（浙江專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)第八章平面解析幾何第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系教案（含解析）.docx

第二節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1l2.(2)兩條直線垂直：如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k21.當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1l2.2兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解3三種距離公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2|點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d平行線AxByC10與AxByC20間距離d小題體驗(yàn)1(2018金華四校聯(lián)考)直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則m()A2B3C2或3 D2或3解析：選C直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，解得m2或3.2“a”是“直線(a1)x3ay10與直線(a1)x(a1)y30相互垂直”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A由直線(a1)x3ay10與直線(a1)x(a1)y30相互垂直，得(a1)(a1)3a(a1)0，即4a23a10，解得a或1，“a”是“直線(a1)x3ay10與直線(a1)x(a1)y30相互垂直”的充分不必要條件，故選A.3(2018浙江五校聯(lián)考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,1x)，xR，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)，它到原點(diǎn)距離的最小值為_(kāi)解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則y1x，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為xy10.原點(diǎn)到直線xy10的距離為d，即為所求原點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的最小值答案：xy101在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，易忽視斜率是否存在，兩條直線都有斜率可根據(jù)條件進(jìn)行判斷，若無(wú)斜率，要單獨(dú)考慮2運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時(shí)易忽視兩方程中的x，y的系數(shù)分別相等這一條件盲目套用公式導(dǎo)致出錯(cuò)小題糾偏1已知P：直線l1：xy10與直線l2：xay20平行，Q：a1，則P是Q的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選A由于直線l1：xy10與直線l2：xay20平行的充要條件是1a(1)10，即a1.所以P是Q的充要條件2(2018安慶模擬)若直線l1：x3ym0(m0)與直線l2：2x6y30的距離為，則m()A7 B.C14 D17解析：選B直線l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因?yàn)樗c直線l2：2x6y30的距離為，所以，解得m.(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)題組練透1已知a0，直線ax(b2)y40與直線ax(b2)y30互相垂直，則ab的最大值為()A0B2C4 D.解析：選B若b2，兩直線方程分別為yx1和x，此時(shí)兩直線相交但不垂直若b2，兩直線方程分別為x和yx，此時(shí)兩直線相交但不垂直若b2，兩直線方程分別為yx和yx，此時(shí)兩直線的斜率分別為，由1，得a2b24.因?yàn)閍2b242ab，所以ab2，且當(dāng)ab或ab時(shí)取等號(hào)，故ab的最大值為2.2(2018諸暨模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線axby60與直線2x(b3)y50平行，則2a3b的最小值為_(kāi)解析：由兩直線平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b為正數(shù)，所以2a3b(2a3b)13132 25，當(dāng)且僅當(dāng)ab5時(shí)取等號(hào)，故2a3b的最小值為25.答案：253已知兩直線l1：mx8yn0和l2：2xmy10，試確定m，n的值，使(1)l1與l2相交于點(diǎn)P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y軸上的截距為1.解：(1)由題意得解得m1，n7.即m1，n7時(shí)，l1與l2相交于點(diǎn)P(m，1)(2)l1l2，解得或即m4，n2或m4，n2時(shí)，l1l2.(3)當(dāng)且僅當(dāng)2m8m0，即m0時(shí)，l1l2.又1，n8.即m0，n8時(shí)，l1l2，且l1在y軸上的截距為1.謹(jǐn)記通法1已知兩直線的斜率存在，判斷兩直線平行垂直的方法(1)兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等；(2)兩直線垂直兩直線的斜率之積等于1.提醒當(dāng)直線斜率不確定時(shí)，要注意斜率不存在的情況2由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1xB1yC10(AB0) l2：A2xB2yC20(AB0)l1與l2垂直的充要條件A1A2B1B20l1與l2平行的充分條件(A2B2C20)l1與l2相交的充分條件(A2B20)l1與l2重合的充分條件(A2B2C20)提醒在判斷兩直線位置關(guān)系時(shí)，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時(shí)，建議多用比例式來(lái)解答典例引領(lǐng)1(2018衢州模擬)若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2間的距離為()A.B.C. D.解析：選B因?yàn)閘1l2，所以，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1與l2之間的距離d.2直線3x4y30上一點(diǎn)P與點(diǎn)Q(2，2)的連線的最小值是_解析：點(diǎn)Q到直線的距離即為P，Q兩點(diǎn)連線的最小值，|PQ|min1.答案：13若直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(4,5)的距離相等，則直線l的方程為_(kāi)解析：法一：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由題意知，即|3k1|3k3|，k.直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x1，也符合題意故所求直線l的方程為x3y50或x1.法二：當(dāng)ABl時(shí)，有kkAB，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)l過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(1,4)直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.