樣本數(shù)據(jù)特征的初步.pptVIP

第3章 樣本數(shù)據(jù)特征的初步分析,管理統(tǒng)計(jì)學(xué) 謝湘生 廣東工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,提示,如何將你收集的數(shù)據(jù)中的信息概括或集中起來,3.1 樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基本特征：頻次與頻率,3.1.1 頻次與頻率的基本概念,頻次(Frequency)：在樣本數(shù)據(jù)集合中，同樣的數(shù)據(jù)值（樣本值）出現(xiàn)的次數(shù)。 頻率(Percentage或Relative Frequency) 某樣本值的頻率=該樣本值出現(xiàn)的頻次/該數(shù)據(jù)集合的數(shù)據(jù)總數(shù),頻次與頻率的概念適用于所有測(cè)度級(jí)別的數(shù)據(jù),例 3.1.1,某商品在抽樣商店的單價(jià)（單位：元）,某商品在不同商店價(jià)格排序結(jié)果,某商品價(jià)格出現(xiàn)的頻次、頻率統(tǒng)計(jì)表,例 3.1.2,某單位16人受教育程度,某單位職工受教育程度的結(jié)構(gòu),例 3.1.3,家具基色調(diào)出現(xiàn)的頻次,數(shù)據(jù)集合中所有取值不同的數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，稱為該數(shù)據(jù)集合的頻率分布,3.1.2 觀察樣本數(shù)據(jù)基本特征（頻次和頻率）的圖形方法,1. 表示頻次和頻率的餅圖(Pie Chart),用餅圖表示適用于所有測(cè)度等級(jí)的數(shù)據(jù)。但是要求不同的樣本值的個(gè)數(shù)（即不重復(fù)的樣本值個(gè)數(shù)）不是太多。,表示頻次和頻率的餅圖的繪制方法,（1）畫一個(gè)適當(dāng)大小的圓，然后在圓中對(duì)每一個(gè)不同的樣本數(shù)據(jù)值畫一個(gè)具有適當(dāng)圓心角的扇形。,（2）每一個(gè)不同樣本值所占據(jù)扇形的圓心角的大小由下式計(jì)算：,某樣本值對(duì)應(yīng)的圓心角的大小=該樣本值的頻率3600,某商品標(biāo)不同價(jià)格的商店數(shù)（頻次）,某單位職工受教育程度的比例（頻率）,家具基色調(diào)使用比例（頻率）,餅圖主要用于表示分類變量的頻率（或頻次）結(jié)構(gòu)，但須注意分類變量不重復(fù)的取值不能太多。,用SPSS作的餅圖,未經(jīng)編輯,經(jīng)過編輯,2. 表示頻次和頻率的條形圖,表示頻次和頻率的條形圖的構(gòu)成是,（1）橫坐標(biāo)表示樣本數(shù)據(jù)的不同取值。如果樣本數(shù)據(jù)的測(cè)度是順序級(jí)以上的，橫坐標(biāo)上的樣本數(shù)據(jù)就應(yīng)該從小到大排列。如果是刻度級(jí)的數(shù)據(jù)，還應(yīng)注意各數(shù)據(jù)刻度保持一致的比例。 （2）縱坐標(biāo)表示相應(yīng)樣本值出現(xiàn)的頻次或頻率,條形圖常用于表示分類變量數(shù)據(jù)集合的頻次（或頻率）結(jié)構(gòu)，但分類變量不重復(fù)的取值也不能太多。,注: 利用Excel作圖, 對(duì)顏色進(jìn)行了編輯.,3.1.3 樣本數(shù)據(jù)集合的基本特征的延伸：累積頻率(Cumulative Percentage),1.累積頻率的概念與表格表示,對(duì)數(shù)據(jù)測(cè)度在順序級(jí)以上的樣本數(shù)據(jù)，設(shè)x1 x2 xm, 是樣本數(shù)據(jù)集合中的不重復(fù)的樣本值。m n, n是樣本數(shù)據(jù)集合中樣本值的總個(gè)數(shù)。若把樣本值小于等于某個(gè)樣本數(shù)據(jù)xi的頻率(Percentage)都累加起來，就得到“小于等于xi”的累積頻率。,商品價(jià)格 xi的累積頻率,受教育程度xi的累積頻率,3.2 觀察刻度級(jí)樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的莖葉圖與直方圖方法,3.2.1莖葉圖(Stem-and Leaf Plot)的概念與作法 1. 