函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂(2).ppt

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性,*第六節(jié),一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性,及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),第十二章,冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的性質(zhì)類似于多項(xiàng)式,但一般函數(shù),項(xiàng)級(jí)數(shù)則不一定有這么好的特點(diǎn).,例如, 級(jí)數(shù),每項(xiàng)在 0,1 上都連續(xù),其前 n 項(xiàng)之和為,和函數(shù),該和函數(shù)在 x1 間斷.,一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性,因?yàn)閷θ我?x 都有:,所以它的收斂域?yàn)?(, +) ,但逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù),其一般項(xiàng)不趨于0,所以對任意 x 都發(fā)散 .,又如, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),問題: 對什么樣的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)才有:,逐項(xiàng)連續(xù),和函數(shù)連續(xù);,逐項(xiàng)求導(dǎo) = 和函數(shù)求導(dǎo);,逐項(xiàng)積分 = 和函數(shù)積分,定義.,設(shè) S(x) 為,若對,都有一個(gè)只依賴于 的自然數(shù) N ,使,當(dāng)n N 時(shí), 對區(qū)間 I 上的一切 x 都有,則稱該級(jí)數(shù)在區(qū)間 I 上一致收斂于和函數(shù)S(x) .,在區(qū)間 I 上的和函數(shù),任意給定的 0,顯然, 在區(qū)間 I 上,一致收斂于和函數(shù)S(x),部分和序列,一致收斂于S(x),余項(xiàng),一致收斂于 0,幾何解釋 : (如圖),當(dāng)n N 時(shí),曲線,總位于曲線,之間.,例1.,研究級(jí)數(shù),在區(qū)間 0, +) 上的收斂性.,解:,余項(xiàng)的絕對值:,因此, 任給 0,取自然數(shù),則當(dāng)n N 時(shí)有,這說明級(jí)數(shù)在 0, +) 上一致收斂于,例2.,證明級(jí)數(shù),在 0,1 上不一致收斂 .,證:,取正數(shù),對無論多么大的正數(shù) N ,因此級(jí)數(shù)在 0, 1 上不,一致收斂 .,說明:,對任意正數(shù) r 1,級(jí)數(shù)在 0, r 上一致收斂 .,事實(shí)上, 因?yàn)樵?0, r 上,任給 0,欲使,只要,因此取,只要,即級(jí)數(shù)在 0, r 上一致收斂 .,維爾斯特拉斯(Weierstrass) 判別法,用一致收斂定義判別級(jí)數(shù)的一致收斂性時(shí), 需求出,這往往比較困難.,下面介紹一個(gè)較方便的,判別法.,若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在區(qū)間 I 上滿足:,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在區(qū)間 I 上一致收斂 .,由條件2), 根據(jù)柯西審斂原理,當(dāng),n N 時(shí),對任意正整數(shù) p , 都有,由條件1), 對 x I , 有,故函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在區(qū)間 I 上一致收斂 .,證畢,證:,若冪級(jí)數(shù),的收斂半徑 R 0 ,則此級(jí),數(shù)在 (R, R ) 內(nèi)任一閉區(qū)間 a , b 上一致收斂 .,證:,則對 a , b 上的一切 x , 都有,由阿貝爾定理(第三節(jié)定理1) 級(jí)數(shù),絕對收斂 ,由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立.,說明: 若冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)收斂,則一致收斂,區(qū)間可包含此端點(diǎn).,證畢,推論.,證明級(jí)數(shù),在(, +) 上 一致收斂 .,證:,而級(jí)數(shù),收斂,由維爾斯特拉斯判別法知所給級(jí)數(shù),在 (, +) 上 一致收斂 .,例3.,維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級(jí)數(shù)的一致收,斂性,而且能判別其絕對收斂性.,當(dāng)不易觀察到不等式,可利用導(dǎo)數(shù)求,例如, 級(jí)數(shù),用求導(dǎo)法可得,已知,收斂,因此原級(jí)數(shù)在0, +) 上一致收斂 .,說明:,定理1.,若級(jí)數(shù),證:,只需證明,由于,二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),因?yàn)榧?jí)數(shù),一致收斂于S (x) ,使當(dāng) n N 時(shí), 有,對這樣選定的 n ,從而必存在 0 ,從而得,證畢,(1) 定理1 表明, 對一致收斂的級(jí)數(shù),極限運(yùn)算與無限,求和運(yùn)算可交換,即有,(2) 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí), 定理結(jié)論不一定成立.,例如, 級(jí)數(shù),在區(qū)間 0 , 1 上處處收斂,而其和函數(shù),在 x = 1 處不連續(xù) .,說明:,定理2.,若級(jí)數(shù),則該級(jí)數(shù)在 a, b 上可逐項(xiàng)積分,且上式右端級(jí)數(shù)在 a, b 上也一致收斂 .,證: 因?yàn)?所以只需證明對任意,一致有,根據(jù)級(jí)數(shù)的一致收斂性,使當(dāng),n N 時(shí), 有,于是, 當(dāng) n N 時(shí), 對一切,有,因此定理結(jié)論正確.,證畢,說明:,若級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí), 定理結(jié)論不一定成立.,例如, 級(jí)數(shù),它的部分和,因此級(jí)數(shù)在 0 , 1 上,收斂于 S (x) = 0 ,所以,但是,為什么對級(jí)數(shù)定理結(jié)論不成立?,分析它是否滿足,定理2 條件.,級(jí)數(shù)的余項(xiàng),可見級(jí)數(shù)在 0, 1 上不一致收斂 ,此即定理2 結(jié)論,對級(jí)數(shù)不成立的原因.,定理3.,若級(jí)數(shù),且可逐項(xiàng)求導(dǎo), 即,證:,先證可逐項(xiàng)求導(dǎo).,根據(jù)定理2,上式兩邊對 x 求導(dǎo), 得,再證,根據(jù)定理 2 ,而,所以,級(jí)數(shù)一致收斂并不保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo).,例如, 例3中的級(jí)數(shù),說明:,在任意區(qū)間上都一致收斂,但求導(dǎo)后的級(jí)數(shù),其一般項(xiàng)不趨于 0,所以對任意 x 都發(fā)散 .,證畢,例4.,證明函數(shù),對任意 x 有連續(xù)導(dǎo)數(shù).,解:,顯然所給級(jí)數(shù)對任意 x 都收斂 ,且每項(xiàng)都有連續(xù),導(dǎo)數(shù),而逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù),故級(jí)數(shù)在 (,+),上一致收斂,故由定理3可知,再由定理1可知,定理4 . 若冪級(jí)數(shù),的收斂半徑,則其和函,在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與,逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同,即,證: 關(guān)于和函數(shù)的連續(xù)性及逐項(xiàng)可積的結(jié)論由維爾斯,特拉斯判別法的推論及定理 1, 2 立即可得 .,下面證明逐項(xiàng)可導(dǎo)的結(jié)論:,證:,則,由比值審斂法知級(jí)數(shù),故,故存在 M 0 , 使得,由比較審斂法可知,上一致收斂,故原級(jí)數(shù),內(nèi)任一閉區(qū)間,上滿足定理3條件,從而可逐項(xiàng)求導(dǎo),即知,再證級(jí)數(shù),的收斂半徑,由前面的證明可知,若將冪級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)的收斂半徑不會(huì)縮小,因逐項(xiàng)積分所得,冪級(jí)數(shù),(R, R ) 內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),且有,其收斂半徑都為 R .,推論.,的和函數(shù) S (x) 在收斂區(qū)間,證畢,德國數(shù)學(xué)家.,他的主要貢獻(xiàn)是在函數(shù),論及分析學(xué)方面.,1854年, 他解決了橢圓,