2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1學(xué)案新人教A版.doc

2.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫(huà)出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形.知識(shí)點(diǎn)一橢圓的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)坐標(biāo)思考1觀察橢圓1(ab0)的形狀(如圖)，你能從圖中看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱性？橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？答案(1)范圍：axa，byb；(2)對(duì)稱性：橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱；(3)特殊點(diǎn)：頂點(diǎn)A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b).思考2在畫(huà)橢圓圖形時(shí)，怎樣才能畫(huà)的更準(zhǔn)確些？答案在畫(huà)橢圓時(shí)，可先畫(huà)一個(gè)矩形，矩形的頂點(diǎn)為(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b).梳理橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(c，0)(0，c)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸軸對(duì)稱，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)范圍|x|a，|y|b|x|b，|y|a長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)軸A1A2長(zhǎng)為2a，短軸B1B2長(zhǎng)為2b知識(shí)點(diǎn)二橢圓的離心率思考如何刻畫(huà)橢圓的扁圓程度？答案用離心率刻畫(huà)扁圓程度，e越接近于0，橢圓越接近于圓，反之，越扁.梳理(1)橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱為橢圓的離心率.(2)對(duì)于1，b越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓越接近于圓，于是，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，c0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變成圓，方程變?yōu)閤2y2a2.(如圖)類型一由橢圓方程研究其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例1求橢圓9x216y2144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).解已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為1，于是a4，b3，c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是2a8和2b6，離心率e，又知焦點(diǎn)在x軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(，0)和(，0)，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(4，0)，(4，0)，(0，3)和(0，3).引申探究本例中若把橢圓方程改為“9x216y21”求其長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).解由已知得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1，于是a，b，c.長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b，離心率e.焦點(diǎn)坐標(biāo)(，0)和(，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)(，0)，(0，).反思與感悟解決此類問(wèn)題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量.跟蹤訓(xùn)練1求橢圓9x2y281的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，則a9，b3，c6，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a18; 短軸長(zhǎng)2b6；焦點(diǎn)坐標(biāo)(0，6)，(0，6)；頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，9)，(0，9)，(3，0)，(3，0).離心率e.類型二橢圓的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)單應(yīng)用命題角度1依據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2如圖所示，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)F與短軸兩個(gè)端點(diǎn)B1，B2的連線互相垂直，且這個(gè)焦點(diǎn)與較近的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)A的距離為，求這個(gè)橢圓的方程.解依題意，設(shè)橢圓的方程為1(ab0)，由橢圓的對(duì)稱性知|B1F|B2F|，又B1FB2F，B1FB2為等腰直角三角形，|OB2|OF|，即bc，|FA|，即ac，且a2b2c2，將上面三式聯(lián)立，得解得所求橢圓方程為1.反思與感悟此類問(wèn)題應(yīng)由所給的幾何性質(zhì)充分找出a，b，c所應(yīng)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求出a，b，在求解時(shí)，需注意橢圓的焦點(diǎn)位置.跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)下列條件，求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓方程：(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)(2，6)；(2)焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)連線互相垂直，且半焦距為6.解(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為1(ab0).依題意有解得橢圓方程為1.同樣地可求出當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為1.故所求的橢圓方程為1或1.(2)依題意有bc6，a2b2c272，所求的橢圓方程為1.命題角度2對(duì)稱性問(wèn)題例3討論方程x3yx2y2xy31所表示的曲線關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)的對(duì)稱性.解用“y”代替方程x3yx2y2xy31中的“y”，得x3yx2y2xy31，它改變了原方程，因此方程x3yx2y2xy31所表示的曲線不關(guān)于x軸對(duì)稱.同理，方程x3yx2y2xy31所表示的曲線也不關(guān)于y軸對(duì)稱.而用“x”代替原方程中的“x”，用“y”代替原方程中的“y”，得(x)3(y)(x)2(y)2(x)(y)31，即x3yx2y2xy31，故方程x3yx2y2xy31所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.反思與感悟研究曲線關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)的對(duì)稱性，只需用“y”代替方程中“y”，用“x”代替方程中的“x”，同時(shí)代替，若方程不變，則得到相應(yīng)的對(duì)稱性.跟蹤訓(xùn)練3曲線x22y10的對(duì)稱軸為()A.x軸 B.y軸 C.直線yx D.無(wú)法確定答案B解析保持y不變，以“x”代替方程中“x”，方程不變，故該曲線關(guān)于y軸對(duì)稱.命題角度3最值問(wèn)題例4橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e，已知點(diǎn)P(0，)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程.解設(shè)所求橢圓方程為1(ab0).，a2b.橢圓方程為1.設(shè)橢圓上點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)P(0，)的距離為d，則d2x2(y)24b2(1)y23y3(y)24b23.(*)(1)當(dāng)b，即b時(shí)，df()4b237，解得b1，橢圓方程為y21.(2)當(dāng)b，即b，與b矛盾.綜上所述，所求橢圓方程為y21.反思與感悟求解橢圓的最值問(wèn)題的基本方法有兩種(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義及對(duì)稱知識(shí)求解；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)式的特征選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼饽繕?biāo)函數(shù)的最值.