系統(tǒng)的狀態(tài)空間法.ppt

緒 論,一、現(xiàn)代控制理論的性質(zhì)及發(fā)展,控制理論研究的問題：如何改進(jìn)系統(tǒng)的動態(tài)性能，達(dá)到所需的性能指標(biāo)。,控制系統(tǒng)中兩個重要的概念： 1、反饋的概念 2、最優(yōu)控制的概念,控制理論發(fā)展的三個時期：,1、經(jīng)典控制理論時期（二十世紀(jì)3050年代）,研究對象主要是線性系統(tǒng)，以拉氏變換為數(shù)學(xué)工具。,較好的解決了單輸入單輸出反饋控制問題。,2、現(xiàn)代控制理論時期（二十世紀(jì)5070年代）,研究對象為多變量、非線性、時變、離散系統(tǒng)。,以線性代數(shù)和微分方程為主要的數(shù)學(xué)工具，以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)，分析和設(shè)計控制系統(tǒng)。,3、大系統(tǒng)理論和智能控制理論時期（二十世紀(jì)70年代至今）,二、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)主要內(nèi)容,1、線性系統(tǒng)理論,2、系統(tǒng)辨識,3、最優(yōu)控制,4、最優(yōu)估計,5、自適應(yīng)控制,1、線性系統(tǒng)理論,建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程，系統(tǒng)的響應(yīng)特性，系統(tǒng)的穩(wěn)定性，能控性，能觀測性，狀態(tài)反饋，狀態(tài)觀測器,2、系統(tǒng)辨識,包括結(jié)構(gòu)辨識和參數(shù)辨識,3、最優(yōu)控制,通過觀測一個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系來確定其數(shù)學(xué)模型的方法。,在已知系統(tǒng)狀態(tài)方程、初始條件及某些約束條件下，尋找一個最優(yōu)控制量，使系統(tǒng)的狀態(tài)或輸出在控制向量作用下，使某一指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值。,4、最優(yōu)估計,在通訊工程中，接受到的信號為：,Y（t）=S（t）+（t）,有用信號,干擾躁聲,5、自適應(yīng)控制,自適應(yīng)控制一般分為兩類：模型參考自適應(yīng)控制，自校正自適應(yīng)控制。,當(dāng)控制對象的結(jié)構(gòu)或參數(shù)隨環(huán)境條件的變化而有大的變化時，為了保證控制系統(tǒng)在整個控制過程中都滿足某一最優(yōu)準(zhǔn)則，則最優(yōu)控制器的參數(shù)就要隨之加以調(diào)節(jié)，這類控制為自適應(yīng)控制。,四、本課程主要內(nèi)容,1、狀態(tài)空間法,2、動態(tài)分析,3、能控性與能觀測性,三、控制理論的應(yīng)用,航天與航空、電機(jī)械、化工、冶金、交通、醫(yī)療,4、結(jié)構(gòu)分解與實(shí)現(xiàn),5、穩(wěn)定性分析,6、狀態(tài)反饋,7、最優(yōu)控制,8、最小值原理,五、參考書,1、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)機(jī)械工業(yè)出版社 常春馨編,2、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)北京工業(yè)大學(xué)出版社 謝克明編,3、現(xiàn)代控制理論機(jī)械工業(yè)出版社 劉豹編,4、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)電子工業(yè)出版社 尤昌德編,第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,1.1 概述,1.2 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,1.4 狀態(tài)方程的線性變換,1.5 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,1.6 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,1.7 時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀 態(tài)空間表達(dá)式,1.1 概述,古典控制理論是基于傳遞函數(shù)來分析與設(shè)計系統(tǒng)。,現(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上。,1.2 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,1.2 . 1 基本概念,1、系統(tǒng)的狀態(tài)：系統(tǒng)運(yùn)動信息的集合，表示系統(tǒng) 過去、現(xiàn)在、將來的運(yùn)動狀況。,2、系統(tǒng)的狀態(tài)變量：唯一確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨(dú)立變量。能夠完全描述系統(tǒng)時域行為的最小變量組。狀態(tài)變量的選取不唯一。,1.2 . 1 基本概念,3、狀態(tài)矢量：以n個狀態(tài)變量為分量，構(gòu)成一個n維矢量。,4、狀態(tài)空間 ：以n個狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的空間，稱為n維狀態(tài)空間。,5、狀態(tài)方程 ：狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與輸入變量及狀態(tài)變量的關(guān)系式。,一階微分方程,6、輸出方程 ：輸出變量與輸入變量及狀態(tài)變量的關(guān)系式。,1.2 . 1 基本概念,代數(shù)方程,7、狀態(tài)空間表達(dá)式 ：狀態(tài)方程和輸出方程。,1.2 . 2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式,例：某機(jī)械運(yùn)動系統(tǒng)的物理模型，它是一個彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，試建立輸入的外力u (t)，輸出為位移 y (t)的狀態(tài)空間表達(dá)式。,y1= f1(x1 x2 u1 u2),K：彈性系數(shù),f：阻尼系數(shù),1.2 . 