數(shù)學(xué)思想方法在中考解題中的應(yīng)用.ppt

數(shù)學(xué)思想方法在中考解題中的應(yīng)用,數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果要提高我們分析和解決問題的能力，形成用數(shù)學(xué)的意識解決問題，這些都離不開數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想、統(tǒng)計思想、整體思想等能否運用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析問題、解決問題關(guān)系到中考的成敗縱觀各年的中考試題，在注重考察數(shù)學(xué)核心內(nèi)容與基本能力的同時，考題中都突出了數(shù)學(xué)思想方法的理解和簡單運用,方程與函數(shù)的思想,方程思想就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手,適當(dāng)設(shè)定未知數(shù),運用定義、公式、性質(zhì)、定理及條件,把所研究的問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程,從而使問題得到解決方程思想在數(shù)學(xué)解題中所占比重較大，綜合知識強、題型廣、應(yīng)用技巧靈活,問題1(河北省中考) 一種藥品經(jīng)過兩次降價后，每盒的價格由原來的60元降至486元，那么平均每次降價的百分率是 ,10%,問題2（山東泰安市中考）某書店老板去圖書批發(fā)市場購買某種圖書第一次用1200元購書若干本，并按該書定價7元出售，很快售完由于該書暢銷，第二次購書時，每本書的批發(fā)價比第一次提高了1元，他用1500元所購該書數(shù)量比第一次多10本當(dāng)按定價售出200本時，出現(xiàn)滯銷，便以定價的4折售完剩余的書試問該老板這兩次售書總體上是賠錢了，還是賺錢了（不考慮其它因素）？若賠錢，賠多少？若賺錢，賺多少？,解：設(shè)第一次購書的進(jìn)價為x元，則第二次購書的進(jìn)價為（x1）元根據(jù)題意得： 去分母，整理得 解之得： ，,經(jīng)檢驗，x1 5 ， x 224 都是原方程的解,每本書的定價為7元，只取x5 所以第一次購書為 （本）,第二次購書為24010=250（本）,第一次賺錢為 240（75）=480（元）， 第二次賺錢為 所以兩次共賺錢 48040=520（元）,（元）,答：該老板兩次售書總體上是賺錢了，共賺了520元,函數(shù)思想就是拋開所研究對象的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，使問題得到解決,問題3(內(nèi)蒙古赤峰中考)如下圖所示，半徑為1的圓和邊長為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過正方形，設(shè)穿過時間為，正方形除去圓部分的面積為（陰影部分），則與的大致圖象為（ ）,A,問題4(黑龍江中考)甲、乙二人騎自行車同時從張莊出發(fā)，沿同一路線去李莊甲行駛20分鐘因事耽誤一會兒，事后繼續(xù)按原速行駛下圖表示甲、乙二人騎自行車行駛的路程y（千米）隨時間x（分）變化的圖像（全程），根據(jù)圖像回答下列問題： （1）乙比甲晚多長時間到達(dá)李莊？ （2）甲因事耽誤了多長時間？ （3）x為何值時，乙行駛的路 程比甲行駛的路程多1千米？,解:設(shè)直線OD的解析式為 由題意可得 當(dāng)y=15時, 故乙比甲晚10分鐘到達(dá)李莊 設(shè)直線BC的解析式為 由題意可得 由圖象可知甲20分鐘行駛的路程為5千米， 故甲因事耽誤了20分鐘,分兩種情況： 當(dāng)x為36 或48時，乙行駛的路程比甲行駛的路程多千米 該題集中考考查同學(xué)們對圖象的觀察能力和對一次函數(shù)應(yīng)用的理解能力要掌握利用不同條件求一次函數(shù)解析式樣方法，理解一次函數(shù)解析式的多種形式,問題5(江西中考）如圖，在 AB=8，AC=6,若動點D從點B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度過點D作 DEBC 交AC于點E，設(shè)動點D運動的時間為x秒，AE的長為y求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； 當(dāng)x為何值時，BDE的面積有s最大值，最大值為多少？ 又AB=8，AC=6,AD=8-2x,AE=y, 自變量的取值范圍為 :,解: DEBC,當(dāng)x=2時，s有最大值，且最大值為6 （或用頂點公式求最大值）,問題6(安陽市九年級調(diào)研測試題),如圖，RtABCRtADE，A=900，BC和DE交于點P，若AC=3，AB=4，則P點到AB邊的距離是_,一般解法：經(jīng)過添加輔助線，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，解方程等步驟得到結(jié)果,解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系， 則B（0，4），E（0，3）， C（3，0），D（4，0） 故直線BC的解析式為： 直線ED的解析式為： 求兩直線交點坐標(biāo)，聯(lián)立上述兩個解析式解方程組即得：x=,啟示：運用坐標(biāo)系和函數(shù)方法解題，思路簡捷，思維量少，方法易于掌握，特別是對那些數(shù)量關(guān)系比較確定的問題，運用坐標(biāo)系解決問題的效率較理想，常常能出奇制勝的作用,問題7(宿遷市中考) 如圖，圓在正方形的內(nèi)部沿著正方形的四條邊運動一周，并且始終保持與正方形的邊相切 （1）在圖中，把圓運動一周覆蓋正方形的區(qū)域用陰影表示出來；（2）當(dāng)圓的直徑等于正方形 的邊長一半時，該圓運動一周覆蓋正方 形的區(qū)域的面積是否最大？并說明理由,圓運動一周覆蓋正方形的區(qū)域 用陰影表示如下：,解：,圓的直徑等于正方形的邊長一半時， 覆蓋區(qū)域的面積不是最大.