線性系統(tǒng)的時域分析.ppt

第三章 線性系統(tǒng)的時域分析,3.1 動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標 3.2 一階系統(tǒng)的時域分析 3.3 二階系統(tǒng)的時域分析 3.4 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 3.6 基于MATLAB的線性系統(tǒng)時域分析 小結(jié),時域分析給系統(tǒng)施加一輸入信號，通過研究系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）來評價系統(tǒng)的性能。 如何評價一個系統(tǒng)性能的好壞，有一些動態(tài)和穩(wěn)態(tài)的性能指標可以參考。,3.1 動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標,在學習這些性能指標之前，首先來看一下系統(tǒng)所常用的一些典型輸入信號。 一、典型輸入信號 1. 階躍函數(shù) 階躍函數(shù)(見圖3-1(a)的時域表達式為,式中,R為常數(shù),當R 1時,r(t)=1(t)為單位階躍函數(shù)。,圖 3-1 典型輸入信號,2. 斜坡函數(shù)(等速度函數(shù)) 斜坡函數(shù),也稱等速度函數(shù)(見圖3-1(b)，其時域表達式為,式中, R為常數(shù)。當R1, r(t)=t為單位斜坡函數(shù)。因為dr(t)/dt=R, 所以階躍函數(shù)為斜坡函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)。,3. 拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)） 拋物線函數(shù)(見圖3-1(c)的時域表達式為,式中，R為常數(shù)。當R1時, r(t)=t2/2為單位加速度函數(shù)。因為dr(t)/dt=Rt, 所以斜坡函數(shù)為拋物線函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)。,4. 脈沖函數(shù) 脈沖函數(shù)(見圖3-1(d)的時域表達式為,式中，h稱為脈沖寬度, 脈沖的面積為1。若對脈沖的寬度取趨于零的極限, 則有,稱此函數(shù)為單位脈沖函數(shù)。(見圖3-1(e),5. 正弦函數(shù) 正弦函數(shù)(見圖3-1(f)的時域表達式為,式中, A為振幅, 為角頻率。,二、動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程 1.動態(tài)過程 動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程, 指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下, 系統(tǒng)輸出量從開始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。 動態(tài)過程一般表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。一個可以實際運行的控制系統(tǒng)，其動態(tài)過程必須是衰減的，即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動態(tài)過程除提供系統(tǒng)的穩(wěn)定性信息外，還可以給出響應(yīng)速度、阻尼情況等信息。這些信息用動態(tài)性能指標描述。,2.穩(wěn)態(tài)過程 穩(wěn)態(tài)過程(穩(wěn)態(tài)響應(yīng))，是指當時間t趨近于無窮大時，系統(tǒng)輸出狀態(tài)的表現(xiàn)形式。它表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度， 提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息， 用穩(wěn)態(tài)性能指標來描述。 控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的性能指標，通常由動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標兩部分組成。,三、動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標 1. 動態(tài)性能指標 動態(tài)性能指標通常根據(jù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線定義。設(shè)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-2所示。 系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)值為,圖 3-2 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線,動態(tài)性能指標通常有以下幾種： 上升時間tr： 若階躍響應(yīng)不超過穩(wěn)態(tài)值，上升時間為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間； 對于有振蕩的系統(tǒng)，上升時間定義為響應(yīng)從零第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。上升時間越短，響應(yīng)速度越快。 峰值時間tp： 階躍響應(yīng)曲線超過穩(wěn)態(tài)值，到達第一個峰值所需要的時間。 ,調(diào)節(jié)時間ts： 在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)(通常取 5%或 2%)作一個允許誤差范圍，響應(yīng)曲線達到并永遠保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所需的時間。 最大超調(diào)量p：設(shè)階躍響應(yīng)的最大值為c(tp)，則最大超調(diào)量p可由下式確定:,振蕩次數(shù)N：在0tts內(nèi)，階躍響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值c()次數(shù)的一半稱為振蕩次數(shù)。 上述動態(tài)性能指標中，常用的指標有tr、ts和p。