常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.跟蹤訓(xùn)練4已知橢圓1(3m5)，過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右依次為A，B，C，D，記f(m)|AB|CD|.(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最大值和最小值.解(1)設(shè)點(diǎn)A，B，C，D在x軸上的射影分別為A(x1，0)，B(x2，0)，C(x3，0)，D(x4，0)，則|AB|x2x1|，|CD|x4x3|.又x1x40，且x1x2x3b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，斜率為k的直線l過(guò)左焦點(diǎn)F1且與橢圓的交點(diǎn)為A，B，與y軸的交點(diǎn)為C，且B為線段CF1的中點(diǎn)，若|k|，求橢圓離心率e的取值范圍.解依題意得F1(c，0)，直線l：yk(xc)，則C(0，kc).因?yàn)辄c(diǎn)B為CF1的中點(diǎn)，所以B(，).因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓上，所以1，即1.所以1，所以k2.由|k|，得k2，即，所以2e417e280.解得e28.因?yàn)?e1，所以e21，即eb0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為，則此橢圓的離心率為_(kāi).答案解析一方面PF1F2的面積為(2a2c)r；另一方面PF1F2的面積為|yp|2c，(2a2c)r|yp|2c，(ac)r|yp|c，.1，又yp4，11，橢圓的離心率為e.1.已知橢圓的方程為2x23y2m(m0)，則此橢圓的離心率為()A. B. C. D.答案B解析由2x23y2m(m0)，得1，c2，e2，e.2.與橢圓9x24y236有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B.x21 C.y21 D.1答案B解析由已知c，b1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.3.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，有一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3，0)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).答案1解析據(jù)題意a5，c3，故b4，又焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.4.已知點(diǎn)(m，n)在橢圓8x23y224上，則2m4的取值范圍是_.答案42，42解析因?yàn)辄c(diǎn)(m，n)在橢圓8x23y224上，即在橢圓1上，所以點(diǎn)(m，n)滿足橢圓的范圍|x|，|y|2，因此|m|，即m，所以2m442，42.5. 已知橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0，13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(10，0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi).答案(0，)解析由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a13，b10，則c，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，).1.可以應(yīng)用橢圓的定義和方程，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，再結(jié)合代數(shù)知識(shí)解題.而橢圓的定義與三角形的兩邊之和聯(lián)系緊密，因此，涉及線段的問(wèn)題常利用三角形兩邊之和大于第三邊這一結(jié)論處理.2.橢圓的定義式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，在解題中經(jīng)常將|PF1|PF2|看成一個(gè)整體靈活應(yīng)用.3.利用正弦、余弦定理處理PF1F2的有關(guān)問(wèn)題.4.橢圓上的點(diǎn)到一焦點(diǎn)的最大距離為ac，最小距離為ac.40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.橢圓4x249y2196的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是()A.7，2， B.14，4，C.7，2， D.14，4，答案B解析先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：1，其中b2，a7，c3.2.焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)之和為10，焦距為4，則橢圓的方程為()A.1 B.1 C.1 D.1答案A解析依題意得c2， ab10 ，又a2b2c2從而解得a6，b4.3.若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1的離心率為，則m等于()A. B. C. D.答案B解析a22，b2m，e ，m.4.橢圓(m1)x2my21的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是()A. B. C. D.答案C解析橢圓方程可簡(jiǎn)化為1，由題意知m0，b0)的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|2，離心率e，則橢圓方程為()A.1 B.y21 C.1 D.1答案C解析因?yàn)閨F1F2|2，離心率e，所以c1，a2，所以b23，橢圓方程為1.6.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左，右焦點(diǎn)，P為直線x上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為()A. B. C. D.答案C解析設(shè)直線x與x軸交于點(diǎn)M，則PF2M60，在RtPF2M中，|PF2|F1F2|2c，|F2M|c，故cos 60，解得，故離心率e.二、填空題7.已知橢圓C的上，下頂點(diǎn)分別為B1，B2，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若四邊形B1F1B2F2是正方形，則此橢圓的離心率e_.答案解析因?yàn)樗倪呅蜝1F1B2F2是正方形，所以bc，所以a2b2c22c2，所以e.8.若橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)(1，)作圓x2y21的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的方程是_.答案1解析x1是圓x2y21的一條切線.橢圓的右焦點(diǎn)為(1，0)，即c1.設(shè)P(1，)，則kOP，OPAB，kAB2，則直線AB的方程為y2(x1)，它與y軸的交點(diǎn)為(0，2).b2，a2b2c25，故橢圓的方程為1.9.若橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且焦距為2，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).答案1或1解析由題意可知a2b，c1，所以1b24b2，故b2，a2，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.10.已知P點(diǎn)是橢圓1(ab0)上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，且F1PF260，則這樣的點(diǎn)P有_個(gè).答案4解析依據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，四個(gè)象限內(nèi)各有一個(gè)符合要求的點(diǎn).三、解答題11.已知橢圓C1：1，設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別相等，且橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上.(1)求橢圓C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)寫(xiě)出橢圓C2的方程，并研究其性質(zhì).解(1)由橢圓C1：1可得其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為10，短半軸長(zhǎng)為8，焦點(diǎn)坐標(biāo)(6，0)，(6，0)，離心率e.(2)橢圓C2：1，性質(zhì)：范圍：8x8，10y10；對(duì)稱性：關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；頂點(diǎn)：長(zhǎng)軸端點(diǎn)(0，10)，(0，10)，短軸端點(diǎn)(8，0)，(8，0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)(0，6)，(0，6)；離心率：e.12.若橢圓1(k2)的離心率為e，求k的值.解當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2k2，b24，