2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式,解：系統(tǒng)的運(yùn)動方程：,系統(tǒng)的狀態(tài)變量：x1=y,u,y,系統(tǒng)的狀態(tài)方程：,系統(tǒng)的輸出方程：,y = x1,1.2 . 2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式,u,y,矩陣形式：,y = x1,簡寫為：,1.2 . 2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式,多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)：,1.2 . 2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式,1.2 . 3 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間的一般表達(dá)式,1.2 . 4 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖和 信號流圖,B,D,C,A,U(t),Y(t),DU,AX,CX,比例器,加法器,積分器,1、結(jié)構(gòu)圖,BU,X,1.2 . 4 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖和 信號流圖,例：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,解：這是一個三階系統(tǒng)，需3個積分器,例：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,解：這是一個三階系統(tǒng)，需3個積分器,x1,+,2、信號流圖,將上例中的結(jié)構(gòu)圖用信號流圖表示,2、信號流圖,將上例中的結(jié)構(gòu)圖用信號流圖表示,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,1.3 .1由系統(tǒng)方框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式,例：試建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,解：將慣性環(huán)節(jié)變?yōu)榉e分環(huán)節(jié),1.3 .1由系統(tǒng)方框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式,解：將慣性環(huán)節(jié)變?yōu)榉e分環(huán)節(jié),1.3 .1 由系統(tǒng)方框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式,1.3 .1 由系統(tǒng)方框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式,y =x1,1.3 .1 由系統(tǒng)方框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式,例：含有零點(diǎn),1.3 .2 由系統(tǒng)的工作機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式,例：由RLC組成的系統(tǒng)如圖，u為輸入變量，y為輸出變 量，試建立它的狀態(tài)空間表達(dá)式。,解：u= uR + uL + uC,1.3 .2 由系統(tǒng)的工作機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式,例：試建立圖中所示的機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的狀態(tài)空間表 達(dá)式。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為J。,B,K,T,B：粘性阻尼系數(shù)。 K： 扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。,T：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。 ：轉(zhuǎn)動的角度。,解：設(shè)扭轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動角度及其角速度為狀態(tài)變量。,u=T,根據(jù)牛頓定律：,1.3 .2 由系統(tǒng)的工作機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式,例：試建立圖中所示的機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的狀態(tài)空間表 達(dá)式。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為J。,B,K,T,B：粘性阻尼系數(shù)。 K： 扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。,T：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。 ：轉(zhuǎn)動的角度。,解：設(shè)扭轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動角度及其角速度為狀態(tài)變量。,1.3 .3 由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式,1、輸入函數(shù)不包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時,設(shè)系統(tǒng)的微分方程：,變換為：,令：,x1=y,xn1=y（n2）,xn=y（n1）,系統(tǒng)狀態(tài)方程：,1.3 .3 由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式,1、輸入函數(shù)不包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時,系統(tǒng)狀態(tài)方程：,y =x1,y =x1,1.3 .3 由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式,2、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時,設(shè)系統(tǒng)的微分方程：,狀態(tài)空間表達(dá)式,選擇待定系數(shù)c1 