連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析.ppt

第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析,2.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng) 2.2 奇異函數(shù) 2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2.4 卷積積分 ,2.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng),2.1.1 系統(tǒng)的描述 描述線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)微分方程。對于電系統(tǒng)，列寫數(shù)學(xué)模型的基本依據(jù)有如下兩方面。 1. 元件約束VAR 在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向條件下： (1)電阻R，uR(t)=RiR(t)；,(2)電感L， (3)電容C， (4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關(guān)系等。,2. 結(jié)構(gòu)約束KCL與KVL 下面舉例說明。 例21 圖2.1所示電路，輸入激勵(lì)是電流源iS(t),試列出電流iL(t)及R1上電壓u1(t)為輸出響應(yīng)變量的方程式。,圖2.1 例21圖,解 由KVL，列出電壓方程,對上式求導(dǎo)，考慮到,（2-1）,根據(jù)KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t),(22),整理上式后，可得,(23),例22圖2.2所示電路，試分別列出電流i1(t)、電流i2(t)和電壓uO(t)的數(shù)學(xué)模型。 解,解此聯(lián)立方程，最后求得,(24),(25),(26),圖2.2 例22圖,從上面兩例可得到兩點(diǎn)結(jié)論： (1)解得的數(shù)學(xué)模型，即求得的微分方程的階數(shù)與動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)(即獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù))是一致的。 (2)輸出響應(yīng)無論是iL(t)、u1(t)，或是uC(t)、i1(t)，還是其它別的變量，它們的齊次方程都相同。 這表明，同一系統(tǒng)當(dāng)它的元件參數(shù)確定不變時(shí)，它的自由頻率是唯一的。,2.1.2 微分方程的經(jīng)典解 我們將上面兩個(gè)例子推廣到一般，如果單輸入、單輸出線性非時(shí)變的激勵(lì)為f(t)，其全響應(yīng)為y(t)，則描述線性非時(shí)變系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)與響應(yīng)y(t)之間關(guān)系的是n階常系數(shù)線性微分方程，它可寫為 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) (27) 式中an-1，a1，a0和bm，bm-1，b1，b0均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即為齊次解，用yh(t)表示。非齊次方程的特解用yp(t)表示。即有 y(t)=yh(t)+yp(t) (28) ,1.齊次解 齊次解滿足齊次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 (29) 由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為 n+a n-1n-1+a1+a0=0 (210),(1)特征根均為單根。如果幾個(gè)特征根都互不相同(即無重根)，則微分方程的齊次解 (2) 特征根有重根。若1是特征方程的重根，即有1=2=3=，而其余(n-)個(gè)根+1，+2，n都是單根，則微分方程的齊次解,(211),(212),(3)特征根有一對單復(fù)根。即1, 2=ajb，則微分方程的齊次解 yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (213) (4)特征根有一對m重復(fù)根。即共有m重1,2=ajb的復(fù)根，則微分方程的齊次解,(214),例23 求微分方程y(t)+3y(t)+2 y(t)=f(t)的齊次解。 解 由特征方程2+3+2=0解得特征根1=-1， 2=-2。 因此該方程的齊次解 yh(t)=c1e-t+c2e-2t 例24求微分方程y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)的齊次解。 解 由特征方程2+2+1=0解得二重根1=2=-1，因此該方程的齊次解 yh(t)=c1e-t+c2te-t,例25求微分方程y(t)+y(t)=f(t)的齊次解。 解由特征方程2+1=0解得特征根是一對共軛復(fù)數(shù)1,2=j，因此，該方程的齊次解 yh(t)=c1cost+c2sint 2.特解 特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。表21列出了幾種類型的激勵(lì)函數(shù)f(t)及其所對應(yīng)的特征解yp(t)。選定特解后，將它代入到原微分方程，求出其待定系數(shù)Pi，就可得出特解。