2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)第1節(jié)任意角和弧度制（第2課時(shí)）弧度制教案.docx

第2課時(shí)弧度制 核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P6P9的內(nèi)容，回答下列問題(1)我們知道，角可以用度為單位進(jìn)行度量，1度的角是如何定義的？提示：1度的角等于周角的.(2)為了使用方便，數(shù)學(xué)上還采用弧度制來度量角，1弧度的角是如何定義的？提示：把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角(3)閱讀教材P6“探究”的內(nèi)容，思考：如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角所對(duì)的弧長是l，那么的弧度數(shù)的絕對(duì)值是多少？提示：|.既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它們之間是如何換算的？提示：180.2歸納總結(jié)，核心必記(1)度量角的兩種制度角度制定義用度作為單位來度量角的單位制1度的角周角的為1度角，記作1弧度制定義以弧度為單位來度量角的單位制1弧度的角長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1rad(2)弧度數(shù)的計(jì)算(3)角度制與弧度制的換算(4)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表度030456090120135150180弧度0(5)扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，為其圓心角，則為度數(shù)為弧度數(shù)扇形的弧長llR扇形的面積SSlRR2問題思考(1)在大小不同的圓中，長為1的弧所對(duì)的圓心角相等嗎？提示：不相等這是因?yàn)殚L為1的弧是指弧的長度為1，在大小不同的圓中，由于半徑不同，所以圓心角也不同(2)比值與所取的圓的半徑大小是否有關(guān)？提示：無關(guān)(3)在具體的運(yùn)算中，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以略去不寫，但“度”作單位時(shí)“”能省略嗎？提示：不能省略(4)你認(rèn)為式子“k360，kZ”正確嗎？提示：不正確，在同一個(gè)式子中不能同時(shí)出現(xiàn)角度制與弧度制課前反思(1)角度制的定義： ；(2)弧度制的定義： ；(3)任意角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系： ；(4)角的弧度數(shù)的計(jì)算公式： ；(5)角度與弧度的互化： ；(6)扇形的弧長及面積公式： .知識(shí)點(diǎn)1弧度的概念講一講1有關(guān)角的度量給出以下說法：1的角是周角的，1 rad的角是周角的；1 rad的角等于1度的角；180的角一定等于 rad的角；“度”和“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位其中正確的說法是_嘗試解答由弧度制的定義、弧度與角度的關(guān)系知，均正確；因?yàn)? rad57.301，故不正確答案：類題通法(1)解決概念辨析問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解概念如本題中要準(zhǔn)確理解1弧度角的概念，知道角度制與弧度制的關(guān)系(2)角度制和弧度制的比較：弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制，而角度制是以“度”為單位來度量角的單位制1弧度的角是指等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角，而1度的角是指圓周角的的角，大小顯然不同無論是以“弧度”還是以“度”為單位來度量角，角的大小都是一個(gè)與“半徑”大小無關(guān)的值用“度”作為單位度量角時(shí)，“度”(即“”)不能省略，而用“弧度”作為單位度量角時(shí)，“弧度”二字或“rad”通常省略不寫但兩者不能混用，即在同一表達(dá)式中不能出現(xiàn)兩種度量方法練一練1下列說法正確的是()A1弧度就是1度的圓心角所對(duì)的弧B1弧度是長度為半徑的弧C1弧度是1度的弧與1度的角之和D1弧度是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角的大小解析：選D1弧度是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角的大小.知識(shí)點(diǎn)2角度與弧度的換算講一講2(1)把下列角度化成弧度：150_；2 100_；1115_；11230_.(2)把下列弧度化成角度：_；_；_；_.嘗試解答(1)150150；2 1002 100；1115；11230.(2)30；300；81；75.答案：(1)(2)303008175類題通法角度與弧度互化技巧在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式 rad180是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)弧度數(shù)，弧度數(shù)度數(shù)練一練2已知1570，2750，1，2.(1)將1，2用弧度表示出來，并指出它們是第幾象限角；(2)將1，2用角度表示出來，并在7200范圍內(nèi)，找出與它們有相同終邊的所有角解：(1)1570，2750.122，222，1是第二象限角，2是第一象限角(2)1180108，設(shè)k360108(kZ)，則由7200，得720k3601080(kZ)，解得k2或k1，在7200范圍內(nèi)，與1有相同終邊的角是612和252；218060，設(shè)k36060(kZ)，則由720k360600(kZ)，得k1或k0，在7200范圍內(nèi)，與2有相同終邊的角是60和420.知識(shí)點(diǎn)3扇形的弧長公式和面積公式的應(yīng)用講一講3(1)已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形的圓心角的弧度數(shù)(2)已知扇形的圓心角為108，半徑等于30 cm，求扇形的面積嘗試解答(1)設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為(02 rad，故舍去；當(dāng)r4時(shí)，l2，此時(shí) rad，滿足題意故 rad.