浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三數(shù)列與不等式第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案.doc

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列考情考向分析1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列的判定及綜合應(yīng)用也是高考考查的重點(diǎn)，注意基本量及定義的使用，考查分析問題、解決問題的綜合能力熱點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算1.通項(xiàng)公式等差數(shù)列：ana1(n1)d；等比數(shù)列：ana1qn1.2求和公式等差數(shù)列：Snna1d；等比數(shù)列：Sn3性質(zhì)若mnpq，在等差數(shù)列中amanapaq；在等比數(shù)列中amanapaq.例1(1)(2018全國)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3S3S2S4，a12，則a5等于()A12 B10 C10 D12答案B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故選B.(2)(2018杭州質(zhì)檢)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若S480，S28，則公比q_，a5_.答案3162解析由題意可得，S4S2q2S2，代入得q29.等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，q3，解得a12，故a5162.思維升華在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí)，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量跟蹤演練1(1)(2018浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a12 017，S62S318，則S2 019等于()A2 016 B2 019 C2 017 D2 018答案B解析在等差數(shù)列an中，設(shè)公差為d.S62S318，a4a5a6(a1a2a3)9d18.d2，S2 0192 019a12 0192 0182 0192 0172 019，故選B.(2)(2018全國)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.求an的通項(xiàng)公式；記Sn為an的前n項(xiàng)和，若Sm63，求m.解設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN*)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.熱點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；利用等差中項(xiàng)，即證明2anan1an1(n2，nN*)(2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；利用等比中項(xiàng)，即證明aan1an1(n2，nN*)例2已知數(shù)列an，bn，其中a13，b11，且滿足an(3an1bn1)，bn(an13bn1)，nN*，n2.(1)求證：數(shù)列anbn為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.(1)證明anbn(3an1bn1)(an13bn1)2(an1bn1)，又a1b13(1)4，所以anbn是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知，anbn2n1，又anbn(3an1bn1)(an13bn1)an1bn1，又a1b13(1)2，所以anbn為常數(shù)數(shù)列，anbn2，聯(lián)立得，an2n1，所以，所以Tn(nN*)思維升華(1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，但不能作為證明方法(2)aan1an1(n2)是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零跟蹤演練2已知an是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且Sn為an與的等差中項(xiàng)(1)求證：數(shù)列S為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.(1)證明由題意知2Snan，即2Snana1，(*)當(dāng)n2時(shí)，有anSnSn1，代入(*)式得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得SS1(n2)又當(dāng)n1時(shí)，由(*)式可得a1S11，數(shù)列S是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解由(1)可得S1n1n，數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，Sn，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，又a1S11滿足上式，an(nN*)(3)解由(2)得bn(1)n()，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn1(1)()()()，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn1(1)()()()，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn(1)n(nN*)熱點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，要從兩個(gè)數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題，可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與其前n項(xiàng)和Sn；(2)將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為Tn，若存在mN*，使得對(duì)任意nN*，總有SnTm恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)由a2a7a126，得a72，a14，an5n，從而Sn(nN*)(2)由題意知b14，b22，b31，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q，Tm8，m隨m的增加而減少，Tm為遞增數(shù)列，得4Tm8.又Sn(n29n)，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使得對(duì)任意nN*，總有SnTm，則102.即實(shí)數(shù)的取值范圍為(2，)思維升華(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便(2)數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題(3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解跟蹤演練3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn13(an1)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足an1若bnt對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解(1)由已知得Sn3an2，令n1，得a11，又an1Sn1Sn3an13an，得an1an，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以ann1(nN*)(2)由an1 得bnn1nn1，所以bn1bn(n1)nnn1(2n)，所以(bn)maxb2b3，所以t.即t的取值范圍為.真題體驗(yàn)1(2017全國改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為_答案4解析設(shè)an的公差為d，由得解得d4.2(2017浙江改編)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d0”是“S4S62S5”的_條件答案充要解析方法一數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d,2S510a120d.若d0，則21d20d,10a121d10a120d，即S4S62S5.若S4S62S5，則10a121d10a120d，即21d20d，d0.“d0”是“S4S62S5”的充要條件方法二S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0.“d0”是“S4S62S5”的充要條件3(2017北京)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a4b48，則_.