傅里葉變換與系統(tǒng)的頻域分析(1).ppt

第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù) 一、正交函數(shù)集 二、信號(hào)分解為正交函數(shù) 4.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 一、周期信號(hào)的分解 二、奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 4.3 周期信號(hào)的頻譜 一、周期信號(hào)的頻譜 二、周期矩形脈沖的頻譜 三、周期信號(hào)的功率 4.4 非周期信號(hào)的頻譜 一、傅里葉變換 二、奇異函數(shù)的傅里葉變換,點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié),4.5 傅里葉變換的性質(zhì) 一、線性 二、奇偶性 三、對(duì)稱性 四、尺度變換 五、時(shí)移特性 六、頻移特性 七、卷積定理 八、時(shí)域微分和積分 九、頻域微分和積分 十、相關(guān)定理 4.6 能量譜和功率譜 一、能量譜 二、功率譜,第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,4.7 周期信號(hào)的傅里葉變換 一、正、余弦函數(shù)的傅里葉變換 二、一般周期函數(shù)的傅里葉變換 三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換 4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析 一、頻率響應(yīng) 二、無(wú)失真?zhèn)鬏?三、理想低通濾波器的響應(yīng) 4.9 取樣定理 一、信號(hào)的取樣 二、時(shí)域取樣定理 三、頻域取樣定理,點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié),4.10 序列的傅里葉分析 一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS) 二、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉 變換(DTFT) 4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì) 一、離散傅里葉變換(DFT) 二、離散傅里葉變換的性質(zhì),第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年3月21日生于 歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。 1807年向巴黎科學(xué)院呈交熱的傳播論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。 1822年在代表作熱的分析理論中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問(wèn)題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對(duì)19世紀(jì)數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。（傅里葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅里葉積分、傅里葉變換，這些統(tǒng)稱為傅里葉分析。）其他貢獻(xiàn)有：最早使用定積分符號(hào)，改進(jìn)了代數(shù)方程符號(hào)法則的證法和實(shí)根個(gè)數(shù)的判別法等。,傅里葉簡(jiǎn)介,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),一、矢量正交與正交分解,時(shí)域分析的要點(diǎn)是，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf (t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)e jt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域分析。,矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義： 其內(nèi)積為0。即,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為正交矢量集。,如三維空間中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。,例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量A =(2，5，8)，可以用一個(gè)三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間：在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集,1. 定義：,定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù) 1(t)和 2(t),若滿足,(兩函數(shù)的內(nèi)積為0),則稱 1(t)和 2(t) 在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。,2. 正交函數(shù)集：,若n個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足,則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)上的正交函數(shù)集。,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),3. 完備正交函數(shù)集：,如果在正交函數(shù)集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在任何函數(shù) (t)(0）滿足,則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。,例如：三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。,( i =1，2，n),4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),三、信號(hào)的正交分解,設(shè)有n個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可表示為 f(t)C11+ C22+ Cnn,問(wèn)題：如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。,通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為：,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),為使上式最?。ㄏ禂?shù)Cj變化時(shí)），有,展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫(xiě)為：,即：,所以系數(shù),4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),代入，得最小均方誤差,在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有,上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾方程（公式），表明：在區(qū)間(t1,t2)， f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。,函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),4.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù),一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式,設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為T(mén)，角頻率=2/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù) 稱為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)。,系數(shù)an , bn稱為傅里葉系數(shù)。