浙江專用2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí)第六章平面向量復(fù)數(shù)6.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示講義

6.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示最新考綱考情考向分析1.理解平面向量基本定理及其意義，會(huì)用平面向量基本定理解決簡單問題2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3.掌握平面向量的加法、減法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算.主要考查平面向量基本定理、向量加法、減法、數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平面向量共線的坐標(biāo)表示，考查向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算推理能力、數(shù)形結(jié)合能力，常與三角函數(shù)綜合交匯考查，突出向量的工具性一般以選擇題、填空題的形式考查，偶爾有與三角函數(shù)綜合在一起考查的解答題，屬于中檔題.1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共線x1y2x2y10.概念方法微思考1若兩個(gè)向量存在夾角，則向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？為什么？提示不一樣因?yàn)橄蛄坑蟹较颍本€不考慮方向當(dāng)向量的夾角為直角或銳角時(shí)，與直線的夾角相同當(dāng)向量的夾角為鈍角或平角時(shí)，與直線的夾角不一樣2平面內(nèi)的任一向量可以用任意兩個(gè)非零向量表示嗎？提示不一定當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，這兩個(gè)向量就不能表示，即兩向量只有不共線時(shí)，才能作為一組基底表示平面內(nèi)的任一向量題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(3)在等邊三角形ABC中，向量與的夾角為60.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.()(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)()(6)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變()題組二教材改編2P97例5已知ABCD的頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_答案(1,5)解析設(shè)D(x，y)，則由，得(4,1)(5x,6y)，即解得3P119A組T9已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則_.答案解析由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb與a2b共線，得，所以.題組三易錯(cuò)自糾4設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，若1e12e20，則12_.答案05已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量_.答案(7，4)解析根據(jù)題意得(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)6已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.答案6解析因?yàn)閍b，所以(2)m430，解得m6.題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1如圖，已知OCB中，A是CB的中點(diǎn)，D是將分成21的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求實(shí)數(shù)的值解(1)由題意知，A是BC的中點(diǎn)，且，由平行四邊形法則，得2，所以22ab，(2ab)b2ab.(2)由題意知，故設(shè)x.因?yàn)?2ab)a(2)ab，2ab.所以(2)abx.因?yàn)閍與b不共線，由平面向量基本定理，得解得故.思維升華應(yīng)用平面向量基本定理的注意事項(xiàng)(1)選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來(2)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等(3)強(qiáng)化共線向量定理的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又t，則t的值為_答案解析，32，即22，2，即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，如圖所示A，M，Q三點(diǎn)共線，x(1x)(x1)，而，.又，由已知t，可得t，又，不共線，解得t.題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)已知點(diǎn)M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)答案A解析設(shè)N(x，y)，則(x5，y6)(3,6)，x2，y0.(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，ambnc(m，nR)，則mn_.答案2解析由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)mbnc(6mn，3m8n)，解得mn2.思維升華平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)(2)解題過程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練2線段AB的端點(diǎn)為A(x,5)，B(2，y)，直線AB上的點(diǎn)C(1,1)，使|2|，則xy_.答案2或6解析由已知得(1x，4)，22(3,1y)由|2|，可得2，則當(dāng)2時(shí)，有解得此時(shí)xy2；當(dāng)2時(shí)，有解得此時(shí)xy6.綜上可知，xy2或6.題型三向量共線的坐標(biāo)表示命題點(diǎn)1利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)例3已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_答案(3,3)解析方法一由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)又(2,6)，由與共線，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)方法二設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則(x，y)，因?yàn)?4,4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且與共線，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)命題點(diǎn)2利用向量共線求參數(shù)例4已知平面向量a(2，1)，b(1,1)，c(5,1)，若(akb)c，則實(shí)數(shù)k的值為()AB.C2D.