江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)5月模擬試題.docx

江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)5月模擬試題(滿分160分，考試時(shí)間120分鐘)20195一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1. 已知集合Ax|x|1，xZ，Bx|0x2，則AB_2. 已知復(fù)數(shù)z(12i)(ai)，其中i是虛數(shù)單位若z的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)3. 某班有學(xué)生52人，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本已知5號(hào)、31號(hào)、44號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是_4. 3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券，兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是_5. 函數(shù)f(x)log2(1x)的定義域?yàn)開(kāi)6. 如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出k的值為_(kāi)(第6題)(第7題)7. 若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)P為側(cè)棱AA1上任意一點(diǎn)，則四棱錐PBCC1B1的體積為_(kāi)8. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在曲線C：yx310x3上，且在第四象限內(nèi)已知曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為y2xb，則實(shí)數(shù)b的值為_(kāi)9. 已知函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)(00，b0)有相同的焦點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，且F1PF1F2，則雙曲線的離心率為_(kāi)12. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，5)，點(diǎn)B是直線l：yx上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)已知以AB為直徑的圓被直線l所截得的弦長(zhǎng)為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)13. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，a22，an2則滿足2 019Sm3 000的正整數(shù)m的所有取值為_(kāi)14. 已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，2，點(diǎn)N，T分別為線段BC，CA上的動(dòng)點(diǎn)，則取值的集合為_(kāi)二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15. (本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓O交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是.(1) 求cos()的值；(2) 若以x軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓O交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，求的值16. (本小題滿分14分)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點(diǎn)求證：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.17. (本小題滿分14分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示，該封閉區(qū)域由以O(shè)為圓心的半圓及直徑AB圍成在此區(qū)域內(nèi)原有一個(gè)以O(shè)A為直徑、C為圓心的半圓形展示區(qū)，該廣告商欲在此基礎(chǔ)上，將其改建成一個(gè)凸四邊形的展示區(qū)COPQ，其中P，Q分別在半圓O與半圓C的圓弧上，且PQ與半圓C相切于點(diǎn)Q.已知AB長(zhǎng)為40米，設(shè)BOP為2.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))(1) 記四邊形COPQ的周長(zhǎng)為f()，求f()的表達(dá)式；(2) 要使改建成的展示區(qū)COPQ的面積最大，求sin 的值18. (本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且點(diǎn)F1，F(xiàn)2與橢圓C的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(1) 求橢圓C的方程；(2) 已知直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P，且分別與直線x4和直線x1相交于點(diǎn)M，N.試判斷是否為定值，并說(shuō)明理由19. (本小題滿分16分)已知數(shù)列an滿足a1a2an2(nN*)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn(nN*)，且b11，b22.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(3) 設(shè)cn，記Tn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求正整數(shù)m，使得對(duì)于任意的nN*均有TmTn.20. (本小題滿分16分)設(shè)a為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)f(x)axex，g(x)xln x.(1) 當(dāng)a0恒成立，求b的取值范圍；(3) 若函數(shù)h(x)f(x)g(x)(x0，xR)有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，求a的取值范圍2019屆高三模擬考試試卷(二十一)數(shù)學(xué)附加題(滿分40分，考試時(shí)間30分鐘)21. 【選做題】 在A，B，C三小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分若多做，則按作答的前兩題計(jì)分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟A. (選修42：矩陣與變換)已知矩陣A，二階矩陣B滿足AB.(1) 求矩陣B；(2) 求矩陣B的特征值B. (選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)設(shè)a為實(shí)數(shù)，在極坐標(biāo)系中，已知圓2asin (a0)與直線cos()1相切，求a的值C. (選修45：不等式選講)求函數(shù)y的最大值【必做題】 第22，23題，每小題10分，共20分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22. 如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90，ADAP4，ABBC2，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)(1) 求異面直線AP與BM所成角的余弦值；(2) 點(diǎn)N在線段AD上，且AN，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求的值23. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)微型智能機(jī)器人(大小不計(jì))只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn)，且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度，例如：該機(jī)器人在點(diǎn)(1，0)處時(shí)，下一步可行進(jìn)到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，1)這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)、行進(jìn)n步后落在y軸上的不同走法的種數(shù)為L(zhǎng)(n)(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值；(2) 求L(n)的表達(dá)式2019屆高三模擬考試試卷(二十一)(南師附中)數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1. 