,可見(jiàn)， an 是n的偶函數(shù)， bn是n的奇函數(shù)。,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),式中，A0 = a0,上式表明：周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。 其中， A0/2為直流分量； A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同； A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波。,可見(jiàn)An是n的偶函數(shù)， n是n的奇函數(shù)。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),例1：將圖示方波信號(hào)f(t)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。,解：,考慮到=2/T，可得：,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),4.2 傅里葉級(jí)數(shù),4.2 傅里葉級(jí)數(shù),4.2 傅里葉級(jí)數(shù),4.2 傅里葉級(jí)數(shù),二、波形的對(duì)稱性與諧波特性,1 .f(t)為偶函數(shù)對(duì)稱縱坐標(biāo),bn =0，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。,2 .f(t)為奇函數(shù)對(duì)稱于原點(diǎn),an =0，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。,實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),3 .f(t)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2),此時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即：a0=a2=b2=b4=0,4 .f(t)為偶諧函數(shù)f(t) = f(tT/2),此時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即 a1=a3=b1=b3=0,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式,三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。可從三角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2,上式中第三項(xiàng)的n用n代換，A n=An， n= n， 則上式寫(xiě)為,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),令A(yù)0=A0 e j0 e j0t ，0=0,所以,令復(fù)數(shù),稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。 Fn 是頻率為n的分量的系數(shù)，F(xiàn)0 = A0/2為直流分量。,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),例2：求如圖所示周期信號(hào)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。,解：,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)為：,4.3 周期信號(hào)的頻譜,4.3 周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn),一、信號(hào)頻譜的概念,從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫(huà)出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。 周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將An和n的關(guān)系分別畫(huà)在以為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫(huà)|Fn|和n的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫(huà)Fn 。,4.3 周期信號(hào)的頻譜,例：周期信號(hào) f(t) = 試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率，畫(huà)出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。,解 首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)f(t)的表達(dá)式，即,顯然1是該信號(hào)的直流分量。,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角頻率=2/T = /12 根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為 P=,4.3 周期信號(hào)的頻譜,是f(t)的/4/12 =3次諧波分量；,是f(t)的/3/12 =4次諧波分量；,畫(huà)出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：,4.3 周期信號(hào)的頻譜,二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn),舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T(mén)，如圖所示。求頻譜。,令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）,4.3 周期信號(hào)的頻譜, n = 0 ,1，2，,Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T = 4畫(huà)圖。,零點(diǎn)為,特點(diǎn)： (1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。,4.3 周期信號(hào)的頻譜,譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：,(a) T一定，變小，此時(shí)（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 (b) 一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),三、周期信號(hào)的功率Parseval等式,含義：直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功 率之和。,周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為,表明：對(duì)于周期信號(hào)，在時(shí)域中求得的信號(hào)功率與在 頻域中求得的信號(hào)功率相等。,4.4 傅里葉變換,4.4 非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換,一、傅里葉變換,非周期信號(hào)f(t)可看成是周期T時(shí)的周期信號(hào)。 前已指出當(dāng)周期T趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線間隔趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。 為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令,(單位頻率上的頻譜）,稱F(j)為頻譜密度函數(shù)。,4.4 傅里葉變換,考慮到：T，無(wú)窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而,同時(shí)， ,于是，,傅里葉變換式“-”,傅里葉反變換式“+”,F(j)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜。 f(t)稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。