答案B解析因?yàn)閍(2，1)，b(1,1)，所以akb(2k，1k)，又c(5,1)，由(akb)c，得(2k)15(k1)，解得k，故選B.思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為a(R)跟蹤訓(xùn)練3(1)已知a(2，m)，b(1，2)，若a(a2b)，則m的值是()A4B1C0D2答案A解析a2b(4，m4)，由a(a2b)，得2(m4)4m，m4，故選A.(2)已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值是_答案解析(4k，7)，(2k，2)A，B，C三點(diǎn)共線，共線，2(4k)7(2k)，解得k.1已知M(3，2)，N(5，1)，且，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(8,1) B.C.D(8，1)答案B解析設(shè)P(x，y)，則(x3，y2)而(8,1)，解得P.故選B.2若向量(2,0)，(1,1)，則等于()A(3,1) B(4,2)C(5,3) D(4,3)答案B解析(3,1)，又(1,1)，則(1,1)，所以(4,2)故選B.3已知向量a(1,2)，b(2，t)，且ab，則|ab|等于()A.B.C.D5答案B解析根據(jù)題意可得1t2(2)，可得t4，所以ab(1，2)，從而可求得|ab|，故選B.4已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a(1,2)，b(m，3m2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成cab(，為實(shí)數(shù))，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)答案D解析由題意知向量a，b不共線，故2m3m2，即m2.5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)，AOC，且|OC|2，若，則等于()A2B.C2D4答案A解析因?yàn)閨OC|2，AOC，所以C(，)，又，所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.6已知向量m與向量n(3，sinAcosA)共線，其中A是ABC的內(nèi)角，則角A的大小為()A.B.C.D.答案C解析mn，sinA(sinAcosA)0，2sin2A2sinAcosA3，1cos2Asin2A3，sin1，A(0，)，2A.2A，解得A，故選C.7已知向量a(1，x)，b(x,3)，若a與b共線，則|a|_.答案2解析由a與b共線得13x20，解得x，所以|a|2.8設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_答案(4，2)解析b(2,1)，且a與b的方向相反，設(shè)a(2，)(0)|a|2，42220，24，2.a(4，2)9(2018全國)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，則_.答案解析由題意得2ab(4,2)，因?yàn)閏(2ab)，所以42，得.10已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是_答案k1解析若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量，不共線(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.11已知a(1,0)，b(2,1)，(1)當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a2b共線；(2)若2a3b，amb且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab與a2b共線，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)方法一A，B，C三點(diǎn)共線，即2a3b(amb)，解得m.方法二2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)，A，B，C三點(diǎn)共線，8m3(2m1)0，即2m30，m.12.如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2.若(，R)，求的值解方法一如圖，作平行四邊形OB1CA1，則，因?yàn)榕c的夾角為120，與的夾角為30，所以B1OC90.在RtOB1C中，OCB130，|2，所以|2，|4，所以|4，所以42，所以4，2，所以6.方法二以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B，C(3，)由，得解得所以6.13.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DECD，若點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，且，則等于()A3B.C2D1答案B解析由題意，設(shè)正方形的邊長為1，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，則B(1,0)，E(1,1)，(1,0)，(1,1)，(，)，又P為CD的中點(diǎn)，1，.14在矩形ABCD中，AB1，AD2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上若，則的最大值為()A3B2C.D2答案A解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)設(shè)BD與圓C切于點(diǎn)E，連接CE，則CEBD.CD1，BC2，BD，EC，即圓C的半徑為，P點(diǎn)的軌跡方程為(x2)2(y1)2.設(shè)P(x0，y0)，則(為參數(shù))，而(x0，y0)，(0,1)，(2,0)(0,1)(2,0)(2，)，x01cos，y01sin.兩式相加，得1sin1cos2sin()3，當(dāng)2k，kZ時(shí)，取得最大值3.故選A.15如圖，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線BD為圓的直徑，AB，AD4，CD1，點(diǎn)E在BC上，且t(tR)，則的值為_答案解析方法一易知ABAD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(，0)，D(0,4)，設(shè)C(x，y)，由CD1，得x2(y4)21.又對角線BD為圓的直徑，所以2(y2)2，由，可得C.則2.方法二cosADCcos(ADBCDB)cosADBcosCDBsinADBsinCDB.在ADC中，由余弦定理得，AC2AD2CD22ADCDcosADC