(2)108108，扇形的面積為302270(cm2)類題通法弧度制下涉及扇形問題的解題策略(1)明確弧度制下扇形的面積公式是Slr|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長，r是扇形的半徑，(02)是扇形的圓心角)(2)涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計(jì)算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解注意：運(yùn)用弧度制下的弧長公式及扇形面積公式的前提是為弧度練一練3已知扇形的周長是30 cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解：設(shè)扇形的圓心角為(02)，半徑為r，面積為S，弧長為l，則l2r30，故l302r，從而Slr(302r)rr215r2，所以，當(dāng)r cm時(shí)，2，扇形面積最大，最大面積為 cm2.課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是弧度與角度的換算、扇形的弧長公式和面積公式，難點(diǎn)是對(duì)弧度制概念的理解2本節(jié)要牢記弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化公式(1)180；(2)1 rad；(3)1 rad.3本節(jié)課要重點(diǎn)掌握以下規(guī)律方法(1)弧度制的概念辨析，見講1；(2)角度與弧度的換算，見講2；(3)扇形的弧長公式和面積公式的應(yīng)用，見講3.4本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)表示終邊相同角的集合時(shí)，角度與弧度不能混用課下能力提升(二)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1弧度的概念1下列說法正確的是()A1弧度的圓心角所對(duì)的弧長等于半徑B大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大C所有圓心角為1弧度的角所對(duì)的弧長都相等D用弧度表示的角都是正角解析：選A對(duì)于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對(duì)的弧長等于半徑”，故A正確；對(duì)于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對(duì)的弧長是不等的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯(cuò)誤2與角終邊相同的角是()A. B. C. D.解析：選C與角終邊相同的角的集合為2k，kZ，當(dāng)k1時(shí)，2，故選C.3角的終邊所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選D4，的終邊位于第四象限，故選D.題組2角度與弧度的換算4下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯(cuò)誤的是()A60化成弧度是 B化成度是600C150化成弧度是 D.化成度是15解析：選C對(duì)于A,6060；對(duì)于B，180600；對(duì)于C，150150；對(duì)于D，18015.5已知15，1，105，則，的大小關(guān)系為_解析：法一(化為弧度)：1515，105105.顯然1，故.法二(化為角度)：18，157.30，105.顯然151857.30105，故.答案：6已知角2 010.(1)將改寫成2k(kZ,02)的形式，并指出是第幾象限角；(2)在區(qū)間5，0)上找出與終邊相同的角；(3)在區(qū)間0,5)上找出與終邊相同的角解：(1)2 0102 01052.又，角與角的終邊相同，故是第三象限角(2)與終邊相同的角可以寫為2k(kZ)又50，k3，2，1.當(dāng)k3時(shí)，；當(dāng)k2時(shí)，；當(dāng)k1時(shí)，.(3)與終邊相同的角可以寫為2k(kZ)又05，k0,1.當(dāng)k0時(shí)，；當(dāng)k1時(shí)，.題組3扇形的弧長公式和面積公式的應(yīng)用7在半徑為10的圓中，240的圓心角所對(duì)的弧長為()A. B. C. D.解析：選A240，弧長l10，選A.8已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為()A2 B4 C6 D8解析：選C設(shè)扇形所在圓的半徑為R，則24R2，R21，R1.扇形的弧長為414，扇形的周長為246.故選C.9一個(gè)扇形的面積為1，周長為4，則圓心角的弧度數(shù)為_解析：設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，則2Rl4.根據(jù)扇形面積公式SlR，得1lR.聯(lián)立解得R1，l2，2.答案：210.如圖，已知扇形AOB的圓心角為120，半徑長為6，求弓形ACB的面積解：120，l64，的長為4.S扇形OABlr4612，如圖所示，有SOABABOD(D為AB中點(diǎn))26cos 3039.S弓形ACBS扇形OABSOAB129.弓形ACB的面積為129.能力提升綜合練1角的終邊落在區(qū)間內(nèi)，則角所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選C3的終邊在x軸的非正半軸上，的終邊在y軸的非正半軸上，故角為第三象限角2已知2，則角的終邊所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選C1 rad，2 rad114.59，故角的終邊所在的象限是第三象限3圓弧長度等于其所在圓內(nèi)接正三角形的邊長，則該圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為()A. B.C. D2解析：選C如圖，設(shè)圓的半徑為R，則圓的內(nèi)接正三角形的邊長為R，所以圓弧長度為R的圓心角的弧度數(shù).4集合P|2k(2k1)，kZ，Q|44，則PQ()AB|4，或0C|44D|0解析：選B如圖，在k1或k2時(shí)，2k，(2k1)4,4為空集，分別取k1,0，于是AB|4，或05已知扇形的周長為4 cm，則當(dāng)它的半徑為_cm，圓心角為_弧度時(shí)，扇形面積最大，這個(gè)最大面積是_cm2.解析：設(shè)扇形圓心角為(02)，半徑為r cm，則2rr4，2.S扇形r22rr2(r1)21，當(dāng)r1時(shí)，(S扇形)max1，此時(shí)2.答案：1 216若角的終邊與角的終邊相同，則在0,2上，終邊與角的終邊相同的角是_解析：由題意，得2k，(kZ)令k0,1,2,3，得，.答案：，7已知800.(1)把改寫成2k(kZ,02)的形式，并指出是第幾象限角；(2)求，使與的終邊相同，且.解：(1)8003360280，280，800(3)2.與角終邊相同，是第四象限角(2)與終邊相同的角可寫為2k，