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第一講 基本數列及其性質本講概述等差數列與等比數列是最常見的數列，有相當多的數列問題最后可歸結或轉化到等差等比數列問題這兩種基本模型中來.絕大部分等差等比數列的問題都要用到下面最基本的四個公式：等差數列通項公式： 前n項和公式： 其中d為公差等比數列通項公式： 前n項和公式： 其中q為公比任意數列通項與前n項和間關系：1、等差數列的常用性質 （1）等差中項： （2）任意兩項之間關系： （3）當時， （4）2、等比數列的常用性質（1）等比中項： （2）任意兩項之間關系： （3）當時， （4）對于的無窮等比數列，其各項和公式為以上性質均極易證明，請各位同學自證.3、數列求和中經常會用到以下公式：例題精講 【例1】 設等差數列的首項和公差均為非負整數，項數不小于3且各項的和為972，則這樣的數列共有_個【解析】 符合條件的等差數列共有4個注 本題為1997年全國高中聯賽題【例2】 各項為實數的等比數列an，前n項的和為Sn，若S1010，S3070，則S40等于( )A150 B200 C150或200 D400或50【解析】 故選A注 本題為1998年全國高中聯賽題【例3】 試證明【解析】 先證平方和公式：構造恒等式： 或者 （*）化簡即得再證立方和公式：記，則，化簡即得注 按照(*)式實際上我們可以依次得到的表達式【例4】 求所有的正整數n3，使得下述命題成立：設a1，a2，an成等差數列，若a12a2nan為有理數，則a1，a2，an中至少有一個數為有理數【解析】 設數列的公差為d，則 如果3|(n1)，那么由上式可知a12a2nan，于是，在a12a2nan為有理數時，為有理數另一方面，若3(n1)時，令，則等差數列a1，a2，an中每一項都是無理數，而a12a2nan0是有理數綜上可知，滿足條件的正整數n構成的集合為n|nN*，n1(mod 3)注 本題為基本功訓練題，首先利用恒等變形給出一個條件中和式的最簡形式，則答案就顯而易見了.解析中第五行也可以根據前面給出的平方和公式直接代入計算.【例5】 數列an的各項為正數，其前n項和Sn滿足Sn，求數列an的通項【解析】【例6】 已知數列an的各項均為正數，且前n項之和Sn滿足3an2若a2、a4、a9成等比數列，求此數列的通項公式【解析】 an3n2【例7】 設an是各項均為正數的等比數列，且Sa1a2an，求an的前n項之積【解析】【例8】 數1，2，3，100能否是12個等比數列的項？【解析】 不能首先證明3個不同的素數不可能在同一個等比數列中假設三個素數p1p2p3，在以a1為首項q為公比的等比數列中，則，其中slk，tml都是正整數從而，上式左邊被P2整除，而右邊不能被P2整除，因而不可能成立由于1至100中含有25個素數，而根據上面所證，每個等比數列中至多含有兩個素數，因此25個素數不可以包含于12個等比數列中所以答案是否定的注 想到考慮素數本題就完成了一半，但是要嚴格地證明還是頗有技巧的【例9】 （*選講） 實數x為有理數的充分必要條件是：數列x，x1，x2， x3，中必有3個不同的項，它們組成等比數列【解析】 證 (1)充分性：若3個不同的項xi，xj，xk成等比數列，且ijk，則，即若ik2j0，則，于是得ijk與ijk矛盾故ik2j0，x且i、j、k都是正整數，故x是有理數(2)必要性：若x為有理數且x0，則必存在正整數k，使xk0令yxk，則正數列y，y1，y2，是原數列x，x1，x2，x3，的一個子數列，只要正數列y，y1，y2，中存在3個不同的項組成等比數列，那么原數列中必有3個不同的項組成等比數列，因此不失一般性，不妨設x0若xN，設q是大于1的正整數，則xqx、都是正整數令ixqx，則ij，即x、xi、xj是數列x，x1，x2，x3，中不同的三項，且x、xi(即xq)、xj(即xq2)成等比數列若x為正分數，設(m、nN，且m、n互質，m1)，可以證明x、xn、x(m2)n這三個不同的項成等比數列，事實上， ，所以xx(m2)n(xn)2，即三項x、xn、x(m2)n成等比數列綜上所述，實數x為有理數的充分必要條件是數列x，x1，x2，x3，中必有3個不同的項它們組成等比數列注 