、c2 、c3使?fàn)顟B(tài)方程中不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng),2、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時,將上式展開：,求c1 、c2 、c3,2、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時,令：,y= x1+c0u （1）,a1 （3）+ a2 （2）+ a3 （1）+（4）,即：,2、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時,比較系數(shù)得：,c0= b0,c1=b1a1c0,c2=b2a1c1 a2c0,c3=b3a1c2 a2c1 a3c0,對于n階系統(tǒng)：,cn=bna1cn1a2c n2 aic ni anc0,2、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時,求系統(tǒng)的狀態(tài)變量,y= x1+c0u （1）,x1 = y c0u （1）,因?yàn)椋?所以：,狀態(tài)變量是由y、u及它的各價導(dǎo)數(shù)組成。,解：c0=0,b0=0,c1=b1a1c0=140=1,c2=b2a1c1 a2c0=1 41= 3,c3=b3a1c2 a2c1 a3c0=3 4（ 3）21=13,y= x1,作業(yè)： 1-1試求系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立狀態(tài)空間表達(dá)式。,u,y,+,1 T2S+1,+,1-2 將y+2y+4y+6y=2u變換為狀態(tài)空間表達(dá)式。, ,1-3 將,變換為狀態(tài)空間表達(dá)式。,1-3 試建立圖中所示的機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的狀態(tài)空間表 達(dá)式。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為J。,K,T,B：粘性阻尼系數(shù)。 K： 扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。,T：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。 ：轉(zhuǎn)動的角度。,1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù),=G(S)+d,化為真分式：,輸出與輸入之間的直接傳遞關(guān)系,首先討論G(S),1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,G(S) =,1、G(S)特征方程的n個極點(diǎn)互異,用部分分式法,S1、 S2、 Sn：特征方程的極點(diǎn),k1、 k2、 kn：待定系數(shù),因?yàn)?ki=,1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,設(shè)第i個狀態(tài)變量的拉氏變換為,(SSi) xi(S)= U(S),Sxi (S)=Sixi(S)+U(S),由拉氏反 變換得狀態(tài)方程：,1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,求輸出方程：,=k1x1(S)+ k2x2(S)+ + knxn(S),y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t),y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+du,計入d的影響,1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,矩陣形式：,y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+du,對角線標(biāo)準(zhǔn)形,+du,1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,信號流圖：,y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+du,u,1,1,1,1,1,1,y,d,例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,G(S) =,試用部分分式法寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。,解：由 S3+7S2+14S+8=0,求得：S1= 1、 S2= 2、 S3= 4,1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,2、G(S)特征方程有相重極點(diǎn),設(shè)系統(tǒng)有5個特征根：S1、 S1、 S1、 S4、 S5。,重極點(diǎn)系數(shù)：,單極點(diǎn)系數(shù)：,m：重極點(diǎn)的個數(shù),1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,2、G(S)特征方程有相重極點(diǎn),設(shè)狀態(tài)變量的拉氏變換為,則：,1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,2、G(S)特征方程有相重極點(diǎn),整理后得：,Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S),Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S),Sx3(S)=S1x3(S)+U(S),Sx4(S)=S4x4(S)+U(S),Sx5(S)=S5x5(S)+U(S),1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,2、G(S)特征方程有相重極點(diǎn),取拉氏反 