答案：x3y50或x1由題悟法處理距離問(wèn)題的2大策略(1)點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題可直接代入點(diǎn)到直線的距離公式去求(2)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離相等，一般不直接利用兩點(diǎn)間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)在兩定點(diǎn)所在線段的垂直平分線上，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便即時(shí)應(yīng)用1已知P是直線2x3y60上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)，若|PO|PA|，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)解析：法一：設(shè)P(a，b)，則解得a3，b4.P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4)法二：線段OA的中垂線方程為xy10，則由解得則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4)答案：(3,4)2已知直線l：axy10和點(diǎn)A(1,2)，B(3,6)若點(diǎn)A，B到直線l的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)解析：法一：要使點(diǎn)A，B到直線l的距離相等，則ABl，或A，B的中點(diǎn)(2,4)在直線l上所以a2或2a410，解得a2或.法二：要使點(diǎn)A，B到直線l的距離相等，則，解得a2或.答案：2或鎖定考向?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題是高考常考內(nèi)容之一，也是考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力的一種常見(jiàn)題型常見(jiàn)的命題角度有：(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；(2)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(chēng)；(3)線關(guān)于線對(duì)稱(chēng)題點(diǎn)全練角度一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)1過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為_(kāi)解析：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,82a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B(a,2a6)在l2上，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以由兩點(diǎn)式得直線l的方程為x4y40.答案：x4y402已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A(1，2)，則直線l關(guān)于點(diǎn)A(1，2)對(duì)稱(chēng)的直線l的方程為_(kāi)解析：法一：在l：2x3y10上任取兩點(diǎn)，如M(1,1)，N(4，3)，則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，N均在直線l上易知M(3，5)，N(6，7)，由兩點(diǎn)式可得l的方程為2x3y90.法二：設(shè)P(x，y)為l上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(1，2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(2x，4y)，P在直線l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.答案：2x3y90角度二：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(chēng)3已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A(1，2)求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)直線m的方程解：(1)設(shè)A(x，y)，則解得A.(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M必在直線m上設(shè)M(a，b)，則解得M.設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則由得N(4,3)又m經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)，由兩點(diǎn)式得直線m的方程為9x46y1020.角度三：線關(guān)于線對(duì)稱(chēng)4直線2xy30關(guān)于直線xy20對(duì)稱(chēng)的直線方程是()Ax2y30Bx2y30Cx2y10 Dx2y10解析：選A設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，則P關(guān)于xy20的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(x0，y0)，由得由點(diǎn)P(x0，y0)在直線2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.通法在握1中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的2個(gè)類(lèi)型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，主要求解方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱(chēng)直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程2軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的2個(gè)類(lèi)型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)：若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：AxByC0對(duì)稱(chēng)，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)：一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱(chēng)軸相交；二是已知直線與對(duì)稱(chēng)軸平行演練沖關(guān)1已知直線y2x是ABC中C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)解析：選C設(shè)A(4,2)關(guān)于直線y2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x，y)，則解得BC所在直線的方程為y1(x3)，即3xy100.同理可得點(diǎn)B(3,1)關(guān)于直線y2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(1,3)，AC所在直線的方程為y2(x4)，即x3y100.聯(lián)立解得可得C(2,4)2已知入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,4)，被直線l：xy30反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為_(kāi)解析：設(shè)點(diǎn)M(3,4)關(guān)于直線l：xy30的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M(a，b)，則反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)M，所以解得a1，b0.