方陣的特征值與特征向量.ppt

1,第5.1節(jié) 矩陣的特征值 與特征向量,線性代數(shù),2,主要內(nèi)容:,一、方陣的特征值與特征向量,二、特征向量的性質(zhì),三、小結(jié) 思考與練習,3,一. 方陣的特征值與特征向量,1. 特征值與特征向量的定義,定義1:,注：,設(shè) 是 階方陣，,若數(shù) 和 維非零列向量 ，使得,成立，則稱,是方陣 的一個特征值，,為方陣 的對應于特征值 的一個特征向量。,是方陣,(2) 特征向量 是非零列向量,(Eigenvectors and Eigenvalues),4,2. 特征向量的幾何意義： 特征向量的方向經(jīng)過線性變換后，保持在同一條直線 上 ,這時或者方向不變 或者方向相反 , 至于 時，特征向量就被線性變換變成 0.,5,注: (1)特征值與特征向量在物理、力學、工程技術(shù)中有著廣泛的應用。如：機械、結(jié)構(gòu)或電磁振動中的固有值問題；物理學中的各種臨界值問題;方陣的對角化及解微分方程組的問題等。這些問題中特征值的計算往往意義重大。,(2)如果 是一個不可逆的方陣,則線性方程組 有非零解, 即 故不可逆方陣必有零特征值 .,(3)一些實際問題中,常常會涉及到一系列的運算,由特征值和特征向量的關(guān)系,可以化簡這些運算.,6,3. 特征值與特征向量的求法,或,或,是關(guān)于 的一個多項式，稱為矩陣 的特征多項式。,7,8,稱為矩陣A的跡。（主對角元素之和）,定理1：,9,另一方面,由多項式相等,系數(shù)相等,即(1)得證.,10,求A的特征值與特征向量的步驟:,11,解：,第一步：寫出矩陣A的特征方程，求出特征值.,特征值為,12,系數(shù)矩陣,自由未知量:,令 得基礎(chǔ)解系:,13,得基礎(chǔ)解系,14,15,若 可逆，則 的特征值是,的特征值是,且 仍然是矩陣,分別對應于 的特征向量。,例3：,16,證明,17,18,19,20,練習題1: 已知三階矩陣A的三個特征值為1，2，3,則A的 行列式等于_, A-1的三個特征值為_,A2+2 A+3E 的三個特征值_，| +2 A+3E |=_.,練習題2: 已知 =2 是非奇異矩陣A的特征值，則矩陣 有一個特征值為_ .,21,練習題3: 判斷下列命題是否正確,(1) 如果,向量構(gòu)成的集合,是方陣,的特征值，則,對應的特征,(2) 方陣,(錯),的任何一個特征值一定對應無窮多個特征向量;,(對),(3) 由于方陣,和,有一樣的特征值, 故他們也有一樣的,特征向量.,(錯),(4) 如果,階方陣,的,個特征值全為0, 則,一定是,零矩陣.,(錯),22,二、特征向量的性質(zhì),結(jié)論:,定理2:,23,定理3:,定理4:,結(jié)論:,24,三、小結(jié) 思考與練習,(2) 求矩陣特征值與特征向量的步驟：,(1) 矩陣特征值與特征向量的概念,(3) 矩陣特征值與特征向量一些結(jié)論：,25,(4) 特征向量的性質(zhì),26,思考題,解答:,27