,根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù),4.4 傅里葉變換,也可簡(jiǎn)記為,F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j) 或 f(t) F(j),F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),說(shuō)明： (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù) f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:,(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分,4.4 傅里葉變換,二、常用函數(shù)的傅里葉變換,單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et(t)， 0,2. 雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0,4.4 傅里葉變換,3. 門(mén)函數(shù)(矩形脈沖),4. 沖激函數(shù)(t)、(t),4.4 傅里葉變換,5. 常數(shù)1,有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近f (t) ，即,而fn(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所形成的序列Fn(j)是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F (j)為,這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。,4.4 傅里葉變換,構(gòu)造 f(t)=e-t ， 0,所以,又,因此， 12(),另一種求法： (t)1代入反變換定義式，有,將t，t-,再根據(jù)傅里葉變換定義式，得,6. 符號(hào)函數(shù),4.4 傅里葉變換,7. 階躍函數(shù)(t),構(gòu)造,4.4 傅里葉變換,歸納記憶：,1. F 變換對(duì),2. 常用函數(shù) F 變換對(duì)：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t| (t),1,1,2(),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),一、線性(Linear Property),Proof:,then,If,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example F( j) = ?,Ans: f (t) = f1(t) g2(t),f1(t) = 1 2(),g2(t) 2Sa(), F( j) = 2() - 2Sa(),-,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),二、奇偶性(Parity),If f(t) is real, then,So that,(1) R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = () (2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX(),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),三、對(duì)稱性(Symmetrical Property),If f (t) F(j) then,Proof:,（1）,in (1) t ，t then,（2）,in (2) - then, F( jt) 2f () end,F( jt ) 2f (),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example, F(j) = ?,Ans:,if =1,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),四、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property),If f (t) F(j) then,where “a” is a nonzero real constant.,Proof:,F f (a t ) =,For a 0 ,F f (a t ) ,for a 0 ,F f (a t ) ,That is ,f (a t ) ,Also,letting a = -1,f (- t ) F( -j),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example,f(t) = F(j) = ?,Ans:,Using symmetry,using scaling property with a = -1,so that,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),五、時(shí)移性質(zhì)(Time shifting Property),If f (t) F(j) then,where “t0” is real constant.,Proof: F f (t t0 ) ,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example F(j) = ?,f1(t) = g6(t-5) , f2(t) = g2(t-5),g6(t - 5) ,g2(t - 5) , F(j) =,+,Ans: f (t) = f1(t) + f2(t),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example,Given that f (t)F( j), find f (at b) ?,Ans: f (t b),e -jb F( j),f (at b) ,or,f (at) ,f (at b) =,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),六、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property),If f (t) F(j) then,Proof:,where “0” is real constant.,F e j0t f(t),= F j(-0) end,For example 1,f(t) = ej3t F(j) = ?,Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 2,f(t) = cos0t F(j) = ?,Ans:,F(j) = (-0)+ (+0),For example 3,Given that f(t) F(j),The modulated signal f(t) cos0t ?,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),七、卷積定理(Convolution Property),1、Convolution in time domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),2、Convolution in frequency domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j),Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),Proof:,Using time shifting,So that,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example,Ans:,Using symmetry,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),八、時(shí)域的微分和積分 (Differentiation and Integration in time domain),If f (t) F(j) then,Proof:,f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(-1)(t)= (t)*f(t) ,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),f(t)= 1/t2 ?,For example 1,Ans:,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 2,Given that f (t) F1(j) Proof,f (t) F1(j) + f(-)+ f()(),Proof,So,Summary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 3,Determine f (t) F (j),Ans:,f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2),F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2,F (j) =,Notice:,d(t)/dt = (t) 1,(t) 1/(j),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),九、頻域的微分和積分 (Differentiation and Integration in frequency domain),If f (t) F(j) then,(jt)n f (t) F(n)( j),where,For example 1,Determine f(t) = t(t) F (j)=?,Ans:,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),Notice: t(t) =(t) * (t) ,Its wrong. Because ()() and (1/j)() is not defined.,For example 2,Determine,Ans:,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),十、相關(guān)定理(Correlation Theorem),If,then,Proof:,兩個(gè)信號(hào)相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于其中一個(gè)信號(hào)的傅里葉變換與另一信號(hào)傅里葉變換的共軛之乘積，這就是相關(guān)定理。對(duì)自相關(guān)函數(shù)：,4.6 能量譜和功率譜,4.6 能量譜和功率譜,一、能量譜,1. 信號(hào)能量的定義：時(shí)間（-, ）區(qū)間上信號(hào)的能量。,信號(hào)(電壓或電流)f(t)在1電阻上的瞬時(shí)功率為|f(t)|2, 在區(qū)間（-T, T）的能量為,如果信號(hào)能量有限，即0E，信號(hào)稱為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。例如門(mén)函數(shù)，三角形脈沖，單邊或雙邊指數(shù)衰減信號(hào)等。,證明:,4.6 能量譜和功率譜,2. 帕斯瓦爾方程（能量方程）：,4.6 能量譜和功率譜,在頻帶df內(nèi)信號(hào)的能量為E () df，因而信號(hào)在整個(gè)頻率區(qū)間（-, ）的總能量為：,上式與帕斯瓦爾公式進(jìn)行比較可知，能量密度譜E () 為：,3. 能量密度譜E ()： (Energy-density Spectrum),為了表征能量在頻域中的分布情況，可以借助于密度的概念，定義一個(gè)能量密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為能量頻譜或能量譜。 能量頻譜E ()定義為單位頻率的信號(hào)能量。,解:,4.6 能量譜和功率譜,由相關(guān)定理：,信號(hào)的能量譜E () 與自相關(guān)函數(shù)R()是一對(duì)傅里葉變換,信號(hào)的能量譜E () 是的偶函數(shù)，它只取決于頻譜函數(shù)的模量，而與相位無(wú)關(guān)。單位：Js。,4.6 能量譜和功率譜,二、功率譜,由信號(hào)能量和功率的定義可知，若信號(hào)能量E有限，則P=0；若信號(hào)功率P有限，則E=。,1. 信號(hào)功率：定義為時(shí)間（-, ）區(qū)間上信號(hào)f(t)的 平均功率，用P表示。,如果信號(hào)功率有限，即0P，信號(hào)稱為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)。如階躍信號(hào)，周期信號(hào)等。,如果f(t)為實(shí)函數(shù)，則,4.6 能量譜和功率譜,功率有限信號(hào)的能量趨于無(wú)窮大，即,從f(t)中截取|t|T/2的一段，得到一個(gè)截尾函數(shù)fT(t)，它可以表示為：,如果T是有限值，則fT(t)的能量也是有限的。令,fT(t)的能量ET可表示為：,由于,4.6 能量譜和功率譜,f(t)的平均功率為：,當(dāng)T增加時(shí)，fT(t)的能量增加，|FT(j) |2也增加。當(dāng)T時(shí)， fT(t) f(t) ，此時(shí)|FT(j) |2 /T可能趨于一極限。,比較得：,2. 功率密度譜：類似于能量密度譜，定義功率密度譜 函數(shù)P () 為單位頻率的信號(hào)功率。從而平均功率：,4.6 能量譜和功率譜,信號(hào)的功率譜P () 是的偶函數(shù)，它只取決于頻譜函數(shù)的模量，而與相位無(wú)關(guān)。單位：Ws。,自相關(guān)函數(shù)：,3. 功率密度譜與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系：,若f1(t)和f2(t)是功率有限信號(hào)，此時(shí)相關(guān)函數(shù)的定義為：,4.6 能量譜和功率譜,兩邊取傅里葉變換，得：,比較前面推導(dǎo)：,功率有限信號(hào)的功率譜函數(shù)P () 與自相關(guān)函數(shù)R()是一對(duì)傅里葉變換。,4.7 周期信號(hào)的傅里葉變換,4.7 周期信號(hào)傅里葉變換,一、正、余弦的傅里葉變換,12() 由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)= (e j 0 t + e j 0 t)/2 (0 ) +(+0 ) sin(0t)= (e j 0 t + e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 ),4.7 周期信號(hào)傅里葉變換,二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換,例1：周期為T(mén)的單位沖激周期函數(shù)T(t)=,解：,(1),4.7 周期信號(hào)傅里葉變換,例2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。,解：周期信號(hào)f(t)也可看作一時(shí)限非周期信號(hào)f0(t)的周期拓展。即,f(t) = T(t)* f0(t),F(j) = () F0(j),F(j) =,本題 f0(t) = g2(t),(2),(2)式與上頁(yè)(1)式比較，得,這也給出求周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的另一種方法。,4.7 復(fù)習(xí)：傅里葉變換,歸納記憶：,1. F 變換對(duì),2. 常用函數(shù) F 變換對(duì)：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t| (t),1,1,2(),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。,對(duì)周期信號(hào)：,對(duì)非周期信號(hào)：,其基本信號(hào)為 ej t,一、基本信號(hào)ej t作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng),說(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)?，)，而t= 總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫(xiě)為y(t)。,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率的基本信號(hào)ej t時(shí)，其響應(yīng),而上式積分 正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j )，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。所以：,y(t) = H(j ) ej t,H(j )反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。,y(t) = h(t)* ej t,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,二、一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng),ej t,H(j ) ej t,F(j ) d ej t,F(j )H(j ) d ej t,齊次性,可加性,f(t),y(t) =F 1F(j )H(j ) ,Y(j ) = F(j )H(j ),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,頻率響應(yīng)H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即,H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；()稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。