全國高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五解析幾何第3講圓錐曲線的綜合問題學(xué)案文.doc

第3講圓錐曲線的綜合問題考情考向分析1.圓錐曲線的綜合問題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，考查范圍、最值問題，定點、定值問題，探索性問題.2.試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種思想方法，對計算能力也有較高要求，難度較大熱點一范圍、最值問題圓錐曲線中的范圍、最值問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題(以所求式子或參數(shù)為函數(shù)值)，或者利用式子的幾何意義求解例1(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知N為圓C1：(x2)2y224上一動點，圓心C1關(guān)于y軸的對稱點為C2，點M，P分別是線段C1N，C2N上的點，且0，2.(1)求點M的軌跡方程；(2)直線l與曲線交于A，B兩點，AB的中點在直線y上，求OAB(O為坐標(biāo)原點)面積的取值范圍解連接MC2，因為2，所以P為C2N的中點，因為0，所以，所以點M在C2N的垂直平分線上，所以|MN|MC2|，因為|MN|MC1|MC2|MC1|24，所以點M在以C1，C2為焦點的橢圓上，因為a，c2，所以b22，所以點M的軌跡方程為1.(2)由題意知直線l的斜率存在，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：ykxm，由得x26kmx3m260，x1x2，x1x2，24120，設(shè)AB的中點為C，則x0，y0kx0mm，由題意知，所以2m3k21，由0，得0m4，因為|AB|，原點O到直線AB的距離d，所以SOAB，即0b0)的離心率為，焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B.(1)求橢圓M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值；(3)設(shè)P(2,0)，直線PA與橢圓M的另一個交點為C，直線PB與橢圓M的另一個交點為D，若C，D和點Q共線，求k.解(1)由題意得解得a，b1.所以橢圓M的方程為y21.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26mx3m230，36m216(3m23)12m2480，即2m0顯然成立設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2|，而原點O到直線l的距離d，SABO|AB|d6.當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x2或x2，則|AB|6，原點O到直線l的距離d2，SABO6.綜上所述，ABO的面積為定值6.思維升華(1)動直線過定點問題的兩大類型及解法動直線l過定點問題，解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為ykxt，由題設(shè)條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動直線過定點(m,0)動曲線C過定點問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(2)求解定值問題的兩大途徑先將式子用動點坐標(biāo)或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負(fù)項抵消或分子、分母約分得定值跟蹤演練2(2018凱里市第一中學(xué)模擬)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點與曲線：12x24y23的一個焦點相同，O為坐標(biāo)原點，點M為拋物線C上任意一點，過點M作x軸的平行線交拋物線的準(zhǔn)線于點P，直線OP交拋物線于點N.(1)求拋物線C的方程；(2)求證：直線MN過定點G，并求出此定點的坐標(biāo)解(1)由曲線：12x24y23，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得1，所以曲線：1是焦點在x軸上的雙曲線，其中a2，b2，故c2a2b21，的焦點坐標(biāo)分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，因為拋物線的焦點坐標(biāo)為(p0)，由題意知1，所以p2，即拋物線的方程為y24x.(2)由(1)知，拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x1，設(shè)P，顯然m0.故M，從而直線OP的方程為ymx，聯(lián)立直線OP與拋物線方程得解得N.當(dāng)，即m2時，直線MN的方程為x1；當(dāng)，即m2時，直線MN的方程為ym，整理得MN的方程為y(x1)，此時直線恒過定點G(1,0)，因為(1,0)也在直線MN的方程x1上，故直線MN恒過定點G(1,0)熱點三探索性問題1解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型，解決這類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明確化其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在2反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法例3已知圓C的圓心為原點，其半徑與橢圓D：1的左焦點和上頂點的連線線段長度相等(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓右焦點的動直線l2(其斜率不為0)交圓C于A，B兩點，試探究在x軸正半軸上是否存在定點E，使得直線AE與BE的斜率之和為0？