莖葉圖的基本概念與適用范圍,莖葉圖適用于刻度級(jí)的樣本數(shù)據(jù)，不適用于名義級(jí)的樣本數(shù)據(jù)。 順序級(jí)的樣本數(shù)據(jù)本質(zhì)上是半定量的。如果一定要用莖葉圖來表示，也是可以的，但它不能比條形圖提供更多的信息。,莖葉的基本含義是，按照某個(gè)一致的規(guī)則，把所有的樣本值分成“莖節(jié)”和“葉”兩個(gè)部分?！扒o節(jié)”在左，“葉”在右?！扒o節(jié)”、“葉”之間用小數(shù)點(diǎn)隔開。,例如若對(duì)某個(gè)樣本數(shù)據(jù)集合，規(guī)定樣本的百位數(shù)開始，左邊的數(shù)字為“莖節(jié)”（這時(shí)稱“莖節(jié)”的寬度為100），其余右邊的數(shù)字則為“葉”。若912、634、123、1021分別是該集合中的樣本數(shù)據(jù)，則,明顯地， 樣本值=莖節(jié).葉莖節(jié)的寬度,將所有的樣本數(shù)據(jù)的不同“莖節(jié)”按從小到大的順序連接起來，就構(gòu)成了該樣本數(shù)據(jù)集合的“莖”。樣本數(shù)據(jù)“莖節(jié)”的寬度就是樣本數(shù)據(jù)集合的“莖”的寬度。 確定“莖節(jié)”寬度的原則：樣本數(shù)據(jù)集中，“莖節(jié)”必須是有變化的。,2.莖葉圖的基本作法,（1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)集合中數(shù)字的大小，確定“莖”的數(shù)字位和“葉”的數(shù)字位； （2）把樣本數(shù)據(jù)集合中的所有樣本數(shù)據(jù)，分成“莖節(jié)”、“葉”兩部分； （3）把樣本數(shù)據(jù)集合中的所有“莖節(jié)”，從小到大，從上到下縱向排列，并在“莖節(jié)”后標(biāo)出小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)縱向?qū)R； （4）依次將數(shù)據(jù)集合中的所有“莖節(jié)”相同的數(shù)據(jù)取出來，把這些數(shù)據(jù)的“葉”，按從小到大的順序，排列在這個(gè)“莖節(jié)”后小數(shù)點(diǎn)的右邊，直到這個(gè)樣本數(shù)據(jù)集合中的所有數(shù)據(jù)處理完。,例 3.2.1,171 182 175 177 178 181 185 168 170 175 177 180 176 172 165 160 178 186 190 176 163 183,某班級(jí)男生的身高數(shù)據(jù)（單位：厘米）,頻次 莖 & 葉 2 16 . 03 2 16 . 58 3 17 . 012 8 17 . 55667788 4 18 . 0123 2 18 . 56 1 19 . 0 莖寬度: 10 莖節(jié)長(zhǎng)度： 5,莖節(jié)長(zhǎng)度=允許的最大葉值允許的最小葉值+1 每個(gè)莖節(jié)長(zhǎng)度都應(yīng)相等,“L”子莖節(jié)（低段子莖節(jié)）,“H”子莖節(jié)（高段子莖節(jié)）,為了避免“葉”過長(zhǎng)，還可將莖節(jié)再分為幾個(gè)(通常是2個(gè))子莖節(jié)。,3.2.2 直方圖(Histogram)的概念與作法,1 直方圖的基本概念與適用范圍,所謂直方圖就是將樣本數(shù)據(jù)集合（對(duì)應(yīng)著橫軸的一個(gè)區(qū)間）分成若干組，（通常是采用等分上述區(qū)間的方法進(jìn)行分組），然后計(jì)算出每組所含樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)（頻次）或每組所含樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)占總個(gè)數(shù)的比例（頻率），并將這一結(jié)果在直角坐標(biāo)系中表示出來。,與條形圖的區(qū)別：條形圖不對(duì)樣本數(shù)據(jù)分組，而直方圖必須對(duì)樣本數(shù)據(jù)分組。因此條形圖適合不重復(fù)的樣本較少的情形，直方圖可用于不重復(fù)樣本數(shù)據(jù)較多的情形。條形圖可以看成直方圖的特例。