上升時間tr評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度；p評價系統(tǒng)的運行平穩(wěn)性或阻尼程度；ts為能同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標。,2. 穩(wěn)態(tài)性能指標 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能指標：穩(wěn)態(tài)誤差。 若時間趨于無窮時, 系統(tǒng)輸出量不等于輸入量, 則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。可見，穩(wěn)態(tài)誤差是一種度量控制系統(tǒng)精度的指標。,3.2 一階系統(tǒng)的時域分析,圖 3-3 (a) 一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖； (b) 簡化結(jié)構(gòu)圖,一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,一、單位階躍響應(yīng) 對于單位階躍輸入,有,由拉氏反變換得，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c(t)為,式中，cs(t)=1是穩(wěn)態(tài)分量, 由輸入信號決定。ct(t)=e-t/T是瞬態(tài)分量(暫態(tài)分量), 當t時, 瞬態(tài)分量按指數(shù)規(guī)律衰減到零。,一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的典型數(shù)值：,圖 3-4 一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線,單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-4所示,曲線特點：在 t=0 處的切線斜率為,取 5%的誤差帶 ts=3T 取 2%的誤差帶 ts=4T,二、單位脈沖響應(yīng) 對于單位脈沖函數(shù) r(t)=(t), R(s)=1 輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同, 即,由拉氏反變換得系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng),結(jié)論： 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是其單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù),單位階躍響應(yīng),單位脈沖響應(yīng),滿足導(dǎo)數(shù)關(guān)系,理論：如果線性定常系統(tǒng)的輸入滿足導(dǎo)數(shù)關(guān)系，則系統(tǒng)的輸出也滿足相應(yīng)導(dǎo)數(shù)關(guān)系。,因此,研究線性定常系統(tǒng)的輸出響應(yīng),不必對每種輸入信號進行計算,往往只取其中一種典型形式進行研究即可。,3.3 二階系統(tǒng)的時域分析,一、二階系統(tǒng)的各種狀態(tài) 典型的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-5所示，它是一個由慣性環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負反饋系統(tǒng)。,圖3-5 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,令,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)化為如下標準形式：,式中， 稱為阻尼比, n稱為無阻尼自然振蕩角頻率。,因此，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可化簡為如圖3-6所示結(jié)構(gòu)。,所以, 系統(tǒng)的兩個特征根(極點)為,圖3-6 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖,二階系統(tǒng)的特征方程為,隨著阻尼比 取值不同, 二階系統(tǒng)特征根(極點)也不相同。,1. 欠阻尼狀態(tài)(0 1) 當0 1時, 兩特征根為,是一對共軛復(fù)數(shù)根, 如圖3-7(a)所示。,圖 3-7 二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布,2. 臨界阻尼狀態(tài)( =1) 當 =1時, 特征方程有兩個相同的負實根, 即 s1,2= -n 如圖3-7(b)所示。,圖 3-7 二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布,3. 過阻尼狀態(tài)( 1) 當 1時, 兩特征根為,為兩個不同的負實根, 如圖3-7(c)所示。,圖 3-7 二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布,4. 無阻尼狀態(tài)( =0) 當 =0時, 特征方程有一對共軛純虛數(shù)根, 即,如圖3-7(d)所示。,圖 3-7 二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布,二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 已知r(t)=1(t), 則有R(s)=1/s。所以, 二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下輸出信號的拉氏變換為,對上式求拉氏反變換, 可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的輸出c(t),（1）,1. 欠阻尼狀態(tài)(0 1) 在這種情況下, 式(1)可以展成如下部分分式形式：,式中, 稱為阻尼自然振蕩角頻率。式(2)的拉氏反變換為,（2）,（3）,由式(3)可知, 在欠阻尼狀態(tài)下, 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是衰減的正弦振蕩曲線(如圖3-8所示)。衰減速度取決于特征根實部的絕對值 的大小, 振蕩角頻率是特征根虛部的絕對值, 即阻尼自然振蕩角頻率 , 振蕩周期為,2. 