2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法第一課時(shí)利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式不等式問題講義.docx

2.3數(shù)學(xué)歸納法第一課時(shí)利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、不等式問題對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P48在學(xué)校，我們經(jīng)常會(huì)看到這樣的一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一個(gè)同學(xué)將第一輛自行車不小心弄倒了，那么整排自行車就會(huì)倒下問題1：試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個(gè)條件？提示：(1)第一輛自行車倒下；(2)任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下問題2：利用這種思想方法能解決哪類數(shù)學(xué)問題？提示：一些與正整數(shù)n有關(guān)的問題 數(shù)學(xué)歸納法一般地，對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有數(shù)學(xué)歸納法公理：如果(1)當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n01,2等)時(shí)結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也正確那么，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟之間的聯(lián)系：第一步是驗(yàn)證命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是論證命題遞推的依據(jù)，這兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就作出判斷，可能得不出正確的結(jié)論，因?yàn)閱慰坎襟E(1)，無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時(shí)命題是否正確，我們無法判斷同樣只有步驟(2)而缺少步驟(1)時(shí)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟(1)這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒有意義了用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1.思路點(diǎn)撥等式的左邊有2n項(xiàng)，右邊共有n項(xiàng)，f(k)與f(k1)相比左邊增二項(xiàng)，右邊增一項(xiàng)，而且左右兩邊的首項(xiàng)不同因此，從nk到nk1時(shí)要注意項(xiàng)的合并精解詳析(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即1，那么當(dāng)nk1時(shí)，左邊1.右邊，左邊右邊，上式表明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立由(1)和(2)知，命題對(duì)一切非零自然數(shù)均成立一點(diǎn)通(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)(2)證明nk1時(shí)成立，必須用到假設(shè)nk成立的結(jié)論1用數(shù)列歸納法證明：當(dāng)nN*時(shí)，135 (1)n(2n1)(1)nn.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，所以左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)等式成立，即135 (1)k(2k1)(1)kk.那么當(dāng)nk1時(shí)，135 (1)k(2k1)(1)k1(2k1)(1)kk(1)k1(2k1)(1)k1(k)(1)k1(2k1)(1)k1(2k1k)(1)k1(k1)這就是說nk1時(shí)等式也成立，由(1)(2)可知，對(duì)任何nN*等式都成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊12223，右邊1(211)3，所以左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)成立則當(dāng)nk1時(shí)，左邊12223242(2k1)2(2k)22(k1)122(k1)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2(2k1)(k1)4(k1)2(k1) 2k14(k1)(k1)(2k3)(k1)2(k1)1右邊，所以當(dāng)nk1時(shí)，等式成立由(1)(2)可知對(duì)于任意正整數(shù)n，等式都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2求證：(n2，nN*)思路點(diǎn)撥運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明時(shí)仔細(xì)觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征，在第二步證明當(dāng)nk1時(shí)，如何進(jìn)行不等式的變換是關(guān)鍵另外，要注意本題n的初始值為2.精解詳析(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)不等式成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，所以當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立由(1)(2)可知原不等式對(duì)一切n2，nN*都成立一點(diǎn)通利用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式是數(shù)學(xué)歸納法的主要應(yīng)用之一，應(yīng)用過程中注意：(1)證明不等式的第二步即從nk到nk1的推導(dǎo)過程中要應(yīng)用歸納假設(shè)，有時(shí)需要對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s來實(shí)現(xiàn)；(2)與n有關(guān)的不等式的證明有時(shí)并不一定非用數(shù)學(xué)歸納法不可，還經(jīng)常用到不等式證明中的比較法、分析法、配方法、放縮法等3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 的過程中，由nk推導(dǎo)nk1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是_解析：nk，左邊 ，nk1時(shí)，左邊 .答案：4求證(n2且nN*)證明：當(dāng)n2時(shí)，左邊，右邊0，左邊右邊，此時(shí)不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN*)時(shí)，不等式成立，即.當(dāng)nk1時(shí)，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立綜上所述，對(duì)任何n2且nN*，不等式都成立5證明不等式12(nN*)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊22.顯然命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即12.則當(dāng)nk1時(shí)，12n3，就需要驗(yàn)證n10時(shí)不等式成立(2)nk1時(shí)式子的項(xiàng)數(shù)，特別是尋找nk與nk1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化容易被弄錯(cuò)因此對(duì)nk與nk1這兩個(gè)關(guān)系式的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障(3)“假設(shè)nk(k1)時(shí)命題成立，利用這一假設(shè)證明nk1時(shí)命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，因此在第二步的證明過程中一定要用上歸納假設(shè)，否則這樣的證明就不再是數(shù)學(xué)歸納法了另外在推導(dǎo)過程中要把步驟寫完整，注意證明過程中的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十八)一、填空題1用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1aa2an1(a1，nN*)”，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊_.解析：因?yàn)樽筮吺阶又衋的最高指數(shù)是n1，所以當(dāng)n1時(shí)，a的最高指數(shù)為2，根據(jù)左邊式子規(guī)律可得，當(dāng)n1時(shí)，左邊1aa2.答案：1aa22用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式，當(dāng)nk時(shí)，表達(dá)式為1427k(3k1)k(k1)2，則當(dāng)nk1時(shí)，表達(dá)式為_答案：1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)23用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取_解析：左邊12代入驗(yàn)證可知n的最小值為8.答案：84對(duì)于不等式n1(nN*)，某學(xué)生證明過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立；(2)假設(shè)nk(kN*)時(shí)，不等