,表21 激勵(lì)函數(shù)及所對應(yīng)的解,例26若輸入激勵(lì)f(t)=e-t，試求微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)的特解。 解查表21，因?yàn)閒(t)=e-t，=-1與一個(gè)特征根1=-1相同，因此該方程的特解,將特解yp(t)代入微分方程，有,3.完全解 根據(jù)式(28)，完全解是齊次解與特解之和，如果微分方程的特征根全為單根，則微分方程的全解為,(215),當(dāng)特征根中1為重根，而其余(n-)個(gè)根均為單根時(shí)，方程的全解為,(216),如果微分方程的特征根都是單根，則方程的完全解為式(215)，將給定的初始條件分別代入到式(215)及其各階導(dǎo)數(shù)，可得方程組 y(0)=c1+c2+cn+yp(0) y(0)=1c1+2c2+ncn+yp(0) y(n-1)(0)=n-1 1c1+ n-1 2c2+n-1 ncn+y(n-1)p(0),例27描述某線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)，已知系統(tǒng)的初始條件是y(0)=y(0)=0，輸入激勵(lì)f(t)=e-tu(t)，試求全響應(yīng)y(t)。 解 在例23和例26中已求得該方程的齊次解和特解，它們分別是 yh(t)=c1e-t+c2e-2t yp(t)=te-t 因此，完全解是 y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t,由初始條件y(0)=y(0)=0，有 y(0)=c1+c2=0 y(0)=-c1-2c2+1=0 解得c1=-1，c2=1，所以，全響應(yīng)為 y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)u(t),2.1.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 線性非時(shí)變系統(tǒng)的完全響應(yīng)也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)是激勵(lì)為零時(shí)僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)所引起的響應(yīng)，用yx(t)表示；零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零(即系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能為零)時(shí)，僅由輸入信號所引起的響應(yīng)，用yf(t)表示。這樣，線性非時(shí)變系統(tǒng)的全響應(yīng)將是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，即 y(t)=yx(t)+yf(t) (217),在零輸入條件下，式(27)等式右端均為零，化為齊次方程。若其特征根全為單根，則其零輸入響應(yīng) 式中cxi為待定常數(shù)。 若系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能為零，亦即初始狀態(tài)為零，這時(shí)式(27)仍為非齊次方程。若其特征根均為單根，則其零狀態(tài)響應(yīng),(218),(219),式中cfi為待定常數(shù)。 系統(tǒng)的完全響應(yīng)即可分解為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)，也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，它們的關(guān)系為：,(220),式中,(221),在電路分析中，為確定初始條件，常常利用系統(tǒng)內(nèi)部儲(chǔ)能的連續(xù)性，即電容上電荷的連續(xù)性和電感中磁鏈的連續(xù)性。這就是動(dòng)態(tài)電路中的換路定理。若換路發(fā)生在t=t0時(shí)刻，有,(222),例28如圖2.3(a)所示的電路，已知L=2H，C=0.25F，R1=1，R2=5；電容上初始電壓uC(0-)=3 V,電感初始電流iL(0-)=1A；激勵(lì)電流源i(t)是單位階躍函數(shù)，即i(t)=u(t)A。試求電感電流iL(t)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。 解 圖2.3(a)即例21題。若以iL(t)為輸出變量，已知其微分方程為,將各元件數(shù)值代入得,圖2.3 例28圖,(1)零輸入響應(yīng)。當(dāng)輸入為零時(shí)，電感電流的零輸入應(yīng)滿足齊次方程,其特征根1=-1，2=-2，因此零輸入響應(yīng),已知iLx(0+)=1A，由KVL：,再由 可得,解得 ，故而,(2)零狀態(tài)響應(yīng)。輸入iS(t)=u(t)A。在t0時(shí)， iS(t)=1A ， 代入零狀態(tài)響應(yīng)方程 其齊次解為cf1e-t+cf2e-2t，特解yp(t)=P0。代入原微分方程得P0=1，所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) iLf(t)=cf1e-t+cf2e-2t+1 (t0),已知iLf(0+)=0，且,有,解得,(3) 完全響應(yīng)。,2.2 奇異函數(shù),2.2.1 奇異信號(函數(shù))的時(shí)域描述 1.沖激信號 沖激信號記為(t)，其一般定義式為,(223),圖2.4 沖激信號及延時(shí)沖激信號,沖激信號也可用泛函定義為 圖2.5就是(t)的兩個(gè)工程信號模型。