線系統(tǒng)理論教學(xué).ppt

第一部分 線性系統(tǒng)理論,經(jīng)典控制理論描述系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法： 外部描述：時域內(nèi)為高階微分方程、復(fù)頻域內(nèi)為輸入輸 出關(guān)系的傳遞函數(shù)；,電機(jī),現(xiàn)代控制理論描述系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法： 內(nèi)部描述：一階微分方程（時域）,從傳遞函數(shù)的零點、極點分布得出系統(tǒng)定性特性，并已建立起一整套圖解分析設(shè)計法，至今仍得到廣泛成功地應(yīng)用。,電機(jī)內(nèi)部工作原理 點擊觀看,利用狀態(tài)分析法，對系統(tǒng)進(jìn)行一系列特性分析，來設(shè)計狀態(tài)反饋和輸出反饋。,線性系統(tǒng)理論的主要內(nèi)容： 狀態(tài)空間分析法 線性系統(tǒng)內(nèi)部特性 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間 的綜合設(shè)計,經(jīng)典控制理論的傳遞函數(shù)描述方法的不足之處： 系統(tǒng)模型為單輸入單輸出系統(tǒng)； 忽略初始條件的影響； 不包含系統(tǒng)的所有信息； 無法利用系統(tǒng)的內(nèi)部信息來改變系統(tǒng)的性能。,第二章 狀態(tài)空間分析法,復(fù)雜的時變、非線性、多輸入多輸出系統(tǒng)的問題，需要用對系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行描述的新方法狀態(tài)空間分析法。,本章主要內(nèi)容, 2.1 狀態(tài)空間描述的基本概念 2.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的建立 2.3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 2.4 動態(tài)方程與傳遞函數(shù)矩陣 2.5 線性離散系統(tǒng)的動態(tài)方程及其解,2.1 狀態(tài)空間描述的基本概念,一 狀態(tài)變量,狀態(tài)變量指描述系統(tǒng)運(yùn)動的一組獨(dú)立（數(shù)目最少的）變量。當(dāng)系統(tǒng)能用最少的n個變量 完全確定系統(tǒng)狀態(tài)時，則稱這個變量為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。,狀態(tài)變量選取的特點： 狀態(tài)變量的選取具有非唯一性：即可用某一組， 也可用另一組數(shù)目最少的變量。 狀態(tài)變量個數(shù)的選取具有唯一性：,二 狀態(tài)向量,把描述系統(tǒng)狀態(tài)的n個狀態(tài)變量 看作向量X(t)的分量，則X(t)稱為狀態(tài)向量，記以 , 上標(biāo)T為矩陣轉(zhuǎn)置記號。 若狀態(tài)向量由n個分量組成，則稱n維狀態(tài)向量。一旦給定 時的初始狀態(tài)向量 及 的輸入向量 ，則 的狀態(tài)由狀態(tài)向量 唯一確定。,三 狀態(tài)空間,以n個狀態(tài)變量作為坐標(biāo)軸所組成的n維空間稱狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任一時刻的狀態(tài)由狀態(tài)空間中一點表示，例如 二階系統(tǒng)的狀態(tài)可由 軸、 軸組成的狀態(tài)平面（即相平面）中一點表示； 三階系統(tǒng)的狀態(tài)可由 軸、 軸、 軸組成的三維狀態(tài)空間中一點來表示； n階系統(tǒng)的狀態(tài)則由軸 ， 軸組成的n維狀態(tài)空間中一點來表示。 初始時刻 的狀態(tài) 在狀態(tài)空間中為一初始點；隨著時間推移，系統(tǒng)狀態(tài)在變化，便在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡，稱狀態(tài)軌跡。,四 狀態(tài)方程,狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為狀態(tài)方程。 狀態(tài)方程一階微分方程或差分方程。 