答案1解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，則由a4a13d，得d3，由b4b1q3，得q38，q2.1.4(2017江蘇)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S3，S6，則a8_.答案32解析設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則解得所以a8272532.押題預(yù)測1設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然數(shù)n的值為()A6 B7C12 D13押題依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和是數(shù)列最基本的知識(shí)點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，可以考查學(xué)生靈活變換的能力答案C解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然數(shù)n的值為12.2在等比數(shù)列an中，a33a22，且5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng)，則an的公比等于()A3 B2或3C2 D6押題依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識(shí)運(yùn)用的綜合性和靈活性，是高考出題的重點(diǎn)答案C解析設(shè)公比為q,5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng)，可得10a412a32a5，10a3q12a32a3q2，得10q122q2，解得q2或3.又a33a22，所以a2q3a22，即a2(q3)2，所以q2.3已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，存在兩項(xiàng)am，an使得4a1，則的最小值為()A. B.C. D.押題依據(jù)本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題，綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，是高考命題的方向答案A解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理得q2q20，解得q2或q1(不合題意，舍去)又由4a1，得aman16a，即a2mn216a，即有mn24，亦即mn6，那么(mn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即n2m4時(shí)取等號(hào)4定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為()A BC D押題依據(jù)先定義一個(gè)新數(shù)列，然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個(gè)新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個(gè)數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一類問題，這類問題一般形式新穎，難度不大，常給人耳目一新的感覺答案C解析由等比數(shù)列的性質(zhì)得，anan2a.f(an)f(an2)aa(a)2f(an1)2；f(an)f(an2)f(an1)2；f(an)f(an2)f(an1)2；f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f(an1)2.A組專題通關(guān)1在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，已知a3a564，則a1a7的最小值為()A64 B32C16 D8答案C解析在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a3a564，a3a5a1a764，a1a7222816，當(dāng)且僅當(dāng)a1a78時(shí)取等號(hào)，a1a7的最小值為16，故選C.2(2018嘉興市、麗水市模擬)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a81，則2|a9|a10|的最小值為()A3 B2C1 D0答案C解析因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，所以2a9a8a10，則2|a9|a8a10|a8|a10|，所以2|a9|a10|a8|1，當(dāng)且僅當(dāng)a100，dS30Ba1d0，dS30Ca1d0Da1d0，dS30答案C解析因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，且a2，a3，a6構(gòu)成等比數(shù)列，所以aa2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，結(jié)合d0化簡得d2a10，則a1d2a0，故選C.4(2018浙江省溫州六校協(xié)作體聯(lián)考)設(shè)an是公比為實(shí)數(shù)q的等比數(shù)列，首項(xiàng)a164，對(duì)于nN*，an2bn，當(dāng)且僅當(dāng)n4時(shí)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和取得最大值，則q的取值范圍是()A. B. C. D.答案C解析由題意得2bn1bnq0，所以bn1bnlog2q為常數(shù)，又因?yàn)閍164，所以b16，所以數(shù)列bn為首項(xiàng)為6，公差為log2q的等差數(shù)列，又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)n4時(shí)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和取得最大值，所以解得q0，a50，a50，所以等差數(shù)列an的公差d0，且解得3da10，所以S15S10S52224，當(dāng)且僅當(dāng)S5，即S51時(shí)等號(hào)成立，所以S15S10的最小值為4.10(2018天津)設(shè)an是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，bn是等差數(shù)列已知a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn(nN*)，求Tn；證明：2(nN*)(1)解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由a11，a3a22，可得q2q20.由q0，可得q2，故an2n1.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d.由a4b3b5，可得b13d4.由a5b42b6，可得3b113d16，從而b11，d1，故bnn.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1(nN*)，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn(nN*)(2)解由(1)得Sn2n1，故Tn(2k1)knn2n1n2(nN*)證明因?yàn)?，所?(nN*)B組能力提高11(2018浙江省名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)已有正項(xiàng)數(shù)列an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且滿足a1b1，a5b5，則以下結(jié)論：a3b3；a6b6，正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案B解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，則由a5b5得a14db1q4，又a1b1，所以d.因?yàn)閿?shù)列an為正項(xiàng)單調(diào)遞增數(shù)列，所以a10，d0，則q410，解得q1或q1時(shí)，an可以看作是直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，bn可以看作是指數(shù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則易得此時(shí)a6b6；當(dāng)q1時(shí)，b6b6，錯(cuò)誤由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)易得a3，bb1b5a1a5，則ab2a1a520，所以a3b3，錯(cuò)誤，正確綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為1.故選B.12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a115，且滿足an1an4n216n15，已知n，mN*，nm，則SnSm的最小值為()A B C14 D28答案C解析根據(jù)題意可知(2n5)an1(2n3)an(2n5)(2n3)，式子左、右兩端同除以(2n5)(2n3)，可得1，即1，所以數(shù)列是以5為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以5(n1)1n6，即an(n6