,2. 數(shù)據(jù)分組,數(shù)據(jù)分組一般采用等區(qū)間長(zhǎng)度的原則。,數(shù)據(jù)分組一般先確定各組區(qū)間的長(zhǎng)度，然后用下式確定組的個(gè)數(shù)：,其中R表示用四舍五入法，對(duì)括號(hào)中的數(shù)字取整。,也可先確定組的個(gè)數(shù)，然后再來確定區(qū)間的長(zhǎng)度。但這種做法相對(duì)較少使用。,確定分組區(qū)間長(zhǎng)度的方法,以某個(gè)量綱單位為初始區(qū)間長(zhǎng)度(d),區(qū)間個(gè)數(shù)合適？,多了,dkd,結(jié)束,少了,選擇k:k1,dhd,選擇h:0h1,合適,其中k，h的選擇應(yīng)注意，要使最終得到的區(qū)間長(zhǎng)度便于在坐標(biāo)軸上標(biāo)示出來。,確定分組區(qū)間起點(diǎn)位置的方法,首先把樣本數(shù)據(jù)集合中的最小數(shù)據(jù)y以取定的量綱為單位取整y； 取滿足kd1個(gè)量綱單位的最大整數(shù)k，并以y+0，y+d，y+kd為備選的最小分組區(qū)間中點(diǎn)的位置； 選出上述備選中點(diǎn)坐標(biāo)中與y的差的絕對(duì)值最小者，并以該點(diǎn)為最小分組區(qū)間的中點(diǎn)。再由d值的大小可確定該區(qū)間的起點(diǎn)。,注：若某個(gè)數(shù)據(jù)恰好位于兩個(gè)分組區(qū)間的分界點(diǎn)上，則習(xí)慣上將其劃歸右邊的區(qū)間,關(guān)于直方圖的幾個(gè)概念,組中值：就是一個(gè)分組區(qū)間中心位置的坐標(biāo)x： x =（組上界+組下界）/ 2 組頻次：組內(nèi)包含的樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù) 組頻率：組頻次 / 樣本數(shù)據(jù)集合中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),繪直方圖：,（1）在橫軸上，從小到大依次標(biāo)出分組區(qū)間的邊界；,（2）沿縱軸方向，依據(jù)各區(qū)間的組頻次或組頻率的大小，分別繪制不同高度的矩形。,身高頻次條形圖,身高頻次直方圖,Excel的直方圖,R語言中的直方圖,SAS中的直方圖,3.3 樣本數(shù)據(jù)的位置特征：對(duì)數(shù)據(jù)中心的描述,樣本數(shù)據(jù)集合的另一重要特征，就是樣本數(shù)據(jù)集合中心所處的位置，它在一定程度上反映了樣本集合的位置。樣本數(shù)據(jù)集合中心通常用下面三個(gè)概念刻畫。 樣本中位數(shù) 樣本眾數(shù) 樣本均值,3.3.1 樣本眾數(shù)(Sample Mode),樣本眾數(shù)的定義1及例子,樣本眾數(shù)的定義1: 樣本數(shù)據(jù)集合中出現(xiàn)頻次最高的那個(gè)樣本值，稱為樣本眾數(shù)，簡(jiǎn)稱為眾數(shù)。,按此定義，對(duì)給定的樣本數(shù)據(jù)集合，樣本眾數(shù)可能不唯一。若樣本眾數(shù)是唯一的，稱為單一眾數(shù)，否則稱為復(fù)眾數(shù)。,例如 某單位職工受教育程度的結(jié)構(gòu)為（順序級(jí)數(shù)據(jù)）,則對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)集合的眾數(shù)為“大學(xué)”。,家具基色調(diào)出現(xiàn)的頻次（名義級(jí)數(shù)據(jù)）,則對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)集合的眾數(shù)為“Y（即淡黃褐色）”。,某商品價(jià)格出現(xiàn)的頻次（刻度級(jí)數(shù)據(jù)）,對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)集合的眾數(shù)為9.99、10.00和10.01（復(fù)眾數(shù)）,樣本眾數(shù)定義2及例子,樣本眾數(shù)的定義2：對(duì)刻度級(jí)的樣本數(shù)據(jù)集合，其直方圖中，最高的矩形（即直方圖中的峰peak)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)區(qū)間，稱為該數(shù)據(jù)集合的眾數(shù)區(qū)間，簡(jiǎn)稱為眾數(shù)。