盡管圖中P1(t)與P2(t)不盡相同，但兩者都滿足上述要求。當(dāng)0時(shí)的極限情況都可形成沖激信號(t)。即,(224),圖2.5 (t)的兩個(gè)工程信號,補(bǔ)充說明下面兩點(diǎn)： (1)沖激信號的作用不一定僅是t=0時(shí)刻，可以延時(shí)至任意時(shí)刻t0。以符號(t-t0)表示，其波形圖如圖2.4(b)所示。(t-t0)的定義式為 (t- t0)=0, tt0； (t- t0), t=t0；,且,(225),仿照式(224)同樣有(t-t0)的泛函數(shù)定義 (2)沖激信號具有強(qiáng)度，其強(qiáng)度就是沖激信號對時(shí)間的定積分值，如A(t)表示該沖激信號的強(qiáng)度為A，即有 。沖激信號的強(qiáng)度在圖中以括號注明，以示與信號的幅值相區(qū)分。,(226),2. 階躍信號 階躍信號以符號u(t)表示，其定義為,其波形如圖2.6(a)所示。,圖2.6 階躍信號與延時(shí)階躍信號,階躍信號u(t)在t=0處存在間斷點(diǎn)，在此點(diǎn)u(t)沒有定義。同樣，階躍信號也可延時(shí)任意時(shí)刻t0，以符號u(t-t0)表示，其波形如圖2.6(b)所示，對應(yīng)的表示式為,(227),例29 試用階躍函數(shù)表示圖2.7所示的延時(shí)脈沖信號和方波信號。 解 w1(t)=u(t-t0)-2u(t-2t0)+u(t-3t0) w2(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)+u(t-4)-u(t-5) w3(t)=u(t)+u(t-t0)+u(t-2t0)-u(t-3t0)-u(t-4t0)-u(t-5t0),圖2.7 例29圖,階躍信號最重要的特性是有單邊性。任意連續(xù)時(shí)間信號f(t)(-0)，而t0時(shí)，信號為零，如圖2.8所示。,圖2.8 階躍信號的單邊特性,從階躍信號與沖激信號的定義，可以導(dǎo)出階躍信號與沖激信號之間的關(guān)系，即有,(228),(229),這表明沖激信號是階躍信號的一階導(dǎo)數(shù)，階躍信號是沖激信號的時(shí)間積分。從它們的波形可見，階躍信號u(t)在t=0處有間斷點(diǎn)，對其求導(dǎo)后，即產(chǎn)生沖激信號(t)。以后對信號求導(dǎo)時(shí)，凡不連續(xù)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就用沖激信號或延時(shí)沖激信號來表示，沖激信號的強(qiáng)度就是不連續(xù)點(diǎn)的跳躍值，如圖2.9所示。,圖2.9 沖激信號與階躍信號之間的關(guān)系,3. 斜坡信號 斜坡信號以符號(t)表示，其定義為,(230),還可以表示為,(231),圖2.10 斜坡信號與延遲斜坡信號,還可以表示為 (t-t0)=(t-t0)u(t-t0) (-t) (2 33) 應(yīng)用斜坡信號與階躍信號，可以表示任意的三角脈沖信號，如圖2.11所示。此時(shí)f(t)可寫為 f(t)=(t-1)u(t-1)-(t-2)u(t-2)-u(t-2),(232),圖2.11 斜坡信號表示三角脈沖信號,從階躍信號與斜坡信號的定義，同樣可以導(dǎo)出階躍信號與斜坡信號之間的關(guān)系，即有,(234),(235),4.沖激偶信號 對沖激信號(t)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到一個(gè)新的奇異信號，即沖激偶信號，其表示式為,(236),圖2.12 沖激偶信號,2.2.2 沖激信號的特性 1.篩選特性 如果信號f(t)是一個(gè)在t=t0處連續(xù)的普通函數(shù)，則有 2.取樣特性 如果信號f(t)是一個(gè)在t=t0處連續(xù)的普通函數(shù)，則有 f(t)(t-t0)=f(t0)(t-t0) (238),(2),3. 展縮特性,上式的證明可利用沖激函數(shù)的泛涵定義，即只需證明,(239),(240),4.卷積特性 如果信號f(t)是一個(gè)任意連續(xù)時(shí)間函數(shù)，則有 上式表明任意連續(xù)時(shí)間信號f(t)與沖激信號(t)相卷積，其結(jié)果還是信號f(t)本身。沖激信號的上述特性在信號與系統(tǒng)的分析中具有重要的作用，下面舉例說明沖激信號特性的應(yīng)用。,(241),例210 計(jì)算下列各式的值：,解,2.2.3 初始狀態(tài)等效為信號源 引入奇異函數(shù)概念之后，我們進(jìn)一步討論電容和電感上電壓和電流的關(guān)系。在任意時(shí)刻t，圖2.13(a)中電容端口電壓uC(t)與電容電流i(t)的關(guān)系是,如果選初始時(shí)刻為t=0，那么，在t0的任意時(shí)刻， 上式可寫為,式中u(t)為單位階躍信號。積分下限取0-是考慮到iC(t)可能包括沖激信號(t=0時(shí)的沖激)。如果iC(t)不包含沖激信號，即iC(t)連續(xù)有界，則可不必區(qū)分0-與0+。,或?qū)憺?(242),圖2.13 t0時(shí)，電容的時(shí)域模型,將式(242)求導(dǎo)數(shù)并乘以C，得,(243),移項(xiàng)，有,圖2.1中(a)，(b)，(c)三個(gè)電路對于端口電壓uC(t)和電流iC(t)來說是互相等效的。同理，對于電感L，也有對偶的等效公式和等效電路模型圖如圖2.14所示：,(244),(245),從式(244)、式(245)和圖2.14中可知，具有初始電流iL(0-)的電感L，在t0-的時(shí)間范圍內(nèi)，可用初始狀態(tài)為零的電感L與電流源iL(0-)相并聯(lián)表示，或與電壓源LiL(0-)(t)相串聯(lián)表示。