浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三數(shù)列與不等式第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案.doc_第1頁
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文檔簡介

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列考情考向分析1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn),經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列的判定及綜合應(yīng)用也是高考考查的重點(diǎn),注意基本量及定義的使用,考查分析問題、解決問題的綜合能力熱點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算1.通項(xiàng)公式等差數(shù)列:ana1(n1)d;等比數(shù)列:ana1qn1.2求和公式等差數(shù)列:Snna1d;等比數(shù)列:Sn3性質(zhì)若mnpq,在等差數(shù)列中amanapaq;在等比數(shù)列中amanapaq.例1(1)(2018全國)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若3S3S2S4,a12,則a5等于()A12 B10 C10 D12答案B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由3S3S2S4,得32a1d4a1d,將a12代入上式,解得d3,故a5a1(51)d24(3)10.故選B.(2)(2018杭州質(zhì)檢)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,若S480,S28,則公比q_,a5_.答案3162解析由題意可得,S4S2q2S2,代入得q29.等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),q3,解得a12,故a5162.思維升華在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí),若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯,則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解,但要注意消元法及整體計(jì)算,以減少計(jì)算量跟蹤演練1(1)(2018浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a12 017,S62S318,則S2 019等于()A2 016 B2 019 C2 017 D2 018答案B解析在等差數(shù)列an中,設(shè)公差為d.S62S318,a4a5a6(a1a2a3)9d18.d2,S2 0192 019a12 0192 0182 0192 0172 019,故選B.(2)(2018全國)等比數(shù)列an中,a11,a54a3.求an的通項(xiàng)公式;記Sn為an的前n項(xiàng)和,若Sm63,求m.解設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2,解得q0(舍去),q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN*)若an(2)n1,則Sn.由Sm63得(2)m188,此方程沒有正整數(shù)解若an2n1,則Sn2n1.由Sm63得2m64,解得m6.綜上,m6.熱點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義,證明an1an(nN*)為一常數(shù);利用等差中項(xiàng),即證明2anan1an1(n2,nN*)(2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義,證明(nN*)為一常數(shù);利用等比中項(xiàng),即證明aan1an1(n2,nN*)例2已知數(shù)列an,bn,其中a13,b11,且滿足an(3an1bn1),bn(an13bn1),nN*,n2.(1)求證:數(shù)列anbn為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.(1)證明anbn(3an1bn1)(an13bn1)2(an1bn1),又a1b13(1)4,所以anbn是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知,anbn2n1,又anbn(3an1bn1)(an13bn1)an1bn1,又a1b13(1)2,所以anbn為常數(shù)數(shù)列,anbn2,聯(lián)立得,an2n1,所以,所以Tn(nN*)思維升華(1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列,也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,但不能作為證明方法(2)aan1an1(n2)是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件,判斷時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零跟蹤演練2已知an是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且Sn為an與的等差中項(xiàng)(1)求證:數(shù)列S為等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(3)設(shè)bn,求bn的前n項(xiàng)和Tn.(1)證明由題意知2Snan,即2Snana1,(*)當(dāng)n2時(shí),有anSnSn1,代入(*)式得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21,整理得SS1(n2)又當(dāng)n1時(shí),由(*)式可得a1S11,數(shù)列S是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列(2)解由(1)可得S1n1n,數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù),Sn,當(dāng)n2時(shí),anSnSn1,又a1S11滿足上式,an(nN*)(3)解由(2)得bn(1)n(),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn1(1)()()(),當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn1(1)()()(),數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn(1)n(nN*)熱點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題,要從兩個(gè)數(shù)列的特征入手,理清它們的關(guān)系;數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題,可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解例3已知等差數(shù)列an的公差為1,且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與其前n項(xiàng)和Sn;(2)將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后,剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng),記bn的前n項(xiàng)和為Tn,若存在mN*,使得對(duì)任意nN*,總有SnTm恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)由a2a7a126,得a72,a14,an5n,從而Sn(nN*)(2)由題意知b14,b22,b31,設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,則q,Tm8,m隨m的增加而減少,Tm為遞增數(shù)列,得4Tm8.又Sn(n29n),故(Sn)maxS4S510,若存在mN*,使得對(duì)任意nN*,總有SnTm,則102.即實(shí)數(shù)的取值范圍為(2,)思維升華(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題,常用“基本量法”求解,但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì),可使運(yùn)算簡便(2)數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù),然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題(3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù),通過求數(shù)列的值域求解跟蹤演練3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn13(an1),nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列bn滿足an1若bnt對(duì)于任意正整數(shù)n都成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍解(1)由已知得Sn3an2,令n1,得a11,又an1Sn1Sn3an13an,得an1an,所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以ann1(nN*)(2)由an1 得bnn1nn1,所以bn1bn(n1)nnn1(2n),所以(bn)maxb2b3,所以t.即t的取值范圍為.真題體驗(yàn)1(2017全國改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524,S648,則an的公差為_答案4解析設(shè)an的公差為d,由得解得d4.2(2017浙江改編)已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“d0”是“S4S62S5”的_條件答案充要解析方法一數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,S44a16d,S55a110d,S66a115d,S4S610a121d,2S510a120d.