,如右圖表示的數(shù)據(jù)集合的眾數(shù)區(qū)間為,1752.5(厘米),眾數(shù)區(qū)間也有單一眾數(shù)區(qū)間與復(fù)眾數(shù)區(qū)間之分。,3.3.2 樣本中位數(shù)(Sample median),設(shè)對(duì)樣本集合中所有數(shù)據(jù)的排序結(jié)果為x1 x2 xn, n為樣本容量，則在上述排序的序列中，處于“正中間位置”上的數(shù)據(jù)，稱為樣本中位數(shù)。,當(dāng)樣本數(shù)據(jù)集合中的所有數(shù)據(jù)排序后，正中間位置的數(shù)據(jù)即中位數(shù)Me按下式確定：,正中間位置：,數(shù)據(jù)集合（已經(jīng)排序）,17.0 17.1 17.2 17.5 17.5 17.6 17.6,其中位數(shù)為Me=x4=17.5,數(shù)據(jù)集合（已經(jīng)排序）,16.8 17.0 17.1 17.2 17.5 17.5 17.6 17.6,其中位數(shù)為,對(duì)名義級(jí)數(shù)據(jù)，不考慮中位數(shù)；對(duì)順序級(jí)數(shù)據(jù)，只在樣本容量n為奇數(shù)時(shí)，考慮中位數(shù)。,3.3.3 樣本均值(Sample Mean),樣本均值僅適合于刻度級(jí)數(shù)據(jù)。,樣本數(shù)據(jù)集合的樣本均值（又稱為樣本平均值），是把樣本數(shù)據(jù)集合中所有數(shù)據(jù)加起來，然后再除以樣本數(shù)據(jù)集合中樣本個(gè)數(shù)（樣本容量）所得到的結(jié)果。樣本均值的數(shù)學(xué)定義為：,式中， x1 , x2 , , xn, n為樣本容量,均值、中位數(shù)與眾數(shù)的區(qū)別,*中位數(shù)的使用是有條件的。,有一個(gè)叫做薩姆的工人到吉斯莫先生的工廠應(yīng)聘，吉斯莫對(duì)他說：我們這里報(bào)酬不錯(cuò)，平均薪金每周300元。你在學(xué)徒期間每周得75元，不過很快就可以加工資。薩姆感到工資水平不低，自己好好干，至少可以很快接近平均工資，便應(yīng)約上班了。但不久，薩姆就覺得上當(dāng)了。因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)竟然沒有一個(gè)工人的工資多于100元。吉斯莫先生是否騙了薩姆？,中位數(shù),眾數(shù),數(shù)據(jù)中心與數(shù)據(jù)分布形狀的關(guān)系,眾數(shù),中位數(shù),均值,左偏分布,右偏分布,對(duì)稱分布,3.4 樣本數(shù)據(jù)的離散特征,3.4.1 對(duì)樣本數(shù)據(jù)的離散特征的點(diǎn)狀描述：極值、四分點(diǎn)和百分位點(diǎn) 1. 極大值(maximum)與極小值(minimum),極大值是數(shù)據(jù)集合中的最大值。極小值是數(shù)據(jù)集合中的最小值。 這兩個(gè)樣本值從一定視角反映了樣本數(shù)據(jù)集合中樣本值的離散程度，是一種最粗糙的測(cè)度。極值的概念適用于順序級(jí)以上的數(shù)據(jù)。,2. 下四分點(diǎn)(Lower Quartile)與上四分點(diǎn)(Upper Quartile),（1） 概念,下四分點(diǎn)將排序以后的數(shù)據(jù)集合，分為左右兩部分，使左邊部分包含25%的樣本總個(gè)數(shù)，右邊部分包含75%的樣本總個(gè)數(shù)。,上四分點(diǎn)將排序以后的數(shù)據(jù)集合，分為左右兩部分，使左邊部分包含75%的樣本總個(gè)數(shù)，右邊部分包含25%的樣本總個(gè)數(shù)。,上、下四分點(diǎn)在一定意義上反映了樣本數(shù)據(jù)的離散程度。,（2）下、上四分點(diǎn)的位置,正中間位置：,下四分點(diǎn)的位置：,上四分點(diǎn)的位置：,（3）下、上四分點(diǎn)的值,當(dāng)下、上四分點(diǎn)位置為整數(shù)時(shí)，相應(yīng)整數(shù)位置上的樣本值就分別為下四分點(diǎn)Q1的值和上四分點(diǎn)Q3的值。