狀態(tài)方程是狀態(tài)空間分析法的基本數(shù)學(xué)方程。 故系統(tǒng)的狀態(tài)方程具有非唯一性。,一般形式的狀態(tài)方程：,式中常系數(shù) 與系統(tǒng)特性有關(guān)。,(2-1),稱系統(tǒng)矩陣（系數(shù)矩陣，狀態(tài)陣），稱輸入矩陣（在此為列矩陣）。,式中,多輸入（含p個輸入變量）線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程一般表達(dá)式為：,(2-3),方程(2-3)的向量矩陣形式為,(2-4),式中u為p維列向量，B為 輸入矩陣，或稱控制系數(shù)矩陣，有,五 輸出方程,系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)變量、輸入變量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱輸出方程，它是一個代數(shù)方程。 單輸出定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出方程一般形式為：,(2-5),式中 為輸出矩陣（在此為行矩陣），d為直接聯(lián)系輸入量、輸出量的前向傳遞（前饋）系數(shù)，又稱前饋系數(shù)。,多輸入多輸出（含q個輸出變量）線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出方程一般表達(dá)形式為：,(2-7),式中,C為 輸出矩陣，D為 前饋矩陣。,六 狀態(tài)空間表達(dá)式,狀態(tài)方程、輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，簡稱動態(tài)方程。狀態(tài)空間法用狀態(tài)方程、輸出方程來表達(dá)輸入輸出關(guān)系，提示了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)對系統(tǒng)性能的影響。 單輸入單輸出系統(tǒng)動態(tài)方程一般形式為,式中 為 維狀態(tài)向量，u與y為標(biāo)量，A為n階方陣，b為 向量，c為 向量，d為標(biāo)量。,（2-9）,動態(tài)方程的結(jié)構(gòu)圖表示見圖21，各方塊的輸入輸出關(guān)系規(guī)定為: 輸出向量（方塊所示矩陣）（輸入向量） 注意到在向量、矩陣的乘法運(yùn)算中，相乘順序不允許任意顛倒。,圖21 動態(tài)方程的結(jié)構(gòu)圖表示,七 狀態(tài)空間分析法,以狀態(tài)向量描述、分析系統(tǒng)性能的方法稱為狀態(tài)空間分析法。 它具有下列優(yōu)越之處： 便于在數(shù)字計算機(jī)上求解； 容易考慮初始條件； 能了解并利用處于系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)信息； 數(shù)學(xué)描述簡化；,適于描述多輸入多輸出、時變、非線性、隨機(jī)、離散等各類系統(tǒng)，是最優(yōu)控制、最優(yōu)估計、辨識、自適應(yīng)控制等現(xiàn)代控制系統(tǒng)的基本描述方法。,倒立擺控制系統(tǒng),航天器控制系統(tǒng),機(jī)器人控制系統(tǒng),導(dǎo)彈控制系統(tǒng),2.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的建立,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)方程的形式： 一般形式 典型形式,一 物理系統(tǒng)動態(tài)方程的建立,實際物理系統(tǒng)動態(tài)方程的建立的原則： 根據(jù)所含元件遵循的物理、化學(xué)定律，列寫其微分方程； 選擇可以量測的物理量作為狀態(tài)變量。,例2-1 設(shè)機(jī)械位移系統(tǒng)如圖2-2所示。力F及阻尼器汽缸速度v為兩種外作用，給定輸出量為質(zhì)量塊的位移x及其速度 、加速度 。圖中m、k、f分別為質(zhì)量、彈簧剛度、阻尼系數(shù)。試求該雙輸入-三輸出系統(tǒng)的動態(tài)方程。,圖22 雙輸入-三輸出機(jī) 械位移系統(tǒng) 點擊觀看,解 據(jù)牛頓力學(xué)，故有 顯見為二階系統(tǒng)，若已知質(zhì)量塊的初始位移及初始速度，該微分方程在輸入作用下的解便唯一確定，故選 和 作為狀態(tài)變量。