無阻尼狀態(tài)( =0) 當 =0時, 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為,所以, 無阻尼情況下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是等幅正(余)弦振蕩曲線(如圖3-8所示), 振蕩角頻率是n。,3. 臨界阻尼狀態(tài)( =1) 當 =1時,系統(tǒng)輸出的拉氏變換為,對上式進行拉氏反變換得,二階系統(tǒng)臨界阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)是一條無超調(diào)的單調(diào)上升曲線(如圖3-8所示)。,4. 過阻尼狀態(tài)( 1) 這種情況下, 系統(tǒng)存在兩個不等的負實根, 即,系統(tǒng)輸出的拉氏變換為,式中,取上式的拉氏反變換可得 過阻尼情況下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為,(t0),系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)中包含了兩個衰減的指數(shù)項, 其響應(yīng)曲線如圖3-8所示。,圖 3-8 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線,從圖中可以看出, 隨著阻尼比 的減小, 階躍響應(yīng)的振蕩程度加劇。 =0時是等幅振蕩, 1時是無振蕩的單調(diào)上升曲線, 其中臨界阻尼情況對應(yīng)的調(diào)整時間最短。 在欠阻尼的狀態(tài)下, 當0.4 0.8時, 調(diào)整時間比臨界阻尼時更短, 而且振蕩也不嚴重。因此在控制工程中, 除了那些不允許產(chǎn)生超調(diào)和振蕩的情況外, 通常都希望二階系統(tǒng)工作在0.4 0.8的欠阻尼狀態(tài)。,三、二階系統(tǒng)的性能指標,1. 欠阻尼狀態(tài)(0 1),上升時間 tr 根據(jù)上升時間的定義, 上升時間滿足,所以有,得,因為上升時間tr 為響應(yīng)從零第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。,所以令上式中的n=1，得上升時間tr 為,峰值時間 tp 在峰值時間tp處，輸出c(t)為最大值。 將系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)c(t)對時間求導(dǎo), 并令其為零, 即,得,整理、變換得,根據(jù)三角函數(shù)的周期性, 上式成立需滿足： dtp=0, ,2, 3， 由于峰值時間是輸出響應(yīng)達到第一個峰值所對應(yīng)的時間, 因此應(yīng)取,得峰值時間為,最大超調(diào)量p 最大超調(diào)量發(fā)生在峰值時間tp，將tp代入c(t)得,得最大超調(diào)量,調(diào)節(jié)時間ts,由近似公式，當0 0.8時，,若取=5%，,若取=2%,振蕩次數(shù)N,當0 0.8時，,圖 3-9 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,例1 某二階系統(tǒng)如圖3-9所示, 其中系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)=0.6, n=5rad/s。輸入信號為單位階躍函數(shù), 求性能指標tr、tp、ts、p和N的數(shù)值。,所以,解 二階系統(tǒng)閉環(huán)傳函,因0 1，所以系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。 根據(jù)給定的參數(shù)可以得出,上升時間,峰值時間,最大超調(diào)量,調(diào)節(jié)時間,振蕩次數(shù),例2 設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-10所示。要求系統(tǒng)的性能指標為p=20%, tp=1s。試確定系統(tǒng)的K和KA值, 并計算性能指標tr、ts和N。 ,圖3-10 控制系統(tǒng)框圖,解 首先, 根據(jù)要求的p求取相應(yīng)的阻尼比 ：,解得 =0.456。,其次, 由已知條件tp=1s和已求出的 =0.456 ，求無阻尼自然振蕩頻率n, 即,解得n=3.53rad/s。 此二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，由圖3-10得,與標準形式 比較, 求K和KA值。,得K=12.5, KA=0.178。,最后計算tr、ts和N：,比較上兩式得,3.4 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,一、穩(wěn)定的基本概念 設(shè)一個線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài), 若它瞬間受到某一擾動的作用偏離了原來的平衡狀態(tài), 當擾動消失后, 如果系統(tǒng)還能回到原有的平衡狀態(tài), 則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 反之, 系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。, 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性表現(xiàn)為其時域響應(yīng)的收斂性。如果線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng)隨著時間的推移, 是逐漸收斂的,即 系統(tǒng)的時域響應(yīng)能最終收斂到一個穩(wěn)定狀態(tài), 則稱該線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的; 反之，如果時域響應(yīng)發(fā)散, 則該線性定常系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。,二、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的通式為,系統(tǒng)的特征方程式為,經(jīng)過研究得出如下結(jié)論： 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是, 特征方程式的所有根均為負實根或其實部為負的復(fù)根, 即特征方程的根均在復(fù)平面的左半平面。 