1、以上證明巧妙之處在于：當x是正分數時，在數列x，x1，x2，x3，尋求組成等比數列的三項，這三項是x、xn、x(m2)n2、本題為加拿大1993年高中競賽題，難度較大。本題根據進度可選講大顯身手1 有一群兒童，他們的年齡之和是50歲，其中最大的13歲，另有一個是10歲除10歲兒童外，其余兒童的年齡都是整數且恰好組成一個等差數列，問有幾個兒童？每個兒童是幾歲？【解析】 設除去10歲的兒童外，他們的歲數分別是a、ad、and，且and13，于是a(ad)(and)5010，所以(n1)a，即(n1) (a13) 80 2 給定公比q(q1)的等比數列an，設b1a1a2a3，b2a4a5a6，bna3n2a3n1a3n，則數列是( )A等差數列 B公比為q的等比數列C公比為q3的等比數列 D既非等差數列又非等比數列【解析】 因故選C 注 本題為1999年全國高中聯賽題3 等差數列an中，試求(lm)ab(mn)bc(nl)ca的值【解析】 所求的值為0注 共線關系實際上用公差代換也易得到，本題仍然是一道代數基本運算問題 4 求和：（1） （2） （3）【解析】 （1）原式 （2） （3）由正切公式 得 注 本題提供了幾種常見的數列變形技巧5 （*選做）給定正整數n和正數M.對于滿足條件的所有等差數列a1，a2，a3，試求的最大值【解析】 S的最大值為 注 問題的關鍵在于（*）式，它可以由待定系數得到： 記，比較系數易求得即得原式學習之外 發(fā)信人：ukim（我沒有理想），信區(qū)：Mathemtics標 題：從今天開始連載數學家們的故事發(fā)信站：北大未名站（2002年04月06日14:20:15星期六），轉信一次拓撲課，Minkowski向學生們自負的宣稱：“這個定理沒有證明的最要的原因是至今只有一些三流的數學家在這上面花過時間。下面我就來證明它?！?這節(jié)課結束的時候，沒有證完，到下一次課的時候，Minkowski繼續(xù)證明，一直幾個星期過去了一個陰霾的早上，Minkowski跨入教室，那時候，恰好一道閃電劃過長空，雷聲震耳，Minkowski很嚴肅的說：“上天被我的驕傲激怒了，我的證明是不完全的1942年的時候，Lefschetz去Havard做了個報告，Birkhoff是他的好朋友，講座結束之后，就問他最近在Princeton有沒有什么有意思的東西。Lefschetz說有一個人剛剛證明了四色猜想。Birkhoff嚴重的不相信，說要是這是真的，就用手和膝蓋，直接爬到Princeton的Fine Hall去。有一個人叫做Paul Wolfskehl,大學讀過數學，癡狂的迷戀一個漂亮的女孩子，令他沮喪的是他被無數次被拒絕。感到無所依靠，于是定下了自殺的日子，決定在午夜鐘聲響起的時候，告別這個世界，再也不理會塵世間的事。Wolfskehl在剩下的日子里依然努力的工作，當然不是數學，而是一些商業(yè)的東西，最后一天，他寫了遺囑，并且給他所有的朋友親戚寫了信。由于他的效率比較高的緣故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下的幾個小時，他就跑到了圖書館，隨便翻起了數學書。很快,被Kummer解釋Cauchy等前人做Fermat大定理為什么不行的一篇論文吸引住了。那是一篇偉大的論文，適合要自殺的數學家最后的時刻閱讀。Wol