圖2.14中(a)，(b)，(c)三個(gè)電路是互相等效的。,圖2.14 t0時(shí)，電感的時(shí)域模型,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.1 沖激響應(yīng) 一線性非時(shí)變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位沖激信號(t)所引起的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用h(t)表示。亦即，沖激響應(yīng)是激勵(lì)為單位沖激信號(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。其示意圖如圖2.15所示。,圖2.15 沖激響應(yīng)示意圖,1.沖激平衡法 沖激平衡法是指為保持系統(tǒng)對應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程式的恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須相等。根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 例211已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為,試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。,解 根據(jù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的定義，當(dāng)f(t)=(t)時(shí)，即為h(t)，即原動(dòng)態(tài)方程式為 由于動(dòng)態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(t)，為了保持動(dòng)態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)也必須含有(t)。這樣沖激響應(yīng)h(t)必為Aetu(t)的形式?？紤]到該動(dòng)態(tài)方程的特征方程為,特征根1=-3，因此可設(shè)h(t)=Ae-3tu(t)，式中A為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式有,即,解得A=2，因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為,求導(dǎo)后，對含有(t)的項(xiàng)利用沖激信號(t)的取 樣特性進(jìn)行化簡，即,例212 已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 由原方程可得,由于動(dòng)態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(t)，為了保持動(dòng)態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)h(t)最高次h(t)也必須含有(t)。這樣，沖激響應(yīng)h(t)必含有(t)項(xiàng)?？紤]到動(dòng)態(tài)方程式的特征方程為 特征根為1=-6，因此設(shè) 式中A、B為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式有,解得,即,因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為,例213 已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為,試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 由原方程可得,考慮到該動(dòng)態(tài)方程的特征方程為2+3+2=0，特征根1=-1，2=-2，因此設(shè),式中A、B為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式，解得A=1，B=1。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為,例214 RLC串聯(lián)電路如圖2.16所示。R=3，L=0.5H，C=0.25F，電路輸入激勵(lì)為單位沖激電壓(t)。電路的初始狀態(tài)為零，試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)電容電壓uC(t) 解 由KVL,由VAR,即有,圖2.16 RLC串聯(lián)電路,考慮到該動(dòng)態(tài)方程的特征方程為,代入R、L、C元件參數(shù)值并化簡得,特征根 因此設(shè),式中A、B為待定系數(shù)。則有 uC(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(t)+(A+B)(t) uC(t)=(4Ae-2t+16Be-4t)u(t)-(2A+4B)(t)+(A+B)(t) 將uC(t),uC(t)及u(t)代入原動(dòng)態(tài)方程式解得 A=4，B=-4 因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)電容電壓為 uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t),根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式兩邊沖激信號的平衡來設(shè)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)時(shí)，若等式左邊求導(dǎo)的最高階次為n次，等式右邊求導(dǎo)的最高階次為m次，且動(dòng)態(tài)方程的特征方程的特征根全為單根時(shí)，則有,(246),(247),nm時(shí)，,n=m時(shí)，,2.