若d0,則21d20d,10a121d10a120d,即S4S62S5.若S4S62S5,則10a121d10a120d,即21d20d,d0.“d0”是“S4S62S5”的充要條件方法二S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0.“d0”是“S4S62S5”的充要條件3(2017北京)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11,a4b48,則_.答案1解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,則由a4a13d,得d3,由b4b1q3,得q38,q2.1.4(2017江蘇)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知S3,S6,則a8_.答案32解析設(shè)an的首項(xiàng)為a1,公比為q,則解得所以a8272532.押題預(yù)測1設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a10,a3a100,a6a70的最大自然數(shù)n的值為()A6 B7C12 D13押題依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和是數(shù)列最基本的知識(shí)點(diǎn),也是高考的熱點(diǎn),可以考查學(xué)生靈活變換的能力答案C解析a10,a6a70,a70,a1a132a70,S130的最大自然數(shù)n的值為12.2在等比數(shù)列an中,a33a22,且5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng),則an的公比等于()A3 B2或3C2 D6押題依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識(shí)運(yùn)用的綜合性和靈活性,是高考出題的重點(diǎn)答案C解析設(shè)公比為q,5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng),可得10a412a32a5,10a3q12a32a3q2,得10q122q2,解得q2或3.又a33a22,所以a2q3a22,即a2(q3)2,所以q2.3已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5,存在兩項(xiàng)am,an使得4a1,則的最小值為()A. B.C. D.押題依據(jù)本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題,綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力,是高考命題的方向答案A解析由a7a62a5,得a1q6a1q52a1q4,整理得q2q20,解得q2或q1(不合題意,舍去)又由4a1,得aman16a,即a2mn216a,即有mn24,亦即mn6,那么(mn),當(dāng)且僅當(dāng),即n2m4時(shí)取等號(hào)4定義在(,0)(0,)上的函數(shù)f(x),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an,f(an)仍是等比數(shù)列,則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(,0)(0,)上的如下函數(shù):f(x)x2;f(x)2x;f(x);f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為()A BC D押題依據(jù)先定義一個(gè)新數(shù)列,然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個(gè)新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個(gè)數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一類問題,這類問題一般形式新穎,難度不大,常給人耳目一新的感覺答案C解析由等比數(shù)列的性質(zhì)得,anan2a.f(an)f(an2)aa(a)2f(an1)2;f(an)f(an2)f(an1)2;f(an)f(an2)f(an1)2;f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f(an1)2.A組專題通關(guān)1在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,已知a3a564,則a1a7的最小值為()A64 B32C16 D8答案C解析在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,a3a564,a3a5a1a764,a1a7222816,當(dāng)且僅當(dāng)a1a78時(shí)取等號(hào),a1a7的最小值為16,故選C.2(2018嘉興市、麗水市模擬)已知數(shù)列an為等差數(shù)列,且a81,則2|a9|a10|的最小值為()A3 B2C1 D0答案C解析因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列,所以2a9a8a10,則2|a9|a8a10|a8|a10|,所以2|a9|a10|a8|1,當(dāng)且僅當(dāng)a100,dS30Ba1d0,dS30Ca1d0Da1d0,dS30答案C解析因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列,且a2,a3,a6構(gòu)成等比數(shù)列,所以aa2a6,即(a12d)2(a1d)(a15d),結(jié)合d0化簡得d2a10,則a1d2a0,故選C.4(2018浙江省溫州六校協(xié)作體聯(lián)考)設(shè)an是公比為實(shí)數(shù)q的等比數(shù)列,首項(xiàng)a164,對(duì)于nN*,an2bn,當(dāng)且僅當(dāng)n4時(shí),數(shù)列bn的前n項(xiàng)和取得最大值,則q的取值范圍是()A. B. C. D.答案C解析由題意得2bn1bnq0,所以bn1bnlog2q為常數(shù),又因?yàn)閍164,所以b16,所以數(shù)列bn為首項(xiàng)為6,公差為log2q的等差數(shù)列,又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)n4時(shí),數(shù)列bn的前n項(xiàng)和取得最大值,所以解得q0,a50,a50,所以等差數(shù)列an的公差d0,且解得3da10,所以S15S10S52224,當(dāng)且僅當(dāng)S5,即S51時(shí)等號(hào)成立,所以S15S10的最小值為4.10(2018天津)設(shè)an是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(nN*),bn是等差數(shù)列已知a11,a3a22,a4b3b5,a5b42b6.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn(nN*),求Tn;證明:2(nN*)(1)解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由a11,a3a22,可得q2q20.由q0,可得q2,故an2n1.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d.由a4b3b5,可得b13d4.由a5b42b6,可得3b113d16,從而b11,d1,故bnn.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1(nN*),數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn(nN*)(2)解由(1)得Sn2n1,故Tn(2k1)knn2n1n2(nN*)證明因?yàn)?,所?(nN*)B組能力提高11(2018浙江省名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)已有正項(xiàng)數(shù)列an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,且滿足a1b1,a5b5,則以下結(jié)論:a3b3;a6b6,正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案B解析設(shè)數(shù)列an的公差為d,數(shù)列bn的公比為q,則由a5b5得a14db1q4,又a1b1,所以d.因?yàn)閿?shù)列an為正項(xiàng)單調(diào)遞增數(shù)列,所以a10,d0,則q410,解得q1或q1時(shí),an可以看作是直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo),bn可以看作是指數(shù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo),則易得此時(shí)a6b6;當(dāng)q1時(shí),b6b6,錯(cuò)誤由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)易得a3,bb1b5a1a5,則ab2a1a520,所以a3b3,錯(cuò)誤,正確綜上所述,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為1.故選B.12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a115,且滿足an1an4n216n15,已知n,mN*,nm,則SnSm的最小值為()A B C14 D28答案C解析根據(jù)題意可知(2n5)an1(2n3)an(2n5)(2n3),式子左、右兩端同除以(2n5)(2n3),可得1,即1,所以數(shù)列是以5為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,所以5(n1)1n6,即an(n6

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