隨機信號的功率譜估計.ppt

1,第三章 隨機信號的功率譜估計,鄭寶玉,2,內(nèi) 容,隨機信號的特征 經(jīng)典譜估計與現(xiàn)代譜估計 參數(shù)模型法概述 基于AR模型的譜估計法 最大熵譜估計算法 最小方差譜估計 基于矩陣特征分解的譜估計 高階譜估計,3,最大熵譜估計算法,Levinson算法 Berg算法,4,Levinson算法,MEM的核心是求解如下方程：,這個方程實際上是聯(lián)合AR模型法和預測濾波法得出的。 我們發(fā)現(xiàn)，方程(1)有如下特點： 系數(shù)矩陣是一個Toplitz矩陣，利用Toplitz矩陣的性質(zhì) 可簡化方程求解。 實際問題中，一般只知道信號的某些觀測值，而不知道 其AR模型階數(shù)，該階數(shù)也需要在方程求解過程中找到。 下面介紹兩種算法。,引言,5,Levinson算法,原理 假設(shè)已得到k階線性預測系數(shù)(預測濾波參數(shù))，我們來考慮求k1階濾波參數(shù)。k階濾波參數(shù)的矩陣方程為,由于系數(shù)矩陣的Toplitz性質(zhì)，上式又有如下形式,6,Levinson算法,現(xiàn)考慮模型階數(shù)增加1, 即從k變?yōu)閗+1的情況。 對于k+1模型, 有,由于系數(shù)矩陣的Toplitz性質(zhì)，k+1階系數(shù)矩陣 可有兩種分塊形式。,7,Levinson算法,利用這個性質(zhì)，可設(shè),式中,8,Levinson算法,比較(3)和(4)，可知，當,(3)與(4)等效；且有下列兩個遞推關(guān)系式：,即當下式成立時,和,由(8)末式還可得：,(5)(10)構(gòu)成Levinson算法基礎(chǔ)。,9,Levinson算法,現(xiàn)用i表示遞推過程的階數(shù)，令i=k+1, 并設(shè)信號模型的最大階數(shù)為N，則有如下Levinson算法: 1) 由(3)式，令i=k+10，得 2) 置i=k+11; 3) 由(8)、(10)式計算 4) 由(7)、(10)式計算 5)由(6)、(7)和(10)式計算 6) 置i =i+1; 7) 判別：若 轉(zhuǎn)3)；否則，結(jié)束程序。,算法,10,Levinson算法,討論,Levinson算法第4步利用了一個重要遞推關(guān)系(12)， 通常稱為Levinson關(guān)系式 遞推過程產(chǎn)生一個濾波參數(shù)序列 通常稱為偏相關(guān)系數(shù) 遞推過程產(chǎn)生的 可用來監(jiān)視i階信號模型的均方 誤差估值。 遞推結(jié)果的最終解為 和,遞推過程及結(jié)果,11,Levinson算法,討論,優(yōu)點：計算簡單 缺點：需根據(jù)有限觀測數(shù)據(jù)估計自相關(guān)序列r(n) 短數(shù)據(jù)序列時，自相關(guān)估計值誤差很大，引起預測 濾波參數(shù)誤差，導致“譜峰飄移”和“譜線分裂”(即出 現(xiàn)虛假譜線) 長數(shù)據(jù)序列時，自相關(guān)估計值雖精確，但計算量大。,優(yōu)缺點,12,Berg算法,前向預測與后向預測 考慮信號序列值：,前向預測,后向預測,前向預測誤差：,后向預測誤差：,其中 分別為p階前、后向預測系數(shù)。,13,Berg算法,Berg算法原理,根據(jù)前面的基本概念，可知m階前向預測誤差為,類似地， m階后向預測誤差為,再利用Levinson關(guān)系式：,有,其中,14,Berg算法,Berg算法原理（續(xù)）,定義m階前、后向預測誤差的功率為,將(16)代入(17)，并令Pm對 的偏導數(shù)為零,得最佳,15,Berg算法,Berg算法,設(shè)已知有限數(shù)據(jù)序列x(n),n=0,1,N，則可按下列步驟計算預測濾波器系數(shù)，并在此基礎(chǔ)上計算功率譜。 1. 置m=0, 計算初值,2. m=m+1,并按(19)計算反射系數(shù),3.計算濾波器系數(shù)：,4. 計算預測誤差功率Pm：,5.按(16)式計算濾波器輸出,6. 置m=m+1, 并重復步驟(2)-(5), 直到m=p。,16,Berg算法,Berg算法（續(xù)）,最后，由Berg算法估計的濾波器系數(shù),計算功率譜密度：,17,內(nèi) 容,隨機信號的特征 經(jīng)典譜估計與現(xiàn)代譜估計 參數(shù)模型法概述 基于AR模型的譜估計法 最大熵譜估計算法 最小方差譜估計 基于矩陣特征分解的譜估計 高階譜估計,18,最小方差譜估計,基本原理 MV譜與ME譜或AR譜的關(guān)系,19,最小方差譜估計,MVSE基本原理,三點說明 最小方差功率譜估計(MVSE)，又稱最大似然譜估 計，但實際上它并不是最大似然譜估計； 提出者Capon,1969也把這個方法叫做高分辨率譜估 計方法，但實際上其分辨率并不高于AR模型法； 盡管這樣，但由于其思路獨特，仍有了解的必要。 