變換，得系統(tǒng)狀態(tài)方程：,Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S),Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S),Sx3(S)=S1x3(S)+U(S),Sx4(S)=S4x4(S)+U(S),Sx5(S)=S5x5(S)+U(S),1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,2、G(S)特征方程有相重極點(diǎn),系統(tǒng)狀態(tài)方程：,約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,2、G(S)特征方程有相重極點(diǎn),=k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x4(S)+ k5x5(S),求輸出方程：,1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,2、G(S)特征方程有相重極點(diǎn),Y(S)=k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x4(S)+ k5x5(S),y(t) =k11x1(t)+ k12x2(t)+ k13x3(t) + k4x4(t)+ k5x5(t),系統(tǒng)輸出方程：,1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,y(t) =k11x1(t)+ k12x2(t)+ k13x2(t) + k4x4(t)+ k5x5(t),信號流圖：,例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,G(S) =,試用部分分式法寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。,解：由 S3+7S2+16S+12=0,求得：S1= 2、 S2= 2、 S3= 3,(S+2)2(S+3)=0,S2,信號流圖或結(jié)構(gòu)圖？,作業(yè),1-4 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,試用部分分式法寫出狀態(tài)空間表達(dá)式，畫出系統(tǒng)的 模擬結(jié)構(gòu)圖或信號流圖。,1.3 .1 由系統(tǒng)方框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式,1.3 .2 由系統(tǒng)的工作機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式,1.3 .3 由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式,1.3 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,1.4 狀態(tài)方程的線性變換,特征矢量線性變換法，把狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)形 或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。,1.4 .1 系統(tǒng)狀態(tài)的線性變換,設(shè)：X=x1 x2 x3 xnT,它們之間的線性變換：,P：nn非奇異變換陣,1.4 .1 系統(tǒng)狀態(tài)的線性變換,1.4 .2 系統(tǒng)的特征值,1、特征值及特征矢量,AP=P,A的特征值,P AP=0,(I A)P =0,有非零解的必要條件：,|I A | =0,A的特征方程,1.4 .2 系統(tǒng)的特征值,|I A | = n +a1 n1+a n1 + a n,求得A的特征值： 1、 2、 n,Api=ipi,對應(yīng)于i的一個特征矢量,由全部所對應(yīng)的特征矢量：,P=p1 p2 pi pn,線性變換陣,2、特征值不變性,特征多項(xiàng)式,經(jīng)線性變換后，其特征值不變。,|I A |,2、特征值不變性,對于,對于,1.4 .3 化狀態(tài)方程為對角線標(biāo)準(zhǔn)形,設(shè),，若A的特征值1、 2、 n互異，,則必存在非奇異變換陣P，使其進(jìn)行X=PX的變換后，其,狀態(tài)方程,將為對角線標(biāo)準(zhǔn)形，即,且,P=p1 p2 pi pn,A的特征值： 1、 2、 n,特征矢量：,p1 p2 pi pn,證明,證明：,若Pi是對應(yīng)于i的一個特征矢量,則必滿足(iI A)pi =0,Ap2=2p2,Api=ipi,Ap1=1p1,證明：,Ap2=2p2,Api=ipi,Ap1=1p1,Api=ipi,Apn=npn,寫成矩陣形式：,Ap1 Ap2 Api Apn,=1p1 2p2 ipi npn,Ap1 p2 pi pn= 1p1 2p2 ipi npn,AP= p1 p2 pi pn,1.4 .3 化狀態(tài)方程為對角線標(biāo)準(zhǔn)形,證畢,例：試將狀態(tài)方程,變換為對角線標(biāo)準(zhǔn)形。,解：(1)求系統(tǒng)特征值,|I A | =,|I A |,= 3+6 2+11 +6=0,( +1)( +2) ( +3)=0,(2)求特征矢量,對應(yīng)于1= 1 的特征矢量為p1，,Ap1=1p1,可以看出： p21=0,p11=p31,令 p11=1 p31 =1,求得： 1= 1、 2= 2、 3= 3,同理，將 2= 2、 3= 3分別代入,Ap2=2p2,Ap3=3p3,求得：,變換陣P=p1 p2 p3=,1.4 .4 化狀態(tài)方程為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,當(dāng)A有相重特征值時； 1、A的線性獨(dú)立特征矢量數(shù)等于它的階數(shù)n，這時A 仍可以化為對角線標(biāo)準(zhǔn)形；,2、A的線性獨(dú)立特征矢量數(shù)小于它的階數(shù)n，這時A 不能化為對角線標(biāo)準(zhǔn)形，只能化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；,1.4 .4 化狀態(tài)方程為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,例：,A=,對應(yīng)特征值： 1= 1、 2= 1、 3= 2,對應(yīng)于1= 1 的特征矢量為p1，,顯然1I A 的秩是1， p1有兩個獨(dú)立的解，對應(yīng)兩個 獨(dú)立的特征矢量，即,1.4 .4 化狀態(tài)方程為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,對應(yīng)于3= 3 的特征矢量為p3，,1.4 .4 化狀態(tài)方程為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,若：,A=,對應(yīng)特征值： 1= 1、 2= 1、 3= 2,但rank1I A =2，獨(dú)立的特征矢量只有一個。