若存在，求出點E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由解(1)由題意知，橢圓D：1的左焦點的坐標(biāo)為(1,0)，上頂點的坐標(biāo)為，故圓的半徑r2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y24.(2)假設(shè)存在符合條件的點E.設(shè)E，A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)直線l2的斜率存在時，設(shè)直線l2的方程為yk(x1)由得x22k2xk240，0顯然成立所以x1x2，x1x2.由kAEkBE0，得kAEkBE，所以0，即0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，即2t0，解得t4.即E(4,0)當(dāng)直線l2的斜率不存在時，直線l2的方程為x1，與圓C的交點坐標(biāo)分別為(1，)，由E(4,0)知滿足kAEkBE0.所以當(dāng)點E的坐標(biāo)為(4,0)時，kAEkBE0.思維升華解決探索性問題的注意事項存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時，要分類討論(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑跟蹤演練3(2018山東、湖北部分重點中學(xué)模擬)已知長軸長為4的橢圓1(ab0)過點P，點F是橢圓的右焦點(1)求橢圓方程；(2)在x軸上是否存在定點D，使得過D的直線l交橢圓于A，B兩點設(shè)點E為點B關(guān)于x軸的對稱點，且A，F(xiàn)，E三點共線？若存在，求D點坐標(biāo)；若不存在，說明理由解(1) 2a4， a2，將點P代入1，得b23.橢圓方程為1.(2)存在定點D滿足條件設(shè)D(t,0)，直線l方程為xmyt(m0)，聯(lián)立消去x，得(3m24)y26mty3t2120，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則E(x2，y2)，且0.由A，F(xiàn)，E三點共線，可得(x21)y1(x11)y20，即2my1y2(t1)(y1y2)0， 2m(t1)0，解得t4，此時由0得m24.存在定點D(4,0)滿足條件，且m滿足m24.真題體驗1(2017全國改編)已知F為拋物線C：y24x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|DE|的最小值為_答案16解析因為F為y24x的焦點，所以F(1,0)由題意知，直線l1，l2的斜率均存在且不為0，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為，故直線l1，l2的方程分別為yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20，16k2160.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484216，當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k1時，取得等號2(2017山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E：1(ab0)的離心率為,焦距為2.(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，動直線l：yk1x交橢圓E于A，B兩點，C是橢圓E上一點，直線OC的斜率為k2，且k1k2.M是線段OC延長線上一點，且|MC|AB|23，M的半徑為|MC|，OS，OT是M的兩條切線，切點分別為S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值時直線l的斜率解(1)由題意知，e，2c2，所以c1，所以a，b1，所以橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程消去y，得(4k2)x24k1x10.由題意知，0，且x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|.由題意可知，圓M的半徑r為r|AB|.由題設(shè)知k1k2，所以k2，因此直線OC的方程為yx.聯(lián)立方程得x2，y2，因此|OC|.由題意可知，sin.而，令t12k，則t1，(0,1)，因此1，當(dāng)且僅當(dāng)，即t2時等號成立，此時k1，所以sin ，因此，所以SOT的最大值為.綜上所述，SOT的最大值為，取得最大值時直線l的斜率為k1.押題預(yù)測已知橢圓C1：1(a0)與拋物線C2：y22ax相交于A，B兩點，且兩曲線的焦點F重合(1)求C1，C2的方程；(2)若過焦點F的直線l與橢圓分別交于M，Q兩點，與拋物線分別交于P，N兩點，是否存在斜率為k(k0)的直線l，使得2？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由押題依據(jù)本題將橢圓和拋物線聯(lián)合起來設(shè)置命題，體現(xiàn)了對直線和圓錐曲線位置關(guān)系的綜合考查關(guān)注知識交匯，突出綜合應(yīng)用是高考的特色解(1)因為C1，C2的焦點重合，所以，所以a24.