0，12. 33. 184. 5. 0，1)6. 37. 8. 139. 10. 1811. 12. (6，3)13. 20，2114. 615. 解：因?yàn)殇J角的終邊與單位圓O交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是，所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知sin .從而cos .(3分)(1) cos()cos cos sin sin ().(6分)(2) 因?yàn)殁g角的終邊與單位圓O交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是，所以cos ，從而sin .(8分)于是sin()sin cos cos sin ().(10分)因?yàn)闉殇J角，為鈍角，所以(，)，(12分)從而.(14分)16. 證明：(1) 設(shè)ACBDO，連結(jié)OE， 四邊形ACEF是矩形， EFAC，EFAC. O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)， O是AC的中點(diǎn)又點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)， EMAO，EMAO. 四邊形AOEM是平行四邊形， AMOE.(4分) OE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(7分)(2) 正方形ABCD， BDAC. 平面ABCD平面ACEFAC，平面ABCD平面ACEF，BD平面ABCD， BD平面ACEF.(9分) AM平面ACEF， BDAM.(10分) 正方形ABCD，AD， OA1.由(1)可知點(diǎn)M，O分別是EF，AC的中點(diǎn)，且四邊形ACEF是矩形 AF1， 四邊形AOMF是正方形，(11分) AMOF.(12分)又AMBD，且OFBDO，OF平面BDF，BD平面BDF， AM平面BDF.(14分)17. 解：(1) 連結(jié)PC.由條件得(0，)在POC中，OC10，OP20，POC2，由余弦定理，得PC2OC2OP22OCOPcos(2)100(54cos 2)(2分)因?yàn)镻Q與半圓C相切于點(diǎn)Q，所以CQPQ，所以PQ2PC2CQ2400(1cos 2)，所以PQ20cos .(4分)所以四邊形COPQ的周長(zhǎng)為f()COOPPQQC4020cos ，即f()4020cos ，(0，)(7分)(沒(méi)寫定義域，扣2分)(2) 設(shè)四邊形COPQ的面積為S()，則S()SOCPSQCP100(cos 2sin cos )，(0，)(10分)所以S()100(sin 2cos22sin2)100(4sin2sin 2)，(0，)(12分)令S(t)0，得sin .列表：sin (0，)(，1)S()0S()增最大值減答：要使改建成的展示區(qū)COPQ的面積最大，sin 的值為.(14分)18. 解：(1) 依題意，2ca2，所以c1，b，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(4分)(2) 因?yàn)橹本€l分別與直線x4和直線x1相交，所以直線l一定存在斜率(6分) 設(shè)直線l：ykxm，由得(4k23)x28kmx4(m23)0.由(8km)24(4k23)4(m23)0，得4k23m20.(8分)把x4代入ykxm，得M(4，4km)，把x1代入ykxm，得N(1，km)，(10分)所以NF1|km|，MF1，(12分)由式，得3m24k2，把式代入式，得MF12|km|， ，即為定值.(16分)19. 解：(1) a122；(2分) 當(dāng)n2時(shí)，an2n.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n(nN*)(4分)(2) 由Sn，得2Snn(b1bn)，所以2Sn1(n1)(b1bn1)(n2).由，得2bnb1nbn(n1)bn1，n2，即b1(n2)bn(n1)bn10(n2)，所以b1(n3)bn(n2)bn10(n3).由，得(n2)bn2(n2)bn1(n2)bn20，n3，(6分)因?yàn)閚3，所以n20，上式同除以(n2)，得bn2bn1bn20，n3，即bn1bnbnbn1b2b11，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故bnn，nN*.(8分)(3) 因?yàn)閏n1，(10分)所以c10，c20，c30，c40，c50.記f(n)，當(dāng)n5時(shí)，f(n1)f(n)0，所以當(dāng)n5時(shí)，數(shù)列f(n)為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)n5時(shí)，f(n)f(5)1.從而，當(dāng)n5時(shí)，cn10.(14分)因此T1T2T3T5T6所以對(duì)任意的nN*，T4Tn.綜上，m4.(16分)(注：其他解法酌情給分)20. 解：(1) 當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閒(x)a(x1)ex，當(dāng)x0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，所以aex2xb對(duì)任意的a1及任意的x0恒成立由于ex0，所以aexex，所以ex2xb對(duì)任意的x0恒成立(4分)設(shè)(x)ex2x，x0，則(x)ex2，所以函數(shù)(x)在(0，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，所以(x)min(ln 2)22ln 2，所以b22ln 2.(6分)(3) 由h(x)axexxln x，得h(x)a(x1)ex1，其中x0. 若a0時(shí)，則h(x)0，所以函數(shù)h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)h(x)至多有一個(gè)零零點(diǎn)，不合題意；(8分) 若a0.由第(2)小題知，當(dāng)x0時(shí)，(x)ex2x22ln 20，所以ex2x，所以xex2x2，所以當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)xex的值域?yàn)?0，)所以存在x00，使得ax0ex010，即ax0ex01，且當(dāng)x0，所以函數(shù)h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，所以h(x)maxh(x0)ax0ex0x0ln x01x0ln x00.設(shè)(x)1xln x，x0，則(x)10，所以函數(shù)(x)在(0，)上單調(diào)遞增由于(1)0，所以當(dāng)x1時(shí)，(x)0，所以式中的x01.又由式，得x0ex0.由第(1)小題可知，當(dāng)ae，即a(，0)(11分)當(dāng)a(，0)時(shí)，(i) 由于h()(1)0，所以h()h(x0)0.因?yàn)?e，設(shè)F(t)ettln t，te，由于te時(shí)，ln t2t，所以設(shè)F(t)0，即h()1時(shí)，x0ex0x0，且h()h(x0)0，同理可得函數(shù)h(x)在(x0，)上也恰有一個(gè)零點(diǎn)綜上，a(，0)(16分)2019屆高三模擬考試試卷(南師附中)數(shù)學(xué)附加題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)21. A. 解：(1) 由題意，由矩陣的逆矩陣公式得BA1.(5分)(2) 矩陣B的特征多項(xiàng)式f()(1)(1)，(7分)令f()0，解得1或1，(9分)所以矩陣B的特征值為1或1.(10分)B. 解：將圓2asin 化成普通方程為x2y22ay，整理得x2(ya)2a2.(3分)將直線cos()1化成普通方程為xy0.(6分)因?yàn)橄嗲?，所以圓心到直線的距離等于半徑，即a，(9分)解得a2.(10分)C. 解：因?yàn)?)2()2(33x3x2)(1)，(3分)所以y.(5分)當(dāng)且僅當(dāng)，即x，1時(shí)等號(hào)成立(8分)所以y的最大值為.(10分)22. 解：(1) 因?yàn)镻A平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.因?yàn)锽AD90，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由AD2AB2BC4，PA4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)因?yàn)辄c(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，所以M(1，1，2)所以(1，1，2)，(0，0，4)，(2分)所以cos，(4分)所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為.(5分)(2) 因?yàn)锳N，所以N(0，0)(04)，則(1，1，2)，(0，2，0)，(2，0，4)設(shè)平面PBC的法向量