等效初始條件法 系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求解還有另一種方法，稱為等效初始條件法。沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，受單位沖激信號(t)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)，它屬于零狀態(tài)響應(yīng)。 例215 已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為 y(t)+3y(t)=2f(t)t0 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 沖激響應(yīng)h(t)滿足動(dòng)態(tài)方程式 h(t)+3h(t)=2(t)t0,由于動(dòng)態(tài)方程式右邊最高次為(t)，故方程左邊的最高次h(t)中必含有(t)，故設(shè) h(t)=A(t)+Bu(t) 因而有 h(t)=Au(t) 將h(t)與h(t)分別代入原動(dòng)態(tài)方程有 A(t)+Bu(t)+3Au(t)=2(t) A(t)+(B+3A)u(t)=2(t) 解得 A=2，B=-6,例216 已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為 y(t)+5y(t)+4y(t)=2f(t)+3f(t)t0 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 沖激響應(yīng)h(t)滿足動(dòng)態(tài)方程式 h(t)+5h(t)+4h(t)=2(t)+3(t)t0 由于動(dòng)態(tài)方程式右邊最高次為(t)，故方程左邊的最高次h(t)中必含有(t)，故設(shè) h(t)=A(t)+B(t)+Cu(t),因而有 h(t)=A(t)+Bu(t) h(t)=Au(t) 將h(t)，h(t)與h(t)分別代入原動(dòng)態(tài)方程式可解得 A=2，B=-7，C=27 因此可得 h(0+)=A=2,h(0+)=B=-7,h(0+)=27,例217 已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)(LTI)的動(dòng)態(tài)方程式為 y(t)+3y(t)=2f(t)+5f(t)t0 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 沖激響應(yīng)h(t)滿足動(dòng)態(tài)方程式 h(t)+3h(t)=2(t)+5(t)t0 由于動(dòng)態(tài)方程式右邊最高次為(t)，故方程左邊的最高次h(t)中必含有(t)，故設(shè) h(t)=A(t)+B(t)+Cu(t),因而有 h(t)=A(t)+Bu(t) 將h(t)與h(t)分別代入原動(dòng)態(tài)方程有 A(t)+(A+B)(t)+(B+C)u(t)=2(t)+5(t) 解得 A=2，B=3，C=-3 以上表示在t=0處，h(t)含有幅度為B的跳變，h(t)含有幅度為C的跳變。因此可得 h(0+)=B，h(0+)=C,3.其它方法 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)反映的是系統(tǒng)的特性，只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)，而與系統(tǒng)的外部激勵(lì)無關(guān)。但系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以由沖激信號(t)作用于系統(tǒng)而求得。在以上兩種求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的過程中，都是已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。,例218 已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)在 f1(t)=4u(t-1)作用下，產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為 y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3) 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解已知系統(tǒng)在f1(t)作用下產(chǎn)生響應(yīng)為y1(t)，而系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為系統(tǒng)在沖激信號(t)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。因此，為求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，只需找出f1(t)與沖激信號(t)之間的關(guān)系即可。 