又a0，所以a2.于是橢圓C1的方程為1，拋物線C2的方程為y24x.(2)假設(shè)存在直線l使得2，當(dāng)lx軸時，|MQ|3，|PN|4，不符合題意，直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)由可得k2x2(2k24)xk20，則x1x4，x1x41，且16k2160，所以|PN|.由可得(34k2)x28k2x4k2120，則x2x3，x2x3，且144k21440，所以|MQ|.若2，則2，解得k.故存在斜率為k的直線l，使得2.A組專題通關(guān)1(2018安徽省“皖南八校”聯(lián)考)設(shè)橢圓C：1(ab0)的離心率為e，橢圓C上一點M到左、右兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離之和是4.(1)求橢圓的方程；(2)已知過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點，且兩點與左、右頂點不重合，若，求四邊形AMBF1面積的最大值解(1)依題意知，2a4，a2，因為e，所以c1，b2a2c23，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：xmy1，則由可得3(my1)24y212，即(3m24)y26my90，36m236(3m24)144(m21)0，y1y2，y1y2，又因為，所以四邊形AMBF1是平行四邊形，設(shè)平行四邊形AMBF1的面積為S，則S2|F1F2|y1y2|24.設(shè)t，則m2t21(t1)，所以S2424，因為t1，所以3t4(當(dāng)t1時取等號)，所以S(0,6，所以四邊形AMBF1面積的最大值為6.2已知橢圓 C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，點P在橢圓C上，且PF1F2的面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線l：ykx2(k0)與橢圓C交于不同的兩點M，N，若在x軸上存在點G，使得|GM|GN|，求點G的橫坐標(biāo)的取值范圍解(1)由已知得解得a29，b28，c21，橢圓C的方程為1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為E，點G，使得|GM|GN|，則GEMN.由得x236kx360，由0，得kR且k0.x1x2，x0，y0kx02.GEMN，kGE，即，m.當(dāng)k0時，9k212，m0；當(dāng)k0時，9k12，00)(1)證明：k；(2)設(shè)F為C的右焦點，P為C上一點，且0.證明：2|.證明(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k，得k0.由題設(shè)知1，m，于是k.由題設(shè)得0m，故k.(2)由題意得F(1,0)設(shè)P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及題設(shè)得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0)的離心率為，點P在橢圓上不過原點的直線l與橢圓交于A，B兩點，且0(O為坐標(biāo)原點)(1)求橢圓C的方程；(2)試判斷是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由解(1)橢圓C的離心率e，又c2a2b2，a2a2b2，a24b2.又點P在橢圓上，1，即1，b21，則a24，橢圓C的方程為y21.(2)當(dāng)直線OA的斜率存在且不為0時，設(shè)其方程為ykx，A，B分別為橢圓上的兩點，且0，即OAOB，直線OB的方程為yx.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，把ykx代入橢圓C：y21，得x，y，同理x，y，.當(dāng)直線OA，OB中的一條直線的斜率不存在時，則另一條直線的斜率為0，此時1.綜上所述，為定值.B組能力提高5已知點M在圓O：x2y24上運動，且存在一定點N，點P(x，y)為線段MN的中點(1)求點P的軌跡C的方程；(2)過A(0,1)且斜率為k的直線l與點P的軌跡C交于不同的兩點E，F(xiàn)，是否存在實數(shù)k，使得12？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由解(1)設(shè)P(x，y)，由中點坐標(biāo)公式，得即x02x6，y02y.點M在圓x2y24上運動，xy4，即224，整理，得2y21.點P的軌跡C的方程為2y21.(2)設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，直線l的方程是ykx1，代入圓2y21.可得x22x90，由32k224k0，得k0.不存在實數(shù)k，使得12.6(2018河北省武邑中學(xué)模擬)已知橢圓C：1(ab0)經(jīng)過點A，且兩個焦點F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)依次為(1,0)和(1,0)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，O為坐標(biāo)原點，直線OE的斜率為k1，直線OF的斜率為k2，若k1k21，證明：直線EF與以原點為圓心的定圓相切，并寫出此定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)由橢圓定義得2a4，即a2，又c1，所以b