高中數(shù)學(xué)《四種命題及其相互關(guān)系》同步課件新人教A版選修.ppt

1知識與技能 了解四種命題的概念，并會判斷命題的真假 2過程與方法 了解命題的逆命題，否命題、逆否命題，能寫出原命題的其它三種命題 能利用四種命題間的相互關(guān)系判斷命題的真假,本節(jié)重點(diǎn)：了解命題的逆命題、否命題、逆否命題 本節(jié)難點(diǎn)：分析四種命題的相互關(guān)系以及四種命題的真假之間的關(guān)系 1要通過實(shí)例去發(fā)現(xiàn)四種命題間的關(guān)系，并能用命題間的關(guān)系去驗(yàn)證寫出的命題是否正確 2要注意否命題與命題的否定是不同的 例如：原命題“若AB，則ab”的否命題是“若AB，則ab”，而原命題的否定是“若AB，則ab”通過實(shí)例真正弄清一個(gè)命題的否命題與它的否定的本質(zhì)區(qū)別：否命題是既否定條件又否定結(jié)論；命題的否定是只否定結(jié)論,1四種命題的概念 關(guān)于原命題的逆命題、否命題和逆否命題的寫法： 首先：把原命題整理成“如果p，則q” 其次：(1)“換位”得到“如果q，則p”，即為逆命題； (2)“換質(zhì)”(分別否定)得到“如果非p，則非q”即為否命題； (3)既“換位”又“換質(zhì)”得到“如果非q，則非p”即為逆否命題,注意：“命題的否定”只否定結(jié)論，而否命題要對條件和結(jié)論分別進(jìn)行否定只有“如果p，則q”形式的命題才有否命題，形式為“如果綈p，則綈q”在寫一個(gè)命題的否定或否命題時(shí)要注意一些關(guān)鍵詞的否定,2命題的四種形式間的關(guān)系 (1)命題的四種形式中，哪個(gè)是原命題是相對的，不是絕對的； (2)四種命題間有兩對互逆關(guān)系，兩對互否關(guān)系，兩對互為逆否的關(guān)系，對互為逆否的兩命題同真同假，在判斷和證明中要注意它們之間的相互轉(zhuǎn)化,3間接證明有關(guān)問題 由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明一個(gè)命題有困難時(shí)，可以通過證明它的逆否命題為真來間接證明原命題為真，即正難則反的思想 注意：間接法常用于證明否定性、存在性、惟一性，至多至少等，結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體、更易于研究和掌握的問題,1一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做 ，其中一個(gè)命題叫做 ，另一個(gè)叫做原命題的 2一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做 ，其中一個(gè)命題叫做 ，另一個(gè)叫做原命題的 ,互逆命題,原命題,逆命題,互否命題,原命題,否命題,3一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做 ，其中一個(gè)命題叫做 ，另一個(gè)叫做原命題的 4原命題為真，它的逆命題 5原命題為真，它的否命題 6原命題為真，它的逆否命題 7互為逆否的命題是等價(jià)命題，它們同 同 ，同一個(gè)命題的逆命題和否命題是一對互為 的命題，它們同 同 ,互為逆否命題,原命題,逆否命題,不一定為真,不一定為真,為真,真,假,逆否,真,假,例1 寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題 (1)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)； (2)正方形的四條邊相等 分析 此題的題設(shè)和結(jié)論不很明顯，因此首先將命題改寫成“若p，則q”的形式，然后再寫出它的逆命題、否命題與逆否命題,解析 (1)改寫成“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)” 逆命題：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù) 否命題：若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù) 逆否命題：若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù),(2)原命題可以寫成：若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等 逆命題：若一個(gè)四邊形的四條邊相等，則它是正方形 否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等 逆否命題：若一個(gè)四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形,點(diǎn)評 例1(1)題還有另一種解答： 原命題可以寫成：若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)的平方，則這個(gè)數(shù)是正數(shù) 逆命題：若一個(gè)數(shù)是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)的平方 否命題：若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)的平方，則這個(gè)數(shù)不是正數(shù) 逆否命題：若一個(gè)數(shù)不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)的平方 這兩種解答都可以，實(shí)際上例1中的第(2)小題也有同樣的另一種解答,寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題 (1)若x2y20，則x，y全為0. (2)若ab是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù) 解析 (1)逆命題：若x，y全為0，則x2y20； 否命題：若x2y20，則x，y不全為0； 逆否命題：若x，y不全為0，則x2y20. (2)逆命題：若a，b都是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)； 否命題：若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)； 逆否命題：若a，b不都是偶數(shù)，則ab不是偶數(shù).,例2 判斷下列命題的真假，寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假 (1)若ab，則ac2bc2； (2)若四邊形的對角互補(bǔ)，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形； (3)若在二次函數(shù)yax2bxc中，b24ac0，則該函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn),解析 (1)該命題為假，如c0時(shí)，ac2bc2. 逆命題：ac2bc2，則ab為真； 否命題：若ab，則ac2bc2為真； 逆否命題：若ac2bc2，則ab為假 (2)該命題為真 逆命題：若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角互補(bǔ)，為真 否命題：若四邊形的對角不互補(bǔ)，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，為真 逆否命題：若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角不互補(bǔ)，為真,(3)該命題為假 逆命題：若二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則b24ac0，為假 否命題：若二次函數(shù)yax2bxc中b24ac0，函數(shù)圖象與x軸無公共點(diǎn)，為假 逆否命題：若二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸無公共點(diǎn)，則b24ac0，為假,點(diǎn)評 寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題、逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫在判斷原命題及逆命題的真假時(shí)，常借助原命題與其逆否命題同真假，逆命題和否命題同真假進(jìn)行判斷,改寫成“若p則q”的形式，并寫出它的否命題和逆否命題，最后判斷所有命題的真假 (1)acbcab； (2)已知x、y為正整數(shù)，當(dāng)yx1時(shí)，y3，x2； (3)當(dāng)m 時(shí)，mx2x10無實(shí)根； (4)當(dāng)abc0時(shí)，a0或b0或c0； (5)若x22x30，則x3或x1.,解析 (1)原命題：若acbc，則ab.(假) 否命題：若acbc，則ab.(假) 逆否命題：若ab，則acbc.(假) (2)原命題：已知x、y為正整數(shù)，若yx1，則y3且x2.(假) 否命題：已知x、y為正整數(shù)，若yx1，則y3或x2.(真) 逆否命題：已知x、y為正整數(shù)，若y3或x2，則yx1.(假),(4)原命題：若abc0，則a0或b0或c0.(真) 否命題：若abc0，則a0且b0且c0.(真) 逆否命題：若a0且b0且c0，則abc0.(真),(5)原命題：若x22x30，則x3或x1.(真) 否命題：若x22x30，則x3且x1.(真) 逆否命題：若x3且x1，則x22x30.(真),例3 有下列四個(gè)命題： (1)“若xy0，則x、y互為相反數(shù)”的否命題； (2)“若ab，則a2b2”的逆否命題； (3)“若x3，則x2x60”的否命題； (4)“對頂角相等”的逆命題 其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( ) A0 B1 C2 D3 答案 B,解析 (1)“若xy0，則x、y不是相反數(shù)”是真命題 (2)“若a2b2，則ab”，取a1，b0，因?yàn)閍b2，故是假命題 (3)“若x3，則x2x60”，解不等式x2x60可得2x3，而x43，不是不等式的解，故是假命題 (4)“相等的角是對頂角”是假命題故選B.,點(diǎn)評 本題的解法中運(yùn)用了舉反例的辦法，如(2)、(3)的解法舉出一個(gè)反例說明一個(gè)命題不正確是以后經(jīng)常用到的方法,判斷命題“若a0，則x2xa0有實(shí)根”的逆否命題的真假 解析解法一：寫出逆否命題，再判斷其真假 原命題：若a0，則x2xa0有實(shí)根； 逆否命題：若x2xa0無實(shí)根，則a0. 判斷如下：因?yàn)閤2xa0無實(shí)根 所以14a0，所以a 0. 所以“若x2xa0無實(shí)根，則a0”為真命題,解法二：利用原命題與逆否命題同真同假(即等價(jià)關(guān)系)證明 在為a0，所以4a0，所以4a10， 所以方程x2xa0的判別式4a10， 所以方程x2xa0有實(shí)根 故原命題“若a0，則x2xa0有實(shí)根”為真 又因原命題與逆否命題等價(jià)，所以“若a0，則x2xa0有實(shí)根”的逆否命題為真,例4 寫出下列命題的否命題及命題的否定形式，并判斷真假 (1)若m0，則關(guān)于x的方程x2xm0有實(shí)根 (2)若x、y都是奇數(shù)，則xy是奇數(shù) (3)若abc0，則a、b、c中至少有一個(gè)為0.,解析 (1)否命題：若m0，則關(guān)于x的方程x2xm0無實(shí)根(假命題) 命題的否定：若m0，則關(guān)于x的方程x2xm0無實(shí)根(假命題) (2)否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則xy不是奇數(shù)(假命題) 命題的否定：若x、y都是奇數(shù)，則xy不是奇數(shù)(真命題) (3)否命題：若abc0，則a、b、c全不為0.