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9 關(guān)于實(shí)數(shù)的連續(xù)性 與完備性的進(jìn)一步 討論,單調(diào)有 界定理,確 界 定 理,閉區(qū)間 套定理,有限覆 蓋定理,列緊性 定 理,Cauchy 收斂定理,等價(jià)定理可相互證明,定義9.1 （集合的聚點(diǎn)）,則稱(chēng) 為 的聚點(diǎn).,等價(jià)的敘述:,都含有 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則稱(chēng) 為 的聚點(diǎn).,定理9.1 (聚點(diǎn)定理),證：,實(shí)數(shù)軸上任何一個(gè)有界無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn).,定理9.2 利用聚點(diǎn)定理證明列緊性定理,證明： 設(shè) 為一個(gè)有界無(wú)窮點(diǎn)列，若 只有有限 多個(gè)數(shù)組成，則它必有無(wú)窮多項(xiàng)等于同一個(gè)數(shù)，此時(shí)定 理自然成立。 下設(shè) 有無(wú)窮多個(gè)互不相同的數(shù)組成，則集合 就是數(shù)軸上的一個(gè)有界無(wú)窮點(diǎn)集，它存在一個(gè)聚點(diǎn)，設(shè) 為 。與聚點(diǎn)的定義知，對(duì)任意的正整數(shù)k，在 中必有 的無(wú)窮多項(xiàng)，我們可以取 的子列 易見(jiàn) 。,定理9.3 利用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理,證：反證法：,設(shè)有界無(wú)限點(diǎn)集S無(wú)聚點(diǎn)，則由S有界知,矛盾,定理9.4,證：,用Cauchy收斂原理證明確界定理.,作業(yè),習(xí)題1.9 4,

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