理由如下：,設(shè)正方形的邊長為a，圓的半徑為r 覆蓋區(qū)域的面積為S 圓在正方形的內(nèi)部，0ra/2 由圖可知：,圓的直徑等于正方形的邊長一半時，面積不是最大,數(shù)形結(jié)合思想,“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微”數(shù)形結(jié)合思想是一種通過數(shù)的抽象嚴(yán)謹(jǐn)、形的直觀表意之間的相互轉(zhuǎn)化來研究和解決數(shù)學(xué)問題的思想,數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分兩類: (1)利用幾何圖形的直觀表示數(shù)的問題,它常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等； (2)運用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形問題,常需要建立方程(組)或建立函數(shù)關(guān)系式等,問題8（湖北天門市 ）已知關(guān)于x的不等式組 的整數(shù)解共有6個，則a的取值范圍 是 ,熱點內(nèi)容 (1)利用數(shù)軸解不等式(組) (2)研究函數(shù)圖象隱含的信息,判斷函數(shù)解析式的系數(shù)之間的關(guān)系,確定函數(shù)解析式和解決與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題 (3)研究與幾何圖形有關(guān)的數(shù)據(jù),判斷幾何圖形的形狀、位置等問題 (4)運用幾何圖形的性質(zhì)、圖形的面積等關(guān)系,進(jìn)行有關(guān)計算或構(gòu)件方程(組),求得有關(guān)結(jié)論等問題,問題9（湖北恩施）路在山腹行是滬蓉西高速公路的顯著特點之一，全線共有隧道37座，共計長達(dá)7424212米下圖是正在修建的廟埡隧道的截面，截面是由一拋物線和一矩形構(gòu)成，其行車道CD總寬度為8米，隧道為雙行線2車道 (1)建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,并求出隧道拱拋物線的解析式; (2)在隧道拱的兩側(cè)距地面3米高處各安裝一盞路燈，在的平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示其中一盞路燈的位置; (3)為了保證行車安全，要求行駛車輛頂部 （設(shè)為平頂）與隧道拱在豎直方向上高度之差至少有05米現(xiàn)有一輛汽車，裝載貨物后，其寬度為4米，車載貨物的頂部與路面的距離為25米，該車能否通過這個隧道？請說明理由,解：(1)以EF所在直線為x軸,經(jīng)過H且垂直于EF的直線為y軸, 建立平面直角坐標(biāo)系, 顯然E(-5,0),F(5,0),H(0,3) 設(shè)拋物線的解析式為: 依題意有: 所以y=,(2)y=1, 路燈的位置為( ,1)或(- ,1) (3)當(dāng)x=4時,y= =108 點到地面的距離為108+2=308 因為308-05=25825，所以能通過,分類討論思想,在解答某些數(shù)學(xué)問題時,因為存在一些不確定的因素,解答無法用統(tǒng)一的方法或結(jié)論不能給出統(tǒng)一的表述,對這類問題依情況加以分類,并逐類求解,然后綜合求解,這種解題的方法叫分類討論法,它是一種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法分類討論涉及全部初中數(shù)學(xué)的知識點，其關(guān)鍵是要弄清楚引起分類的原因，明確分類討論的對象和標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該按可能出現(xiàn)的情況做出既不重復(fù)，又不遺漏，分門別類加以討論求解，再將不同結(jié)論綜合歸納，得出正確答案,引起分類討論的因素較多，歸納起來主要有以下幾個方面: （1）由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論； （2）由數(shù)學(xué)變形所需要的限制條件所引起的分類討論；（3）由于圖形的不確定性引起的討論；（4）由于題目含有字母而引起的討論,問題10（山東東營）某公司專銷產(chǎn)品A，第一批產(chǎn)品A上市40天內(nèi)全部售完該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的市場銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖10中的折線表示的是市場日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖11中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關(guān)系 （1）試寫出第一批產(chǎn)品A的市場日銷售量y與上市時間t的關(guān)系式； （2）第一批產(chǎn)品A上市后，哪一天這家公司市場日銷售利潤最大？最大利潤是多少萬元？,解：(1) 由圖10可得， 當(dāng)0t30時，設(shè)市場的日銷售量ykt 點（30，60）在圖象上， 6030k k2即 y2 t 當(dāng)30t40時，設(shè)市場的日銷售量yk1t+b 因為點（30，60）和（40，0）在圖象上， 所以 解得 k16，b240 y6t240 綜上可知， 當(dāng)0t30時，市場的日銷售量y2t； 當(dāng)30t40時，市場的日銷售量y6t240,(2) 方法一：由圖11得， 當(dāng)0t20時，每件產(chǎn)品的日銷售利潤為y3t； 當(dāng)20t40時，每件產(chǎn)品的日銷售利潤為y60 當(dāng)0t20時，產(chǎn)品的日銷售利潤y3t2t6t2； 當(dāng)t20時，產(chǎn)品的日銷售利潤y最大等于2400萬元 當(dāng)20t30時，產(chǎn)品的日銷售利潤y602t =120t 當(dāng)t30時，產(chǎn)品的日銷售利潤y最大等于3600萬元； 當(dāng)30t40時，產(chǎn)品的日銷售利潤y60 (6t240)； 當(dāng)t30時，產(chǎn)品的日銷售利潤y最大等于3600萬元 綜上可知，當(dāng)t30天時，這家公司市場的日銷售利潤最大為3600萬元 方法二：由圖10知，當(dāng)t30（天）時，市場的日銷售量達(dá)到最大60萬件；又由圖11知，當(dāng)t30（天）時產(chǎn)品的日銷售利潤達(dá)到最大60元/件 所以當(dāng)t30（天）時，市場的日銷售利潤最大，最大值為3600萬元,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P（2，1）,（1）點T（t，0）是x軸上的一個動點當(dāng)t取何值時，TOP是等腰三角形？