已知 f1(t)=4u(t-1)y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3),根據(jù)線性系統(tǒng)的特性，可以有,根據(jù)非時(shí)變系統(tǒng)的特性，可以有,2.3.2 階躍響應(yīng) 一線性非時(shí)變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，用g(t)表示。階躍響應(yīng)是激勵(lì)為單位階躍函數(shù)u(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，如圖2.17所示。,圖2.17 階躍響應(yīng)示意圖,如果描述系統(tǒng)的微分方程是式(27)，將f(t)=u(t)代入，可求得其特解 若式(27)的特征根i(i=1，2，n)均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式(nm)為,(248),(24),例219若描述系統(tǒng)的微分方程為 y(t)+3y(t)+2y(t)= 1/2 f(t)+2f(t) 試求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。 解 系統(tǒng)的特征根為1=-1，2=-2，由式(249) 知，其階躍響應(yīng) g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)u(t) 它的一階，二階導(dǎo)數(shù)(考慮到?jīng)_激函數(shù)的抽樣性質(zhì))分別為 g(t)=(c1+c2+1)(t)+(-c1e-t-2c2e-2t)u(t) g(t)=(c1+c2+1)(t)+(-c1-2c2)(t)+(c1e-t+4c2e-2t)u(t),將f(t)=u(t)，y(t)=g(t)，及其導(dǎo)數(shù)g(t)和g(t)代入系統(tǒng)的微分方程，稍加整理得 (c1+c2+1)(t)+(2c1+c2+3)(t)+2u(t)= 1/2(t)+2u(t) 由系統(tǒng)對應(yīng)相等有,所以，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為,2.4 卷積積分,2.4.1 信號分解為沖激信號序列 在信號分析與系統(tǒng)分析時(shí)，常常需要將信號分解為基本信號的形式。這樣，對信號與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷拘盘柕姆治?，從而將?fù)雜問題簡單化，且可以使信號與系統(tǒng)分析的物理過程更加清晰。信號分解為沖激信號序列就是其中的一個(gè)實(shí)例。,圖2.18 信號分解為沖激序列,從圖2.18可見，將任意信號f(t)分解成許多小矩形，間隔為，各矩形的高度就是信號f(t)在該點(diǎn)的函數(shù)值。根據(jù)函數(shù)積分原理，當(dāng)很小時(shí)，可以用這些小矩形的頂端構(gòu)成階梯信號來近似表示信號f(t)；而當(dāng)0時(shí)，可以用這些小矩形來精確表達(dá)信號f(t)。即,式(252)只是近似表示信號f(t),且越小，其誤差越小。當(dāng)0時(shí)，可以用上式精確地表示信號f(t)。由于當(dāng)0時(shí)，k，d，且,故式(252)在0時(shí)，有,(253),2.4.2 卷積積分法求解零狀態(tài)響應(yīng) 在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)時(shí)，將任意信號f(t)都分解為沖激信號序列，然后充分利用線性非時(shí)變系統(tǒng)的特性，從而解得系統(tǒng)在任意信號f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。 由式(253)可得,上式表明,任意信號f(t)可以分解為無限多個(gè)沖激序列的疊加。不同的信號f(t)只是沖激信號(t-k)前的系數(shù)f(k)不同(系數(shù)亦即是該沖激信號的強(qiáng)度)。這樣，任一信號f(t)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)yf(t)可由諸(t-k)產(chǎn)生的響應(yīng)疊加而成。對于線性非時(shí)變系統(tǒng)，若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，則有下列關(guān)系式成立。,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為輸入激勵(lì)f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分，為,(254),例220已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為 y(t)+3y(t)=2f(t)t0 輸入激勵(lì)為3u(t)，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。 解 首先計(jì)算系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，即 h(t)+3h(t)=2(t)t0 應(yīng)用沖激平衡法，故可設(shè) h(t)=Ae-3t u(t) 將h(t)及h(t)分別代入沖激響應(yīng)微分方程式得 Ae-3t(t)-3Ae-3t u(t)+3Ae-3t u(t)=2(t)t0,解得A=2，因此，沖激響應(yīng)h(t)=2e-3t u(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為,由上例可見，如果激勵(lì)f(t)和沖激響應(yīng)h(t)均為因果函數(shù)(即有t0，f(t)=0，h(t)=0)，并且系統(tǒng)的特征根均為單根，那么全響應(yīng),(255),例221RC串聯(lián)電路如圖2.19所示。