H(j)是的偶函數(shù)，()是的奇函數(shù)。,頻域分析法步驟：,傅里葉變換法,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,對(duì)周期信號(hào)還可用傅里葉級(jí)數(shù)分析法：,周期信號(hào),若,則可推導(dǎo)出,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和()如圖， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。,解法一：用傅里葉變換,F(j) = 4() + 4(5) + (+5) + 4(10) + (+10),Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5) + 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) ,H(j)=H(j)e j(),= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) ,y(t) = F-1Y(j) = 2 + 2sin(5t),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,解法二：用三角傅里葉級(jí)數(shù)分析法求解,f(t)的基波角頻率 =5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t),H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,三、頻率響應(yīng)H(j)的求法,1. H(j) = F h(t),2. H(j) = Y(j)/F(j) 由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。 由電路直接求出。,例1：某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-t(t)時(shí)的響應(yīng)y(t)。,解：微分方程兩邊取傅里葉變換,jY(j) + 2Y(j) = F(j),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,f(t) = e-t(t),Y(j) = H(j)F(j),y(t) = (e-t e-2t )(t),例2：如圖電路，R=1，C=1F，以u(píng)C(t)為輸出，求其h(t)。,解：畫(huà)電路頻域模型,h(t)= e-t (t),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,四、無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波,系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類：一類是信號(hào)的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則要求濾去或削弱不需要的成分，必然伴隨著失真。,1、無(wú)失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒(méi)有波形上的變化。即 輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽?，輸出信?hào)應(yīng)為 y(t) = K f(ttd) 其頻譜關(guān)系為 Y(j)=Ke jtdF(j),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏?，?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是： (a)對(duì)h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b)對(duì)H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即 H(j)=K ,()= td,上述是信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)是，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。,(2)無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件：,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(j)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)時(shí)，不產(chǎn)生失真的是,(A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,2、理想低通濾波器,具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。c稱為截止角頻率。 理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫(xiě)為：,(1)沖激響應(yīng),h(t)= -1g 2 c()e-jtd =,可見(jiàn)，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng) (why?)。,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,(2)階躍響應(yīng),g(t)=h(t)*(t)=,經(jīng)推導(dǎo)，可得,稱為正弦積分,特點(diǎn)：有明顯失真，只要c，則必有振蕩，其過(guò)沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截?cái)嘈?yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。,gmax=0.5+Si()/=1.0895,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,3、物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件,就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t0時(shí)必須為0，即 h(t)=0 ,t0 即 響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前出現(xiàn)。 就頻域特性來(lái)說(shuō)，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿足,并且,稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件） 從該準(zhǔn)則可看出，對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點(diǎn)上為0，但不能在某個(gè)有限頻帶內(nèi)為0。,4.9 取樣定理,4.9 取樣定理,取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號(hào)的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)?？梢哉f(shuō)，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。,一、信號(hào)的取樣,所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。 這樣得到的離散信號(hào)稱為取樣信號(hào)。,4.9 取樣定理,如圖一連續(xù)信號(hào)f(t),用取樣脈沖序列s(t)(開(kāi)關(guān)函數(shù)）進(jìn)行取樣，取樣間隔為T(mén)S，fS =1/TS稱為取樣頻率。,得取樣信號(hào) fS(t) = f(t)s(t),取樣信號(hào)fS(t)的頻譜函數(shù)為 FS( j)=(1/2)F( j)*S( j),4.9 取樣定理,沖激取樣,若s(t)是周期為T(mén)s的沖激函數(shù)序列Ts(t),則稱為沖激取樣。,如果f(t) 是帶限信號(hào) 即f(t)的頻譜只在區(qū)間（- m，m)為有限值，而其余區(qū)間為0 。