又反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,6)，所以所求直線的方程為，即6xy60.答案：6xy603已知ABC中，頂點(diǎn)A(4,5)，點(diǎn)B在直線l：2xy20上，點(diǎn)C在x軸上，求ABC周長(zhǎng)的最小值解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l：2xy20的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A1(x1，y1)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A2(x2，y2)，連接A1A2交l于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C，則此時(shí)ABC的周長(zhǎng)取最小值，且最小值為.A1與A關(guān)于直線l：2xy20對(duì)稱(chēng)，解得A1(0,7)易求得A2(4，5)，ABC周長(zhǎng)的最小值為4.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)“a1”是“直線ax3y30和直線x(a2)y10平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C因?yàn)橹本€ax3y30和直線x(a2)y10平行的充要條件是解得a1，故選C.2(2018麗水調(diào)研)已知直線l1過(guò)點(diǎn)(2,0)且傾斜角為30，直線l2過(guò)點(diǎn)(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A(3，) B(2，)C(1，) D.解析：選C直線l1的斜率為k1tan 30，因?yàn)橹本€l2與直線l1垂直，所以k2，所以直線l1的方程為y(x2)，直線l2的方程為y(x2)兩式聯(lián)立，解得即直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)3(2018諸暨期初)已知點(diǎn)A(7，4)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B(5,6)，則該對(duì)稱(chēng)直線l的方程為()A6x5y10 B5x6y10 C5x6y10 D6x5y10 解析：選D由題可得，直線l是線段AB的垂直平分線因?yàn)锳(7，4)，B(5,6)，所以kAB，所以kl.又因?yàn)锳(7，4)，B(5,6)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)所以直線l的方程為y1(x1)，即6x5y10.4已知點(diǎn)P(4，a)到直線4x3y10的距離不大于3，則a的取值范圍是_解析：由題意得，點(diǎn)P到直線的距離為.因?yàn)?，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范圍是0,10答案：0,105若兩平行直線3x2y10,6xayc0之間的距離為，則c的值是_解析：依題意知，解得a4，c2，即直線6xayc0可化為3x2y0，又兩平行直線之間的距離為，所以，解得c2或6.答案：2或6二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2018舟山調(diào)研)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，過(guò)定點(diǎn)P的直線l：axy10與過(guò)定點(diǎn)Q的直線m：xay30相交于點(diǎn)M，則|MP|2|MQ|2的值為()A. B.C5 D10解析：選D由題意知P(0,1)，Q(3,0)，過(guò)定點(diǎn)P的直線axy10與過(guò)定點(diǎn)Q的直線xay30垂直，M位于以PQ為直徑的圓上，|PQ|，|MP|2|MQ|2|PQ|210.2(2018慈溪模擬)曲線y2xx3在x1處的切線為l，則點(diǎn)P(3,2)到直線l的距離為()A. B.C. D.解析：選A由題可得，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)y23x2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，該切線的斜率為k231，所以切線的方程為xy20.所以點(diǎn)P(3,2)到直線l的距離為d.3(2018綿陽(yáng)模擬)若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A. B.C. D.解析：選C因?yàn)?，所以兩直線平行，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為.4(2018廈門(mén)模擬)將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則mn等于()A. B.C. D.解析：選A由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y2x3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，則解得故mn.5(2018欽州期中)已知直線l的方程為f(x，y)0，P1(x1，y1)和P2(x2，y2)分別為直線l上和l外的點(diǎn)，則方程f(x，y)f(x1，y1)f(x2，y2)0表示()A過(guò)點(diǎn)P1且與l垂直的直線B與l重合的直線C過(guò)點(diǎn)P2且與l平行的直線D不過(guò)點(diǎn)P2，但與l平行的直線解析：選C由直線l的方程為f(x，y)0，知方程f(x，y)f(x1，y1)f(x2，y2)0表示與l平行的直線，P1(x1，y1)為直線l上的點(diǎn)，則f(x1，y1)0，f(x，y)f(x1，y1)f(x2，y2)0化為f(x，y)f(x2，y2)0，顯然P2(x2，y2)滿足方程f(x，y)f(x1，y1)f(x2，y2)0，所以f(x，y)f(x1，y1)f(x2，y2)0表示過(guò)點(diǎn)P2且與l平行的直線故選C.6已知三角形的一個(gè)頂點(diǎn)A(4，1)，它的兩條角平分線所在直線的方程分別為l1：xy10和l2：x10，則BC邊所在直線的方程為_(kāi)解析：A不在這兩條角平分線上，因此l1，l2是另兩個(gè)角的角平分線點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，點(diǎn)A關(guān)于直線l2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2均在邊BC所在直線l上設(shè)A1(x1，y1)，則有解得所以A1(0,3)同理設(shè)A2(x2，y2)，易求得A2(2，1)所以BC邊所在直線方程為2xy30.答案：2xy307(2018余姚檢測(cè))已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(2,2)，B(4，2)等距離，則直線l的方程為_(kāi)解析：顯然直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意；設(shè)所求直線方程為y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直線l的方程為2xy20或2x3y180.答案：2xy20或2x3y1808.如圖所示，已知兩點(diǎn)A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi)解析：易得AB所在的直線方程為xy4，由于點(diǎn)P關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為A1(4,2)，點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為A2(2,0)，則光線所