由于系統(tǒng)特征方程的根就是系統(tǒng)閉環(huán)傳函的極點, 因此也可以說, 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)傳函的極點均在復(fù)平面的左半平面。, 若線性定常系統(tǒng)在復(fù)平面右半平面沒有極點, 但虛軸上存在極點, 則稱系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。在工程上, 臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定, 因為參數(shù)的微小變化就會使極點具有正實部, 從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。,三、勞斯穩(wěn)定判據(jù),根據(jù)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件, 我們可以通過求取系統(tǒng)特征方程式的根, 并檢查根實部的符號來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 但由于系統(tǒng)特征方程式一般為高次代數(shù)方程, 因此要計算其特征根并不是一件容易的事。,采用勞斯穩(wěn)定判據(jù), 可以不用求解特征方程, 而只根據(jù)特征方程系數(shù)做簡單的運算, 就可以確定方程是否有(以及有幾個)正實部的根, 從而判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 以下是勞斯判據(jù)的具體內(nèi)容。,設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為,將特征方程的各項系數(shù)排成下面形式的行和列, 即為勞斯表：,表中,一直計算到系數(shù)bi等零為止。 同樣按照上述方法, 可以求出c, d, e, f 等系數(shù), 即,勞斯表一共有n+1行。其中第n+1行僅第一列有值, 且正好是方程最后一項an。,勞斯穩(wěn)定判據(jù)給出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程的各項系數(shù)全部為正數(shù)，并且勞斯表中第一列所有項均為正數(shù)。系統(tǒng)在復(fù)平面右半平面極點的個數(shù)等于勞斯表第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。,注意 在展開的勞斯表中, 有時為了簡化其后的數(shù)值運算, 可以讓某一整行去除以或乘以某一正整數(shù), 這并不改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論。,例 3 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 列勞斯表,由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次, 因此該方程中有兩個根在復(fù)平面的右半平面, 故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,例 4 設(shè)有一個三階系統(tǒng)的特征方程,式中所有系數(shù)均為正數(shù)。試證明該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是a1a2a0a3。,證明 列勞斯表得,根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)得, 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件除特征方程所有系數(shù)均為正數(shù)外，勞斯表中第一列系數(shù)還必須均大于零。 所以有,a1a2a0a3,例 5 考慮圖3-11所示的系統(tǒng), 確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。,圖 3-11 控制系統(tǒng)框圖,解 由圖3-11可知, 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,所以系統(tǒng)的特征方程為,列勞斯表如下：,根據(jù)勞斯判據(jù), 系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足,因此, 使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為,當K=14/9時, 系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,需要指出, 在運用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時, 有時會遇到下列兩種特殊情況： (1) 在勞斯表的某一行中, 第一列元素為零, 而其余各列元素均不為零, 或部分不為零; (2) 勞斯表的某一行元素全部為零。 ,在這兩種情況下, 兩個大小相等符號相反的實根 表明系統(tǒng)在復(fù)平面內(nèi)可能存在 兩個共軛虛根 以虛軸對稱的兩對共軛復(fù)根, 此時，系統(tǒng)處在不穩(wěn)定狀態(tài)或臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,下面通過實例說明這時應(yīng)如何排勞斯表。若遇到第一種情況, 可用一個任意小的正數(shù)代替為零的元素, 然后繼續(xù)進行計算, 完成勞斯表。 ,例如, 系統(tǒng)的特征方程為,列勞斯表,因為勞斯表中第一列元素的符號改變了兩次, 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定, 且有兩個正實部的特征根。,若遇到第二種情況, 先用全零行的上一行元素構(gòu)造一個輔助方程（輔助方程的最高次數(shù)總是偶數(shù)）, 再將上述輔助方程對s求導(dǎo), 用求導(dǎo)后的方程系數(shù)代替全零行的元素, 繼續(xù)完成勞斯表。 例如, 系統(tǒng)的特征方程為,列勞斯表,由以上可以看出, 勞斯表中第一列元素符號均大于零, 故系統(tǒng)不含具有正實部的根, 而含一對純虛根, 可由輔助方程2s2+2=0解出是j。,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,穩(wěn)態(tài)誤差作為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標是衡量系統(tǒng)控制精度的。應(yīng)當強調(diào)的是, 只有對穩(wěn)定的系統(tǒng)，我們才可以分析它的穩(wěn)態(tài)誤差。