函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)(55).ppt

2019/7/6,1,第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),第十二章,兩類問題:,在收斂域內(nèi),和函數(shù),本節(jié)內(nèi)容:,一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù),二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),2019/7/6,2,一、泰勒級(jí)數(shù),其中,( 在 x 與 x0 之間),稱為拉格朗日余項(xiàng) .,則在,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù),此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :,（Taylor series）,2019/7/6,3,為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù) .,則稱,當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù) .,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),待解決的問題 :,1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 其收斂域是什么 ？,2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?,2019/7/6,4,各階導(dǎo)數(shù),則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù),f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:,證明:,令,設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域,內(nèi)具有,定理1,2019/7/6,5,若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù), 則這種展開式是,唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.,證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為,則,顯然結(jié)論成立 .,定理2,2019/7/6,6,二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),1. 直接展開法,由泰勒級(jí)數(shù)理論可知,第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;,第二步 寫出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ;,第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi),是否為0.,驟如下 :,展開方法,直接展開法, 利用泰勒公式,間接展開法, 利用已知其級(jí)數(shù)展開式,的函數(shù)展開,(Expanding to power series),2019/7/6,7,展開成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,其收斂半徑為,對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足,故,( 在0與x 之間),故得級(jí)數(shù),例1 將函數(shù),2019/7/6,8,展開成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,得級(jí)數(shù):,其收斂半徑為,對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足,例2 將,2019/7/6,9,類似可推出:,2019/7/6,10,展開成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m,為任意常數(shù) .,解: 易求出,于是得 級(jí)數(shù),由于,級(jí)數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂.,因此對(duì)任意常數(shù) m,例3 將函數(shù),2019/7/6,11,可以證明，,上式稱為二項(xiàng)展開式 .,注：,(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .,(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.,由此得,2019/7/6,12,對(duì)應(yīng),的二項(xiàng)展開式分別為,2019/7/6,13,利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例4 將函數(shù),展開成 x 的冪級(jí)數(shù).,解: 因?yàn)?把 x 換成, 得,將所給函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).,2. 間接展開法,2019/7/6,14,展開成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,從 0 到 x 積分, 得,定義且連續(xù),域?yàn)?利用此題可得,上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂,例5 將函數(shù),2019/7/6,15,展成,解:,的冪級(jí)數(shù).,例6 將,2019/7/6,16,內(nèi)容小結(jié),1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法,(1) 直接展開法, 利用泰勒公式 ;,(2) 間接展開法, 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開,2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,式的函數(shù) .,2019/7/6,17,當(dāng) m = 1 時(shí),2019/7/6,18,思考與練習(xí),1. 函數(shù),處 “有泰勒級(jí)數(shù)” 與 “能展成泰勒級(jí),數(shù)” 有何不同 ?,提示: 后者必需證明