已知電路的激勵(lì)uS(t)=e-t u(t)。試求零狀態(tài)響應(yīng) yf(t)=uC(t)。,圖2.19 例221圖,解 由KVL得 uR(t)+uC(t)=uS(t),由于激勵(lì)信號uS(t)和沖激響應(yīng)信號h(t)都是有始信號，所以，對于t0，有,因此，零狀態(tài)響應(yīng),例222 已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為 輸入激勵(lì)f(t)=e-t u(t)，且已知h(0)=0，h(0)=1。試用卷積積分法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。 解 系統(tǒng)的特征方程為2+3+2，特征根為1=-1，2=-2。又因?yàn)閚m，因此，設(shè) h(t)=(c1e-t+c2e-2t)u(t) 由h(0)=0，h(0)=1，解得c1=1，c2=-1。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)=(e-t-e-2t)u(t),由于激勵(lì)f(t)=e-t u(t)和沖激響應(yīng)h(t)均為因果函數(shù)，因此，在t0時(shí)，有,因此，零狀態(tài)響應(yīng) yf(t)=(te-t-e-t+e-2t)u(t),2.4.3卷積積分的性質(zhì) 1.卷積積分的代數(shù)性質(zhì) 卷積積分是一種線性運(yùn)算，它具有以下基本特征。 1)交換律,(256),式(256)說明兩信號的卷積積分與次序無關(guān)。即系 統(tǒng)輸入信號f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以互相調(diào)換，其 零狀態(tài)響應(yīng)不變。,圖2.20 系統(tǒng)級聯(lián)滿足交換律,2) 分配律 (f1(t)+f2(t)*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) (2-57) 式(257)的實(shí)際意義如圖2.21所示，表明兩個(gè)信號f1(t)與f2(t)疊加后通過某系統(tǒng)h(t)將等于兩個(gè)信號分別通過此系統(tǒng)h(t)后再疊加。,圖2.21 卷積分配律示意圖,3)結(jié)合律 設(shè)有u(t)，v(t)，w(t)三函數(shù)，則有 u(t)*(v(t)*w(t)=(u(t)*v(t)*w(t) (258) 由于,此時(shí)積分變量為，,此時(shí)積分變量為，而從上式來看，對變量而言，無異于一常數(shù)。可引入新積分變量x=+，則有=x-,d=dx。將這些關(guān)系代入上式右邊括號內(nèi)，則有,交換積分次序，并根據(jù)卷積定義，即可得,4)卷積的微分特性設(shè) y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) (259),證明,5) 卷積的積分特性設(shè) y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t) (260) 式中y(-1)(t)，f(-1)(t)及h(-1)(t)分別表示y(t)，f(t)及h(t)對時(shí)間t的一次積分。,6) 卷積的等效特性 設(shè) y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t) (261) 證明根據(jù)式(259)卷積微分特性，有 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 將上式對時(shí)間t積分，即可證明式 (261)。,式(261)說明，通過激勵(lì)信號f(t)的導(dǎo)數(shù)與沖激響應(yīng)h(t)的積分的卷積，或激勵(lì)信號f(t)的積分與沖激響應(yīng)h(t)的導(dǎo)數(shù)的卷積，同樣可以求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這一關(guān)系為計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)提供了一條新途徑。 上述性質(zhì)4)、5)、6)可以進(jìn)一步推廣，其一般形式如下： 設(shè) y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t) (262),7) 卷積的延時(shí)特性 若 f(t)*h(t)=y(t) 則有 f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2) (263),2. 奇異信號的卷積特性 含奇異信號的卷積積分具有以下特性。 1)延時(shí)特性 f(t)*k(t-t0)=kf(t-t0) (264),圖2.22 理想延時(shí)器及其沖激響應(yīng),同理，如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為(t)，則此系統(tǒng)稱為理想放大器，其中k稱為放大器的增益或放大系數(shù)，如圖2.23所示。當(dāng)信號f(t)通過該放大器時(shí)，其輸出為 y(t)=f(t)*k(t)=kf(t) 即輸出是輸入信號f(t)的k倍。