設(shè) ，三個輸出量為 ，可由微分方程導(dǎo)出下列動態(tài)方程：,其向量-矩陣形式為,式中,例2-2 設(shè)空間飛行器如圖2-3所示。利用本體坐標(biāo)系和飛行器本地垂線參考坐標(biāo)系，試求空間飛行器的動態(tài)方程。,圖23 空間飛行器 點擊觀看,解：空間飛行器相對于參考坐標(biāo)系進(jìn)行姿態(tài)定向，用一組旋轉(zhuǎn)Euler角即俯仰角、偏航角和滾動角可以唯一的確定飛行器的定向。 利用動力矩定理和動量定理，同時考慮姿態(tài)偏移小、速度低、動量小及忽略慣量直積的情況下，可得俯仰軸方向的線性化方程為 ：,而滾動軸和偏航軸方向的線性化方程為 ： 其中,狀態(tài)變量圖 將狀態(tài)方程中的每個一階微分方程用圖解來表示，即每個一階微分方程的右端諸項之和，構(gòu)成了狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)積分可得該狀態(tài)變量，最終按照系統(tǒng)中各狀態(tài)變量的關(guān)系連接成封閉的圖形，便是狀態(tài)變量圖。,它便于在模擬計算機(jī)上進(jìn)行仿真，是向量-矩陣形式狀態(tài)方程的展開圖形，揭示了系統(tǒng)的詳細(xì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。,狀態(tài)變量圖中僅含積分器、加法器、比例器三種元件及一些連接線。積分器的輸出均為狀態(tài)變量。輸出量可根據(jù)輸出方程在狀態(tài)變量圖中形成和引出。,例1-1的狀態(tài)變量圖見圖1-3，圖中 為拉普拉斯算子。,圖2-4 例2-1狀態(tài)變量圖,二 由微分非常或傳遞函數(shù)建立動態(tài)方程,1 實現(xiàn)： 對于給定的系統(tǒng)微分方程或系統(tǒng)傳遞函數(shù)，尋求對應(yīng)的動態(tài)方程而不改變系統(tǒng)的輸入-輸出特性，稱此動態(tài)方程是系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)。,由于狀態(tài)變量的選擇不唯一，所以狀態(tài)空間實現(xiàn)也不唯一，最小實現(xiàn)也不唯一。,設(shè)單輸入-輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程具有下列一般形式：,(2-11),式中y為系統(tǒng)輸出量，u為系統(tǒng)輸入量，其系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,(2-12),2 典型實現(xiàn)：,1. 能觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn),設(shè),其展開式為,考慮式(2-11)可得,故有狀態(tài)方程：,(2-14),式中,式(2-16)所示動態(tài)方程，稱能觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)。,2能控標(biāo)準(zhǔn)形式實現(xiàn),將式(2-12)所示傳遞函數(shù) 分解為兩部分相串聯(lián)，并引入中間變量 ，見下圖所示 ：,由第一個方塊可導(dǎo)出以u作為輸入、z作為輸出的不含輸入導(dǎo)數(shù)項的微分方程，由第二個方塊可導(dǎo)出系統(tǒng)輸出量y可表為z及其導(dǎo)數(shù)的線性組合，即,(2-17),定義如下一組狀態(tài)變量,(2-18),式中,式(2-21)所示動態(tài)方程，稱能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)。,注意到能控、能觀測兩種準(zhǔn)形實現(xiàn)動態(tài)方程中諸矩陣存在下列關(guān)系： (2-22) 式中下標(biāo)表示能控標(biāo)準(zhǔn)形， 表示能觀測標(biāo)準(zhǔn)形，T為轉(zhuǎn)置記號。式(2-22)所示關(guān)系稱為對偶關(guān)系。