產(chǎn)的風險 （1）兩種證券組合的風險測定 協(xié)方差：兩種證券收益變動相互關系的指標 若以A、B兩種證券組合為例，則其協(xié)方差為： 其中，XA代表證券A的收益率；XB代表證券B的收益率； E(XA)代表證券A的收益率的期望值；E(XB)代表證券B的收益率的期望值； AB代表A、B兩種證券收益率的協(xié)方差。,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,注： 協(xié)方差0，則兩種證券的回報率正相關 協(xié)方差0，則兩種證券的回報率負相關 協(xié)方差=0，則兩種證券沒有任何互動關系,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量, 相關系數(shù)（測量兩種股票收益共同變動的趨勢） ：協(xié)方差的標準化 相關系數(shù)的符號取決于協(xié)方差的符號： ，兩個變量負相關 ，完全負相關 ，兩個變量完全不相關 ，兩個變量正相關 ， 完全正相關,在 -1和 +1之間的相關性可減少風險但不是全部,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,兩證券組合的方差：表示組合的實際收益率偏離組合期望收益率的程度，以此來反映組合風險的大小。其公式為： 組合投資的風險不僅與組合中各個證券的風險有關，還與各證券在組合中所占的比重以及證券之間的相互關系有關。 因而可以通過選擇組合中的證券和調(diào)整組合中證券的比重來改變組合的風險狀況，即資產(chǎn)組合選擇理論。,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,思考： 1、不同的相關系數(shù)是否表明資產(chǎn)組合的風險大?。?。即資產(chǎn)組合的風險最大 。資產(chǎn)組合的風險最小 。資產(chǎn)組合的風險小于成分資產(chǎn)完全正相關時 2、一個無風險資產(chǎn)與一個風險資產(chǎn)構成的組合的標準差有什么特征？ 該組合的標準差等于風險資產(chǎn)的標準差乘以該組合投資于這部分風險資產(chǎn)的比例。,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,例：利用前表的資料計算兩種證券投資組合的風險： 解： （1）計算單一證券的標準差 （2）計算兩種證券投資組合的協(xié)方差：,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,（3）計算相關系數(shù)： （4）計算兩種證券投資組合的方差和標準差： 國庫券的收益率與股票的收益率之間存在著完全的負相關關系,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,小結：影響證券投資組合風險的因素： （1）每種證券所占的比例 （2）證券收益率的相關性 當兩種證券投資組合的相關系數(shù)為1時，證券組合能否達到組合效應的目的？如不是，則組合的相關系數(shù)應該為多少？ （3）每種證券的標準差 組合后的風險如果還是等同于各種證券的風險，是否達到組合效應的目的？,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,例：假設 ，投資于這兩種證券的比例為XA=XB=50%，證券組合的方差為： 1、完全正相關（ ） 2、完全負相關（ ）,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,3、完全不相關（ ） 當 時，兩證券組合風險最小， 通過 ，令 ，XB=1-XA， 可得A證券的最佳比例為：,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,前例中，國庫券的投資比例如果為： 代入兩種證券投資組合標準差的計算公式得：,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,(2)多種證券投資組合風險與收益 多種證券投資組合的收益公式為：,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,證券組合的風險： 其中， 代表第i種和第j種證券在證券投資組合中所占的比重； 代表第i種和第j種證券的協(xié)方差。 用矩陣表示為： 其中 稱為方差-協(xié)方差矩陣： Return,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,（三）資產(chǎn)組合的風險分散效應：通過資產(chǎn)組合減弱和消除個別風險對投資收益的影響。 證明：假定資產(chǎn)1在組合中的比重是w，則資產(chǎn)2的比重就是1-w。它們的期望收益率和收益率的方差分別記為E(X1)和E(X2)，21和22，組合的預期收益率和收益率的方差則記為E(X)和2。那么，,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,因為-112+1，所以有 w1-(1-w) 222w1+(1-w) 22 即組合的標準差不會大于標準差的組合。 事實上，只要121，就有， w1+(1-w) 2, 即資產(chǎn)組合的標準差就會小于單個資產(chǎn)標準差的加權平均數(shù)，這意味著只要資產(chǎn)的變動不完全一致，單個有高風險的資產(chǎn)就能組成單個有中低風險的資產(chǎn)組合，這就是投資分散化的原理。,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,隨著組合中資產(chǎn)數(shù)目的增加，組合收益的方差將越來越依賴于協(xié)方差。若這個組合中的所有資產(chǎn)不相關，即當隨證券數(shù)目增加，這個組合的方差將為零（保險原則）。 風險分散的根本原因在于資產(chǎn)組合的方差項中個別風險的影響在資產(chǎn)數(shù)目趨于無窮時趨于零。 當n趨于無窮時，方差項：,風險不能完全被 消除的原因是？,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,風險不可能完全消除（系統(tǒng)風險存在）：資產(chǎn)組合的方差項中的協(xié)方差（反映各項資產(chǎn)間的相互作用）項在資產(chǎn)數(shù)目趨于無窮時不趨于零。 當n趨于無窮時，協(xié)方差項：,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,相關結論： 1、資產(chǎn)組合的方差是以協(xié)方差矩陣各元素與投資比例為權重相乘的加權平均總值。它與各資產(chǎn)的方差有關外，還與各資產(chǎn)間的協(xié)方差和相關系數(shù)有關。 2、資產(chǎn)組合的期望收益可以通過對各種單項資產(chǎn)加權平均得到，但風險卻不能通過各項資產(chǎn)風險的標準差的加權平均得到(這只是組合中成分資產(chǎn)間的相關系數(shù)為1且成分資產(chǎn)方差相等，權重相等時的特例情況)。,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,3、在資產(chǎn)方差或標準差給定下，組合的每對資產(chǎn)的相關系數(shù)越高，組合的方差越高。 只要每兩種資產(chǎn)的收益間的相關系數(shù)小于1，組合的標準差一定小于組合中各種證券的標準差的加權平均數(shù)。 如果每對資產(chǎn)的相關系數(shù)為完全負相關即為1且成分證券方差和權重相等時，則可得到一個零方差的投資組合。但由于系統(tǒng)性風險不能消除，所以這種情況在實際中是不存在的。,二、資產(chǎn)組合的風險與收益衡量,例：給定三種證券的方差協(xié)方差矩陣以及各證券占組合的比例如下，計算組合方差： XA=0.5，XB=0.3，XC=