,圖2.23 理想放大器及其沖激響應(yīng),2) 微分特性 f(t)*(t)=f(t) (265) 即，任意信號f(t)與沖激偶信號(t)卷積，其結(jié)果為信號f(t)的一階導(dǎo)數(shù)。 如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為沖激偶信號(t)，則此系統(tǒng)稱為微分器，如圖2.24所示。,圖2.24 微分器及其沖激響應(yīng),3) 積分特性 即，任意信號f(t)與階躍信號u(t)卷積，其結(jié)果為信號f(t)本身對時(shí)間的積分。如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為階躍信號u(t)，則此系統(tǒng)稱為積分器，如圖2.25所示。,(266),圖2.25 積分器及其沖激響應(yīng),例223設(shè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=(t+T)+(t-T)，如圖2.26(a)所示。輸入信號為f(t)，如圖2.26(b)所示，試求系統(tǒng)在信號f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。 解 ff(t)=f(t)*h(t) =f(t)*(t+T)+(t-T) =f(t+T)+f(t-T) 也就是說，只需在每個(gè)沖激信號出現(xiàn)的位置處重畫信號f(t)即可，卷積結(jié)果(即系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng))如圖2.26(c)所示。,圖2.26 例223信號波形,例225已知f(t)=e-tu(t)，h(t)=u(t)-u(t-2)，試求兩信號的卷積y(t)=f(t)*h(t)。 解 根據(jù)卷積運(yùn)算的分配律，有 ff(t)=f(t)*h(t)=f(t)*(u(t)-u(t-2) =f(t)*u(t)+f(t)*u(t-2) =f(-1)(t)-f(-1)(t-2) 亦可利用卷積的等效特性來計(jì)算，即 yf(t)=f(t)*h(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(-1)(t)*(u(t)-u(t-2) =f(-1)(t)*(t)-(t-2) =f(-1)(t)-f(-1)(t-2) ,可見兩種方法計(jì)算結(jié)果一樣。進(jìn)一步求解可得卷積的最后結(jié)果為,例226 已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)如圖2.27所示。已知圖中h1(t)=u(t)，h2(t)=(t-1)，h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)，試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 當(dāng)多個(gè)子系統(tǒng)通過級聯(lián)，并聯(lián)組成一個(gè)大系統(tǒng)時(shí)，大系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以直接通過各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)計(jì)算得到。 從圖2.27可見，子系統(tǒng)h1(t)與h2(t)是級聯(lián)關(guān)系，而h3(t)支路與h1(t)及h2(t)組成的支路是并聯(lián)關(guān)系，因此,h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t) =h(t)*(t-1)+e-3(t-2)u(t-2) =u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2),圖2.27 例226系統(tǒng)框圖,2.4.4 卷積積分的計(jì)算 1.解析計(jì)算 參與卷積的兩個(gè)信號f1(t)與f2(t)都可以用解析函數(shù)式表達(dá)，可以直接按照卷積的積分定義進(jìn)行計(jì)算。 例227 已知f1(t)=e-3t u(t)， f2(t)=e-5t u(t)，試計(jì)算兩信號的卷積f1(t)*f2(t)。 解 根據(jù)卷積積分的定義，可得,例228已知信號f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)與 f2(t)=e-5(t-2)u(t-2)，試計(jì)算兩信號的卷積f1(t)*f2(t)。 解 根據(jù)卷積積分的定義，可得,在例227中，f1(t)的起點(diǎn)為0，f2(t)的起點(diǎn)為0，故f1(t)*f2(t)的起點(diǎn)也為零；在例228中，f1(t)的起點(diǎn)為1，f2(t)的起點(diǎn)為2，故f1(t)*f2(t)的起點(diǎn)為1+2=3。例229可以驗(yàn)證終點(diǎn)之間的關(guān)系，它們的關(guān)系如圖2.28所示。,圖2.28 例229圖,在利用卷積的定義通過信號的函數(shù)解析式進(jìn)行卷積時(shí)，對于一些基本信號可以通過查卷積積分表直接得到，避免卷積積分過程中重復(fù)與繁雜的計(jì)算。卷積積分表如表22所示。當(dāng)然，在利用解析式進(jìn)行求解信號卷積時(shí)，可以利用卷積的一些特性來簡化運(yùn)算。,表22 卷積積分常用公式表,2. 圖解計(jì)算 對于一些較簡單的函數(shù)符號，如方波、三角波等，可以利用圖解方式來計(jì)算。而且，熟練掌握圖解卷積的方法，對理解卷積的運(yùn)算過程是有幫助的。下面通過例題來介紹圖解卷積的具體步驟。,例230已知