,約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：,1.4 .4 化狀態(tài)方程為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,設(shè)A是55的方陣，其特征值為1、 1、 1、 4和5， 存在一個變換陣Q，使得,J= Q1AQ,A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J由三個約當(dāng)塊組成。若 1 只有一個 獨(dú)立的特征矢量，則,J= Q1AQ=,1.4 .4 化狀態(tài)方程為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,J= Q1AQ=,若 1 有兩個獨(dú)立的特征矢量，則,若 1 有三個獨(dú)立的特征矢量，則,J= Q1AQ=,1.4 .4 化狀態(tài)方程為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,設(shè) 1 有一個獨(dú)立的特征矢量，求Q。,J= Q1AQ,Q J=AQ,令,=Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,=A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,1.4 .4 化狀態(tài)方程為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,=A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,將上式展開得：, 1 Q1=A Q1,Q1 + 1 Q2=A Q2,Q2 + 1 Q3=A Q3, 5Q5=A Q5, 4 Q4=A Q4,（ 1 IA）Q1= 0,（ 1 IA）Q2= Q1,（ 1 IA）Q3= Q2,（ 4 IA）Q4= 0,（ 5 IA）Q5= 0,Q1、Q4、Q5為獨(dú)立特征矢量，Q2、Q3為非獨(dú)立特征矢量,1.4 .4 化狀態(tài)方程為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,（ 1 IA）Q1= 0,（ 1 IA）Q2= Q1,（ 1 IA）Q3= Q2,（ 4 IA）Q4= 0,（ 5 IA）Q5= 0,解此方程組得變換陣Q,解：(1)求系統(tǒng)特征值,|I A | =,= ( 1)2( 2),1.4 .4 化狀態(tài)方程為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,|I A | =( 1)2( 2),求得： 1= 1、 2= 1、 3= 2,將1= 1 代入（ 1 IA）Q1= 0中,rank1I A =2，獨(dú)立的特征矢量只有一個。,任取q11=1,解得q21= 3/7， q31= 5/7,再將Q1代入（ 1 IA）Q2= Q1中,rank2I A =2，獨(dú)立的特征矢量只有一個。,任取q12=1,解得q22= 22/49， q32= 46/49,再將Q1代入（ 1 IA）Q2= Q1中,要保證Q陣非奇異,將3=2代入（3 IA）Q3= 0中,rank2I A =2， 獨(dú)立的特征矢量只有一個。,令q13=2，則q23= 1，q33= 2,作業(yè),1-5 已知,試化為標(biāo)準(zhǔn)形并求其傳遞函數(shù)。,1.5 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,1.5 .1 傳遞函數(shù)陣的概念,當(dāng)初始條件為零時,Y1(S)=G11(S) U1(S)+ G12(S) U2(S),Y2(S)=G21(S) U1(S)+ G22(S) U2(S),雙輸入雙輸出,1.5 .1 傳遞函數(shù)陣的概念,Y1(S)=G11(S) U1(S)+ G12(S) U2(S),Y2(S)=G21(S) U1(S)+ G22(S) U2(S),簡記為：Y (S) =G(S) U (S),n個輸入n個輸出,分離式控制,1.5 .2 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,Y (S)=G0(S) E(S)= G0(S) U(S)F(S),G0(S),H(S),E(S),F(S),U(S),Y(S),=G0(S) U(S)H(S) Y(S), I+G0(S) H(S) Y(S)= G0(S) U(S),Y (S)= I+G0(S) H(S) 1 G0(S) U(S),閉環(huán)傳遞函數(shù)陣：G(S)= I+G0(S) H(S) 1 G0(S),1.5 .3 由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,X：n維，,Y：m維，,U：r維，,對上式取拉氏變換,SX(S)X(0)=AX(S)+BU(S),X(0)=0,Y(S)=CX(S)+DU(S),SX(S) =AX(S)+BU(S),X(S) =SIA1BU(S),Y(S)= CSIA1B +D U(S),傳遞函數(shù)陣：G（S）= CSIA1B +D,例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,x1=x2+u1,x2=x3+2u1u2,x3=6x111x26x3+2u2,y1=x1 x2,y2 =2x1+x2 x3 試求其傳遞函數(shù)陣。,解：,G（S）= CSIA1B +D,1.5 .4 傳遞函數(shù)陣的不變性,對狀態(tài)方程進(jìn)行線性變換后，其對應(yīng)的傳遞函數(shù)陣不變.,證明：G(S):原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,G(S)= CSIA1B +D,設(shè)P是非奇異變換陣，由于,= CPS P1PP1AP1 P1B +D,= CPP1( S IA) P1 P1B +D,= CP P1 S IA 1 PP1B +D,= C S IA 1 B +D,1.5 .5 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式與 傳遞函數(shù)陣,1、子系統(tǒng)的并聯(lián)聯(lián)結(jié),設(shè)子系統(tǒng)S1、S2分別為n1、n2維，其組合系統(tǒng)的示意圖,Y (t),組合系統(tǒng),Y=Y1+ Y2= C1X1+D1U+ C2X2+D2U,傳遞函數(shù)陣：,G1(S)= C1SIA11B1 +D1,G2(S)= C2SIA