當(dāng)上述位置計(jì)算結(jié)果不為整數(shù)時(shí)，下、上四分點(diǎn)位置不是整數(shù)時(shí)，下、上四分點(diǎn)的值分別由下兩式確定,Q1 = Q1位置左邊的樣本值 +（Q1位置右邊的樣本值 - Q1位置左邊的樣本值） 0.25,Q3 = Q3位置左邊的樣本值 +（Q1位置右邊的樣本值 - Q1位置左邊的樣本值） 0.75,例 3.4.1 考慮如下的樣本數(shù)據(jù)集合,99.8，99.9，100.1，100.2,n=4，下四分點(diǎn)、中位數(shù)、上四分點(diǎn)的位置分別為,(4+1) 0.25=1.25,(4+1) 0. 5=2.5,(4+1) 0.75=3.75,Q1的位置,Q2的位置,Q3的位置,現(xiàn)計(jì)算下、上四分點(diǎn)Q1、Q3的值和中位數(shù)Q2的值.,由前面給出的中位數(shù)的計(jì)算公式，有,類似地，由下、上四分點(diǎn)的計(jì)算公式，得,由于本例中需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算才可得到下、上四分點(diǎn)以及中位數(shù)，因此該計(jì)算僅適合于刻度級(jí)數(shù)據(jù)。反之若n+1可以被4整除，則得到的下、上四分點(diǎn)及中位數(shù)位置是整數(shù)，于是下、上四分點(diǎn)以及中位數(shù)就是相應(yīng)位置的樣本數(shù)據(jù)。見例3.4.2。這時(shí)這些概念也適合順序級(jí)數(shù)據(jù)。,3. 上、下百分位點(diǎn)(Percentile),下十分點(diǎn)把經(jīng)過排序后的樣本數(shù)據(jù)集合，分成左右兩部分，使左邊部分包含10%的樣本數(shù)據(jù)，右邊包含90%的樣本數(shù)據(jù)。,上十分點(diǎn)把經(jīng)過排序后的樣本數(shù)據(jù)集合，分成左右兩部分，使左邊部分包含90%的樣本數(shù)據(jù)，右邊包含10%的樣本數(shù)據(jù)。,上、下十分點(diǎn)也在一定意義上反映了樣本數(shù)據(jù)的離散情況。進(jìn)而可以定義任意小于50%的上下百分點(diǎn)，并借此反映一定意義上的樣本數(shù)據(jù)的離散情況。,3.4.2 對(duì)樣本數(shù)據(jù)離散特征的區(qū)間描述：極差、四分位距與離差,由于需要涉及樣本數(shù)據(jù)的加減運(yùn)算，因此區(qū)間描述僅適合于刻度級(jí)數(shù)據(jù)。,1. 級(jí)差(Range),級(jí)差（R）被定義為樣本數(shù)據(jù)的極大值與極小值的差，即,R = 極大值 - 極小值,它反映了樣本數(shù)據(jù)在數(shù)軸上的分布范圍。,樣本離差被定義為每個(gè)樣本xi與樣本均值 之差：,2. 四分位距(Interquartile Range),四分位距(Iqr)指的是樣本排序后的上四分點(diǎn)與下四分點(diǎn)的差：,Iqr = Q3 - Q1,它反映了樣本數(shù)據(jù)集合中樣本值處于中間的一半數(shù)據(jù)的分布范圍。,3. 樣本離差(Sample Deviations)與離差平方和(Sum of Squared Deviations),樣本離差又稱為樣本中心化數(shù)據(jù)。常用離差平方和的方式來反映樣本數(shù)據(jù)對(duì)均值總偏離的情況。,3.4.3 離散狀況的統(tǒng)計(jì)描述：樣本方差(Sample Variance),樣本方差s2定義為離差平方和與n 1的比值，即,它反映了樣本數(shù)據(jù)對(duì)均值偏離的平均情況。也常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviations)s來反映樣本數(shù)據(jù)對(duì)均值偏離的平均情況。,補(bǔ)充：斜度(Skewness),偏斜度的計(jì)算公式定義如下：,式中：s 為樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差。,若數(shù)據(jù)分布完全對(duì)稱，則斜度為零。但數(shù)據(jù)分布如果偏左分布，則斜度為正；否則當(dāng)數(shù)據(jù)偏向右分布