,對偶關(guān)系：,3G(s)的對角形實現(xiàn),(2-30),式中,4 的約當(dāng)形實現(xiàn),式中 為 重實極點， 為相異實極點，則 可展成下列部分分式之和，即,(2-32),(2-33),取狀態(tài)變量 為,由式(2-36)有,(2-38),故有狀態(tài)方程,輸出方程為,(2-40),(2-39),式中,當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,應(yīng)用綜合除法有,(2-42),(2-43),式中 是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)， 是嚴(yán)格有理真分式，其系數(shù)同綜合除法得,(2-44),可控標(biāo)準(zhǔn)形動態(tài)方程各矩陣為,例2-3 設(shè)二階系統(tǒng)微分方程為,與 的關(guān)系可如下導(dǎo)出：將 串聯(lián)分解并引入中間變量 ，有,則,令 ，可得所選狀態(tài)變量為,可觀測標(biāo)準(zhǔn)形動態(tài)方程各矩陣為,所選狀態(tài)變量由式(2-13)可得,圖2-5(a)、(b)分別示出可控及可觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖。,(a) 可控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖,圖2-5(b) 可觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖,三 動態(tài)方程的線性變換 設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為,式中P為非奇異線性變換矩陣。,(2-46),式中,(2-48),可得變換后系統(tǒng)動態(tài)方程為,四 線性化動態(tài)方程的建立,實際的物理系統(tǒng)通常含有非線性因素，其一階微分方程組的一般形式為,輸出方程的一般形式為,(2-49),(2-50),式中、g的諸元是 和 的某類非線性函數(shù)。當(dāng) 和 限制在工作點或平衡點附近的小偏差范圍內(nèi)工作時，系統(tǒng)非線性方程能足夠精確的用線性化方程來描述。,(2-52),故有,按理想彈道飛行的導(dǎo)彈,即為平衡點。將式(2-51)在 附近展開成臺勞級數(shù)并略去二次及其以上各項有,式(2-54)和式(2-55)即為線性化動態(tài)方程，式中,(2-55),2.3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,一 齊次狀態(tài)方程的解,稱為齊次狀態(tài)方程，其解描述的是無控情況下在初始狀態(tài)作用下系統(tǒng)的自由運(yùn)動。,無控情況下倒立擺的齊次 狀態(tài)方程的解是不穩(wěn)定的。,1. 冪級數(shù)法,由對應(yīng)項系數(shù)相等條件，有,齊次狀態(tài)方程的解法是將標(biāo)量齊次微分方程的解法推廣到向量微分方程中去。常見如下兩種解法。,且 時， 故,眾所周知，標(biāo)量微分方程 的解為 稱為指數(shù)函數(shù)；而式(2-57)所示向量微分方程的解，在形式上是相似的，故把 稱為知指數(shù)函數(shù)；簡稱矩陣指數(shù)。,由于 系 同轉(zhuǎn)移而來， 又有狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣之稱，并記以 ，即,(2-58),2. 拉普拉斯變換法,將 取拉氏變換有,故,(2-60),不論A是否非奇異， 總是非奇異的。由于,可驗證,故 一定存在，即 總是非奇異的。 系統(tǒng)自由運(yùn)動的性質(zhì)完全由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩 陣確定，故有必要研究 的運(yùn)算性質(zhì),二 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì),意為時刻零的狀態(tài)即為初始狀態(tài)。,且有 (2-65),故式(2-69)成立，意為 至 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程可分解為 至 及 至 的分段轉(zhuǎn)移過程。,10兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,設(shè) ，即A為對角陣且具有互異元素時，有,設(shè)A為 約當(dāng)陣，即,三 非齊次狀態(tài)方程的解,稱為非齊次狀態(tài)方程，其解描述控制作用下系統(tǒng)的強(qiáng)迫運(yùn)動。