,一、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差 設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3-12所示。,圖 3-12 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,誤差是系統(tǒng)設(shè)定輸入量與主反饋量之差, 即,在單位負反饋情況下,穩(wěn)態(tài)誤差是指一個穩(wěn)定的系統(tǒng)在設(shè)定的輸入或擾動作用下, 經(jīng)歷動態(tài)過程進入穩(wěn)態(tài)后的誤差, 即,二、系統(tǒng)的類型 穩(wěn)態(tài)誤差的計算與系統(tǒng)的類型有關(guān), 而系統(tǒng)的類型是由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)決定的。,一般情況下, 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為,其中，K為系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)； i和Tj為時間常數(shù)；為開環(huán)傳遞函數(shù)中積分單元的個數(shù), 即開環(huán)傳遞函數(shù)在原點處極點的重數(shù)。,若=0、1、2、3 則系統(tǒng)分別稱為0型系統(tǒng)、型系統(tǒng)、型系統(tǒng)、型系統(tǒng)。,三、穩(wěn)態(tài)誤差的計算 計算穩(wěn)態(tài)誤差的基本系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-12所示, 根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理, 可求得系統(tǒng)在設(shè)定輸入和擾動輸入作用下的系統(tǒng)誤差為,其中,G開(s)=G1(s)G2(s)H(s)， 由上式可知, 系統(tǒng)的誤差由兩部分組成： 由系統(tǒng)給定輸入信號引起的誤差（給定誤差）(對應(yīng)式中第一項), 它反映了系統(tǒng)跟蹤輸入信號的能力; 由擾動輸入信號引起的誤差稱為擾動誤差(對應(yīng)式中第二項), 它反映了系統(tǒng)抑制擾動的能力。,1. 給定輸入作用下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算 給定輸入作用下的系統(tǒng)誤差為,根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的定義和拉氏變換的終值定理(假設(shè)sE(s)的極點全位于復(fù)平面的左半平面(包括原點）), 可得,為便于討論, 定義如下一組靜態(tài)誤差系數(shù)。 位置誤差系數(shù)：,速度誤差系數(shù):,加速度誤差系數(shù):,則在單位階躍輸入信號作用下, 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,若系統(tǒng)為0型系統(tǒng),若系統(tǒng)為型及型以上系統(tǒng),則在單位斜坡輸入信號作用下, 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,若系統(tǒng)為0型系統(tǒng),若系統(tǒng)為型系統(tǒng),若系統(tǒng)為型及型以上系統(tǒng),則在單位加速度輸入信號作用下, 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,若系統(tǒng)為0型、型系統(tǒng),若系統(tǒng)為型系統(tǒng),若系統(tǒng)為型系統(tǒng)及型以上系統(tǒng),表 3-1 給定輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,結(jié)論：,從表3-1中可看出，0型系統(tǒng)對于單位階躍輸入是有差系統(tǒng), 并且無法跟蹤斜坡信號、加速度信號； 型系統(tǒng)由于含有一個積分環(huán)節(jié), 所以對于單位階躍輸入是無差的, 但對單位斜坡輸入是有差的,并且無法跟蹤加速度信號; 型系統(tǒng)由于含有兩個積分環(huán)節(jié), 所以對于單位階躍輸入和單位斜坡輸入都是無差的, 但對單位加速度信號是有差的。,2. 擾動輸入作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算 對于擾動輸入作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算, 也可以按照類似給定輸入情況的方法進行計算。在這種情況下, 穩(wěn)定誤差的計算稍復(fù)雜些, 這里就不再加以論述。 感興趣的讀者可以自行推導(dǎo)。,例 6 已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試求系統(tǒng)輸入分別為1(t), 10t, 3t2時, 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解 由勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析可知, 該系統(tǒng)是穩(wěn)定的(這里從略)。 首先將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)化為,得開環(huán)放大倍數(shù)K=2.5，由于此系統(tǒng)為型系統(tǒng), 例7 已知兩個系統(tǒng)分別如圖3-13(a)、(b)所示。輸入均為r(t)=4+6t+3t2，試分別計算兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解 要計算系統(tǒng)在輸入r(t)=4+6t+3t2下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可分別計算系統(tǒng)在輸入r1(t)=4、輸入r2(t)=6t、輸入r3(t)=3t2下的穩(wěn)態(tài)誤差ess1、 ess2、 ess3、然后讓其相加。,根據(jù)表3-1得， 當r(t)=1(t)時, 穩(wěn)態(tài)誤差ess=0； 當r(t)=10t時, 穩(wěn)態(tài)誤差 ； 當r(t)=3t2時，穩(wěn)態(tài)誤差ess=。