下面，討論該方法的導出過程。,20,最小方差譜估計,MVSE基本原理,算法推導 將隨機信號x(n)通過FIR濾波器A(z):,則其輸出為,其中,y(n)的均方值，也就是y(n)的功率，由下式給出：,式中 為r(0),r(1),r(p)構(gòu)成的Toeplitz矩陣。 若y(n)的均值為零，則 也是y(n)的方差。,21,最小方差譜估計,MVSE基本原理,算法推導（續(xù)） 求濾波器的系數(shù)，有兩個原則：,在某一給定頻率 處,x(n)無失真通過,這等效于要求：,式中,在 附近的頻率分量被拒絕,即在 附近使 為最小。 為同時滿足這兩個原則，必須滿足下式：,這就是“最小方差”譜估計的來歷。,22,最小方差譜估計,MVSE基本原理,算法推導（續(xù)） 利用Lagrange乘子法求解(5)式,得最小方差濾波器系數(shù)為,相應的最小方差為,從而，估計的最小方差譜為,應該注意， 并不是真正意義上的功率譜，因為 對 的積分并不等于信號的功率，但它描述了真正譜的相對強度。,23,最小方差譜估計,MV譜與AR譜的關(guān)系,對自相關(guān)矩陣的逆矩陣 作Cholesky分解，有,其中 分別是0階p階AR模型系數(shù)和激勵功率(即方差)組成的矩陣，即,24,最小方差譜估計,MV譜與AR譜的關(guān)系（續(xù)）,將(8)代入(7)，得,于是，我們得到MV譜與AR譜之間的一個重要關(guān)系：,其中,25,內(nèi) 容,隨機信號的特征 經(jīng)典譜估計與現(xiàn)代譜估計 參數(shù)模型法概述 基于AR模型的譜估計法 最大熵譜估計算法 最小方差譜估計 基于矩陣特征分解的譜估計 高階譜估計,26,基于矩陣特征分解的譜估計,自相關(guān)矩陣的特征分解 基于子空間的頻率估計與信號估計,27,自相關(guān)矩陣的特征分解,基本原理,設(shè)信號x(n)由M個復正弦加白噪聲組成, 分別是第 i 個復正弦的功率和頻率, 則x(n)的自相關(guān)函數(shù)為,式中正弦信號的幅度為 為白噪聲的功率。,如果由(p+1)個rxx(n)組成自相關(guān)矩陣：,28,自相關(guān)矩陣的特征分解,基本原理（續(xù)）,且定義信號向量：,則由(1)-(3), 有,式中第一、二項分別為信號陣和噪聲陣,前者最大秩為M. 設(shè) ，對Rp進行特征分解得：,式中Vi 是對應于特征值 的特征向量,特征向量相互正交，即,29,自相關(guān)矩陣的特征分解,基本結(jié)論,從上面討論可以看出： Rp的所有特征向量V1, , Vp+1形成p+1維向量空間(信息空間), 且V1, , Vp+1相互正交。 利用相關(guān)矩陣的特征值，可將信息空間分成兩個子空間： 由主特征向量 V1, , VM 張成信號子空間(主分量) 其特征值分別為 由特征向量 VM+1, Vp+1 張成噪聲子空間 其特征值均為 信號向量e1,eM和主特征向量V1, , VM張成相同的子空間 信號子空間。 結(jié)論:可在信號子空間或噪聲子空間進行譜估計和頻率估計 應用:借助噪聲子空間噪聲特性,從信號子空間估計有用信號 下面考慮pM和pM兩種情況下基于噪聲子空間的估計問題,30,基于矩陣特征分解的譜估計,自相關(guān)矩陣的特征分解 基于子空間的頻率估計與信號估計,PHD方法 MUSIC方法,31,理論基礎(chǔ) 若p=M, 則(5)式中Rp僅有一個噪聲向量VM+1,它所 對應的 特征值就是噪聲方差 ，該特征值也是Rp的最小特征 值（因為此時 ）。可以證明，這時有,定理 1 噪聲向量VM 與信號向量ei(i1,M)都正交,即,令,則根據(jù)定理1有,其中,Pisarenko諧波分解(PHD),32,Pisarenko諧波分解(PHD),PHD算法的步驟,1)求x(n)的自相關(guān)函數(shù)并構(gòu)成自相關(guān)矩陣Rp,且設(shè) p=M 2)對Rp進行特征分解,得特征值 及特征向量 將其排序并找出最小的特征值 及相應的 3)將 代入(7)，形成 M 階多項式并求該多項式的根， 得到x(n)的M 個頻率 4)由(1)有,5)再由(1)得： 故可求得,33,MUSIC方法,理論基礎(chǔ) 若噪聲子空間的向量不止一個，用類似的方法可以證明有,定理2 信號向量ei與噪聲子空間的向量Vk都正交，即,由于自相關(guān)矩陣Rp的特征向量 構(gòu)成一組正交基，因此有,注意: (11)對應于Mp的情況，在這種情況下，若再使用(8), 則求出的V(z)將有p-M個多余零點。故不宜再使用(8)計算。,34,MUSIC方法,MUSIC算法,基本思路 由于信號向量與噪聲子空間的各個向量都正交, 因此 信號向量與噪聲空間各向量的線性組合也 正交,故有,且上式在 處應為零。從而有,該峰值對應的就是正弦信號的頻率，分辨率優(yōu)于AR模型法。,35,空間譜估計問題,陣列信號處理問題,陣列：多個天線（傳感器）的組合 陣元每個天線（傳感器）