,P,情況一:OP=OT,情況二:PO=PT,情況三:TO=TP,T3(-4,0),問題11,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P（2，1）,x,y,0,P,A,（1）點T（t，0）是x軸上的一個動點當(dāng)t取何值時，TOP是等腰三角形？,(2) 過P作y軸的垂線PA,垂足為A點T為坐標(biāo)系中的一點以點AOPT為頂點的四邊形為平行四邊形,請寫出點T的坐標(biāo)?,問題11,(2) 過P作y軸的垂線PA,垂足為A點T為坐標(biāo)系中的一點以點AOPT為頂點的四邊形為平行四邊形,請寫出點T的坐標(biāo)?,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P（2，1）,x,y,0,P,A,改為:點T在第四象限,請寫出點T的坐標(biāo),(3) 過P作y軸的垂線PA,垂足為A點T為坐標(biāo)軸上的一點以POT 為頂點的三角形與AOP相似,請寫出點T的坐標(biāo)?,問題11,化歸思想,化歸思想就是在處理問題時,將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思想的過程，選擇運用的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行交換，化歸為在已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題思想叫做轉(zhuǎn)化與化歸的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想的實質(zhì)是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化,任何一個數(shù)學(xué)問題都是通過“聯(lián)想、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化”的思維方式有機地進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，從而實現(xiàn)未知到已知的過程化歸轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，常見的化歸有:未知向已知轉(zhuǎn)化；復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化；高維向低維轉(zhuǎn)化；多元向一元轉(zhuǎn)化；高次向低次轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化；無限向有限的轉(zhuǎn)化等；都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn),注意以下幾點： 1、解方程（組）降次、換元、公式變形 2、方程和函數(shù)及不等式轉(zhuǎn)化 3、幾何輔助線引發(fā)的幾何習(xí)題的條件和結(jié)論的變化和圖形的變化 4、代數(shù)、幾何之間的轉(zhuǎn)化思想,問題12(蘇州)已知函數(shù)y= 和y=kx+l(kO) (1)若這兩個函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1，a)，求a和k的值； (2)當(dāng)k取何值時，這兩個函數(shù)的圖象總有公共點?,解:因為兩函數(shù)圖象都經(jīng)過點(1,a),將 代入y=kx+1,消去y,得: k0,要使兩函數(shù)的圖象總有公共點,只要使0即可 =1+8k, 1+8k0,k-1/8 k-1/8,且k0,問題13（河北?。┤鐖D1，已知圓錐的母線長OA=8，底面圓的半徑r=2若一只小蟲從A點出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點，則小蟲爬行的最短路線的長是_（結(jié)果保留根式）,解析： 通過展開圖把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形利用“兩點之間，線段最短”的原理解決問題該圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為8，弧長為4的扇形（圖2），所以圓心角AOA=90，從展開圖上可以看出小蟲爬行的最短距離應(yīng)為弦AA的長，由勾股定理可得為 ,其它思想方法,統(tǒng)計思想就是利用統(tǒng)計對有限個對象（樣本）的研究，去對大量對象（總體）的特征進(jìn)行估計，主要是解決日常生活中較大數(shù)據(jù)群的評估問題要描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢可以利用平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；要描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，我們可以選擇極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差即可解決這個問題,要描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢可以利用平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；要描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，我們可以選擇極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差即可解決這個問題,問題14（遼寧12市）為了豐富校園文化生活，某校計劃在午間校園廣播臺播放“百家講壇”的部分內(nèi)容為了了解學(xué)生的喜好，抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（每人只選一項內(nèi)容），整理調(diào)查結(jié)果，繪制統(tǒng)計圖如下： 請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息回答以下問題