,圖 3-13 例 7 圖,圖3-13(b)為型系統(tǒng), 開環(huán)放大倍數(shù)為K=10/4。查表可知, 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,需要指出的是, 標準的加速度信號為t2/2, 所以本題中的3t2是標準輸入的6倍, 因此, 用標準輸入下的公式計算穩(wěn)態(tài)誤差時要乘上這個倍數(shù)。,圖3-13(a)為型系統(tǒng)，查表3-1得，該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess =ess1+ ess2+ess3 =。,四、穩(wěn)態(tài)誤差的抑制措施 1.提高系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù) 從表3-1可以看出：0型系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號、型系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號、型系統(tǒng)跟蹤單位加速度信號時, 其系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差均為常值, 且都與開環(huán)放大倍數(shù)K有關(guān)。若增大開環(huán)放大倍數(shù)K，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可以顯著下降。 注意：提高開環(huán)放大倍數(shù)K固然可以使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差下降, 但K值取得過大會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞, 甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2.增大系統(tǒng)的類型數(shù) 從表3-1中可以看出：若開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有積分環(huán)節(jié), 即0型系統(tǒng)時, 跟蹤階躍輸入信號所引起的穩(wěn)態(tài)誤差為常值; 若開環(huán)傳遞函數(shù)中含有一個積分環(huán)節(jié), 即型系統(tǒng)時, 跟蹤階躍輸入信號所引起的穩(wěn)態(tài)誤差就為零; 若開環(huán)傳遞函數(shù)中含有兩個積分環(huán)節(jié), 即型系統(tǒng)時, 則系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號、斜坡輸入信號所引起的穩(wěn)態(tài)誤差都為零。,3. 采用復(fù)合控制 采用復(fù)合控制, 即在反饋控制基礎(chǔ)上引入前饋補償可以在基本不改變系統(tǒng)動態(tài)性能的前提下, 有效改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。,3.6 基于MATLAB的線性系統(tǒng)時域分析,1.基于MATLAB的時域特性分析 通過MATLAB提供的函數(shù)step( )和impulse( ), 可以方便地求出各階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)和單位脈沖函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)。 ,例8 已知系統(tǒng)框圖如圖3-14所示,圖3-14 系統(tǒng)方框圖,其中，,輸入以下MATLAB命令，可得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-15所示。,num=7 7; den=conv(conv(1 0,1 3),1 4 5); g=tf(num,den); gg=feedback(g,1,-1); y,t,x=step(gg) plot(t,y),圖3-15 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線,輸入以下MATLAB語句可求此系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的給定穩(wěn)態(tài)誤差。,ggg=tf(g.den1,g.den1+g.num1); % g.num1，g.den1分 num1=1 0; 別表示g對象的分子分母 den1=1; g1=tf(num1,den1); gggg=ggg*g1; %求1/G(s)+1*s num2=1; den2=1 0; u=tf(num2,den2); %確定輸入信號的拉氏變換 dcg=dcgain(gggg*u),運行結(jié)果為： dcg = 0,由上述結(jié)果知，系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的給定穩(wěn)態(tài)誤差為零，所以此系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為1，即c()=1。,由圖3-15可看出，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線單調(diào)變化，所以此時暫態(tài)性能指標只有上升時間tr和調(diào)整時間ts，無最大超調(diào)量p和峰值時間tp 。輸入以下MATLAB語句可求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的上升時間tr和調(diào)整時間ts 。,n=length(y); %確定輸出向量y的長度 t1= ; for i=1:n, if abs(y(i)-0.9)0.0001 t1=t1 t(i) else i=i+1; end end t2=t1(1) t3= ; for i=1:n, if abs(y(i)-1)=0.02 t3=t3 t(i); else i=i+1; end end,t4=t3(1) 運行結(jié)果為： t2 = 4.7550 t4 = 8.3450,由上述知，此系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的上升時間為4.755s，調(diào)整時間為8.3450s（誤差帶取2%）。,例 9 試用MATLAB繪制例8中系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。 解 本題的程序?qū)崿F(xiàn)與例8類似,