,設(shè)f(t)F(j)，取樣信號(hào)fS(t)的頻譜函數(shù),FS(j)= (1/2)F(j)* S s(),S =2/TS,s(t)=Ts(t) S s(),4.9 取樣定理,=,*,=,上面在畫(huà)取樣信號(hào)fS(t)的頻譜時(shí)，設(shè)定S 2m ,這時(shí)其頻譜不發(fā)生混疊，因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)，從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復(fù)原信號(hào)f(t)。否則將發(fā)生混疊，而無(wú)法恢復(fù)原信號(hào)。,4.9 取樣定理,二、時(shí)域取樣定理,當(dāng)S 2m 時(shí)，將取樣信號(hào)通過(guò)下面的低通濾波器,其截止角頻率C取m C S -m 。即可恢復(fù)原信號(hào)。,由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t),H(j) h(t) =,為方便，選C = 0.5S ,則TsC /=1,4.9 取樣定理,所以,根據(jù)f(t)=fS(t)*h(t) ，有,只要已知各取樣值f(nTs),就出唯一地確定出原信號(hào)f(t)。,時(shí)域取樣定理： 一個(gè)頻譜在區(qū)間（-m，m)以外為0的帶限信號(hào)f(t),可唯一地由其在均勻間隔Ts Ts1/(2fm) 上的樣值點(diǎn)f(nTs)確定。,注意：為恢復(fù)原信號(hào)，必須滿足兩個(gè)條件：（1）f(t)必須是帶限信號(hào)；（2）取樣頻率不能太低，必須fs2fm，或者說(shuō)，取樣間隔不能太大，必須Ts1/(2fm);否則將發(fā)生混疊。,通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率，把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。,頻域取樣定理： 根據(jù)時(shí)域與頻域的對(duì)偶性，可推出頻域取樣定理。 一個(gè)在時(shí)域區(qū)間（-tm,tm)以外為0的時(shí)限信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fsfs1/(2tm)上的樣值點(diǎn)F( jns)確定。,4.9 取樣定理,例1 有限頻帶信號(hào)f1(t)的最高頻率為m1( fm1 ) ，f2(t)的最高頻率為m2 ( fm2 ) ，對(duì)下列信號(hào)進(jìn)行時(shí)域抽樣，試求使頻譜不發(fā)生混疊的奈奎斯特頻率fs與奈奎斯特間隔Ts。,4.9 取樣定理,4.9 取樣定理,解：,所以，奈奎斯特頻率為：,奈奎斯特周期為：,4.9 取樣定理,所以，奈奎斯特頻率為：,奈奎斯特周期為：,4.9 取樣定理,所以，奈奎斯特頻率為：,奈奎斯特周期為：,4.9 取樣定理,所以，奈奎斯特頻率為：,奈奎斯特周期為：,4.9 取樣定理,所以，奈奎斯特頻率為：,奈奎斯特周期為：,例2,4.9 取樣定理,解：,4.9 取樣定理,由對(duì)稱性可知：,所以：,此外：,4.9 取樣定理,所以：,4.10 序列的傅里葉分析,4.10 序列的傅里葉分析,一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）,具有周期性的離散時(shí)間信號(hào)可以表示為fN(k),其下標(biāo)N表示其周期為N，即有,對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)，周期信號(hào)fT(t) 可以分解為一系列角頻率為n(n=1, 1, 2, ) 的虛指數(shù)e jnt (其中=2/T為基波角頻率)之和。 類似地，周期為N的序列fN(k)也可展開(kāi)為許多虛指數(shù)e jnk=e jn（2/N）k （其中=2/N 為基波數(shù)字角頻率）之和。,4.10 序列的傅里葉分析,需要注意的是，這些虛指數(shù)序列滿足,即它們也是周期為N的周期序列。,因此，周期序列fN(k)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式僅為有限項(xiàng)（N項(xiàng)），若取其第一個(gè)周期n=0,1,2,N-1，則fN(k) 的展開(kāi)式可寫(xiě)為,4.10 序列的傅里葉分析,稱為離散傅里葉系數(shù)。,稱為周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)。,為書(shū)寫(xiě)方便，令,并用DFS表示離散傅里葉系數(shù)（正變換），以IDFS表示離散傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式（逆變換），則有,4.10 序列的傅里葉分析,例1：求圖示周期脈沖序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。,解：,取求和范圍為0,3,4.10 序列的傅里葉分析,所以，離散傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為,4.10 序列的傅里葉分析,二、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換 (DTFT),與連續(xù)時(shí)間信號(hào)類似，周期序列fN(k)在周期N時(shí)，將變成非周期序列f(k),同時(shí)FN(n)的譜線間隔(2 /N)趨于無(wú)窮小，成為連續(xù)譜。,當(dāng)N時(shí)，n n( 2/N)趨于連續(xù)變量(數(shù)字角頻率,單位為rad)。定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform, DTFT) 為:,可見(jiàn)，非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換F(e j)是的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2。通常它是復(fù)函數(shù)，可表示為：,4.10 序列的傅里葉分析,定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉逆變換為: (Inverse Discrete Time Fourier Transform, IDTFT),通常用以下符號(hào)表示對(duì)序列f(k)求離散時(shí)間傅里葉正變換和逆變換:,離散時(shí)間傅里葉變換存在的充分條件是f(k)要滿足絕對(duì)可和，即,4.10 序列的傅里葉分析,例2：求下列序列的離散時(shí)間傅里葉變換。,解：,4.10 序列的傅里葉分析,幅頻特性和相頻特性分別為,4.10 序列的傅里葉分析,f2(k)的頻率特性為:,4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì),4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì),離散信號(hào)分析和處理的主要手段是利用計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)，然而序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)是連續(xù)函數(shù)，而其逆運(yùn)算為積分運(yùn)算，因此，無(wú)法直接用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。顯然，要在數(shù)字計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)這些變換，必須把連續(xù)函數(shù)改換為離散數(shù)據(jù)，同時(shí)，把求和范圍從無(wú)限寬收縮到一個(gè)有限區(qū)間。 離散傅里葉級(jí)數(shù)變換(DFS)無(wú)論在時(shí)域還是在頻域，只對(duì)N項(xiàng)求和，故可以用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算?？梢越柚x散傅里葉級(jí)數(shù)的概念，把有限長(zhǎng)序列作為周期性離散信號(hào)的一個(gè)周期來(lái)處理，從而定義了離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)。,4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì),一、離散傅里葉變換（DFT）,設(shè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列f(k)的區(qū)間為0,N-1，其余各處皆為零。即,為了引用周期序列的有關(guān)概念，我們將有限長(zhǎng)序列f(k)延拓乘周期為N的周期序列fN(k)，即,或者把有限長(zhǎng)序