(真命題) 命題的否定：若abc0，則a、b、c全不為0.(假命題),點(diǎn)評 命題的否定形式及否命題是兩個(gè)不同的概念，要注意區(qū)別，不能混淆從形式上看，否命題既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定，條件不變，只否定結(jié)論.,例5 已知函數(shù)f(x)在(，)上是增函數(shù)，a、bR，對命題“如果ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b)” (1)寫出其否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論 (2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論,分析 由題目可獲取以下主要信息：給出一個(gè)具體的命題，寫出它的否命題及逆否命題，判斷其真假并證明解答這類題關(guān)鍵是根據(jù)命題的特點(diǎn)，選擇合適的證明方法,解析 (1)否命題：如果ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b)為真命題 當(dāng)ab0時(shí)，ab， f(x)在(，)上是增函數(shù) f(a)f(b)， 又由ab0，可知ba， 同理f(b)f(a)， 則f(a)f(b)f(a)f(b) 即“ab0f(a)f(b)f(a)f(b)”成立,(2)逆否命題：如果f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0.真命題因?yàn)橐粋€(gè)命題和它的逆否命題等價(jià)，所以可證明原命題為真命題因?yàn)閍b0，所以ab，ba，又因?yàn)閒(x)在(，)上是增函數(shù)，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)所以逆否命題為真 點(diǎn)評 當(dāng)直接證明一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，往往需轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題的真假，如原命題是全稱命題或存在性命題，或原命題是以否定形式給出的時(shí)候，往往會采用這種思路,已知函數(shù)yf(x)是R上的增函數(shù)，對a、bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)成立，證明ab0. 證明 原命題的逆否命題為：若ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b) 以下證明其逆否命題：若ab0，則ab，ba. 又因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)， 所以f(a)f(b)f(b)f(a)，逆否命題為真命題 又因?yàn)樵}和逆否命題同真同假，得證,例6 寫出命題“已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，如果ab，cd，則acbd”的逆命題、否命題，并證明它們的真假 誤解 逆命題：如果acbd，則a、b、c、d是實(shí)數(shù)，且ab，cd.假命題 否命題：如果a、b、c、d不是實(shí)數(shù)，ab，cd，則acbd.假命題 辨析 上述解法沒有弄清命題的條件，將大前提“a、b、c、d是實(shí)數(shù)”充當(dāng)了條件,正解 逆命題：已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，如果acbd，則ab，cd.假命題 否命題：已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，如果ab，cd，則acbd.假命題,一、選擇題 1命題“兩條對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對角線相等的四邊形”的 ( ) A逆命題 B否命題 C逆否命題 D無關(guān)命題 答案 A 解析 依據(jù)逆命題定義,2命題“對頂角相等”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題是 ( ) A上述四個(gè)命題 B原命題與逆命題 C原命題與逆否命題 D逆命題與否命題 答案 C 解析 命題“對頂角相等”的逆命題“相等的角是對頂角”是假命題，選C.,3與命題“能被6整除的整數(shù)，一定能被3整除”等價(jià)的命題是 ( ) A能被3整除的整數(shù)，一定能被6整除 B不能被3整除的整數(shù)，一定不能被6整除 C不能被6整除的整數(shù)，一定不能被3整除 D能被6整除的整數(shù)，一定不能被3整除 答案 B,解析 9能被3整除，但不能被6整除，排除A； 9不能被6整除，但能被3整除，排除C； 12能被6整除，也能被3整除，排除D.,4命題“若A60，則ABC是等邊三角形”的否命題是“A60，則ABC不是等邊三角形”為 ( ) A假命題 B與原命題真假性相同 C與原命題的逆否命題真假性相同 D與原命題的逆命題真假性相同