,有控情況下倒立擺的齊次 狀態(tài)方程的解就會穩(wěn)定的。,非齊次狀態(tài)方程常見如下兩種解法。,1 積分法,式中第一項是對初始狀態(tài)的響應(yīng)分量，第二項是對控制輸入的響應(yīng)分量，適當(dāng)?shù)剡x擇控制作用，可使系統(tǒng)響應(yīng)過程按預(yù)定性能指標(biāo)變化。,2拉普拉斯變換法,取拉氏反變換有,取拉氏變換卷積定理,可見與積分法得出相同結(jié)果。,例24 試求下列狀態(tài)方程在 及 作用下的解。,計算,故,一組狀態(tài)曲線（點擊觀看）,2.4 動態(tài)方程與傳遞函數(shù)矩陣,一 由動態(tài)方程求傳遞函數(shù)矩陣,稱為系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣，它表示初始條件為零時，輸出向量與輸入向量拉氏變換式之間的傳遞關(guān)系， 為 矩陣。式(2-81)的展開式為,(2-83),對于單輸入單輸出系統(tǒng)，傳遞函數(shù)矩陣蛻變?yōu)閭鬟f函數(shù)。傳遞函數(shù)矩陣是系統(tǒng)的外部描述（即輸入輸出描述），與狀態(tài)變量無關(guān)。當(dāng) 時， 是方陣。若 是對角方陣，,表示該系統(tǒng)是解耦系統(tǒng)，整個系統(tǒng)同 個獨(dú)立的子系統(tǒng)組成。,二 閉環(huán)系統(tǒng)中的傳遞矩陣,定義為開環(huán)傳遞矩陣，它確定偏差向量 反饋向量間的傳遞關(guān)系。由于,圖26 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,定義 為偏差傳遞矩陣，它確定輸入向量至偏差向量間的傳遞關(guān)系。,三 由傳遞函數(shù)矩陣求動態(tài)方程,給定一傳遞函數(shù)矩陣 ，求系統(tǒng)的 諸矩陣使下式成立，即 (2-90) 并稱系統(tǒng)( )是 的一個實現(xiàn)。 第二節(jié)中研究了單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的實現(xiàn)，鑒于多輸入多輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)問題比較復(fù)雜，這里只研究單輸入多輸出、多輸入單輸出系統(tǒng)、前者的傳遞函數(shù)矩陣是列向量，后者的傳遞函數(shù)矩陣是行向量。,1單輸入多輸出系統(tǒng)傳遞矩陣的實現(xiàn),系統(tǒng)由q個獨(dú)立的子系統(tǒng)組成，傳遞矩陣 為,(2-91),設(shè)最小公分母為,(2-92),式中 是 個子傳遞函數(shù)的公共部分。由于單輸入，其輸入矩陣為一列；由于多輸出，其輸出矩陣 行，故可導(dǎo)出可控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)的狀態(tài)方程：,(2-95),3.多輸入單輸出系統(tǒng)傳遞矩陣的實現(xiàn),系統(tǒng)由p個獨(dú)立子系統(tǒng)組成，傳遞矩陣為,(2-98),由于多輸入，其輸入矩陣為 列；由于單輸出矩陣為一行，故可導(dǎo)出可觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)的動態(tài)方程，即,(2-100),(2-101),例2-5 試求下列單輸入-雙輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn) 形實現(xiàn)及對角形實現(xiàn)。,解 由于單輸入，其輸入矩陣為一列；由于雙輸出，其輸出矩陣 為二行。 將 化為嚴(yán)格有理真分布：,則可控標(biāo)準(zhǔn)形動態(tài)方程為,由 確定系統(tǒng)的極點為-1、-2，它們是對角形狀態(tài)陣的元素。由于輸入矩陣只有一列， 式中所示 陣是元素全為1的列向量，故對角形實現(xiàn)的狀態(tài)方程為,其輸出矩陣有二行，式(1-31)示出 陣由對應(yīng)極點的留數(shù)確定。 在極點-1的留數(shù) 為,在極點-2的留數(shù) 為,故對角形實現(xiàn)的輸出方為,2.5 線性離散系統(tǒng)的動態(tài)方程