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文檔簡介

,x 的一次多項式,4-3 泰勒公式,以直代曲,若上式成立，則有,要證明上述公式成立，實際上就是要證明,證,即證明了：,即證明了：,其中,(n階泰勒多項式),展開式稱為f(x)按(xx0)的冪展開的n階泰勒公式,定理 1 (泰勒公式),設 y = f(x) 在 點的某個鄰域內(nèi)有定義，并在 點具有 n 階導數(shù) 則在 點附近有下列展開式：,證,連續(xù)地使用(n-1)次洛必達法則,則有,(*),證畢.,(*)稱為n階泰勒公式,稱為皮亞諾型余項.,稱為馬克勞林（ Maclaurin ）公式 .,幾個初等函數(shù)的馬克勞林公式,例1,解,例2,解,類似可得,例3,解,或者認為展開式結束于偶數(shù)項：,例4,已知,例5,定理 設 在 點附近有定義,且在 點 階導數(shù)存在，假如有 個常數(shù) 使得下式成立：,則有,其中,泰勒公式的唯一性.,證,例 6 求,解,則,依次類推，最后可以通過(n-1)次洛必達法則證明,定理得證.,例 7 求,解,例 8 設m1,求極限,解,類似地，有,思考與練習,例3計算,解:,原式,例4 求,解:,由于,用洛必塔法則不方便 !,泰勒公式的應用,（1）利用泰勒公式確定無窮小的階及求未定式的極限.,(2)利用泰勒公式求函數(shù)的近似計算公式.,無論是求 型未定式的

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