2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3拋物線2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)講義含解析新人教A版.docx

2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)預(yù)習(xí)課本P6063，思考并完成以下問題 拋物線有哪些幾何性質(zhì)？拋物線的簡單幾何性質(zhì)類型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖象性質(zhì)焦點FFFF準線xxyy范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對稱軸x軸y軸頂點O(0,0)離心率e1開口方向向右向左向上向下點睛拋物線的標準方程與對稱性、焦點位置的關(guān)系y2ax一次項為x項，x軸為對稱軸a0時，焦點在x軸正半軸上，開口向右a0時，焦點在y軸正半軸上，開口向上a0)有一條對稱軸為y軸()(2)拋物線yx2的準線方程是x()答案：(1)(2)2設(shè)點A為拋物線y24x上一點，點B(1,0)，且|AB|1，則點A的橫坐標為()A2B0C2或0 D2或2答案：B3過拋物線y28x的焦點作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長為()A8 B16C32 D64答案：B4若雙曲線1(p0)的左焦點在拋物線y22px的準線上，則p_.答案：4拋物線方程及其幾何性質(zhì)典例已知拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為x軸，且與圓x2y24相交的公共弦長為2，求拋物線的方程解設(shè)所求拋物線的方程為y22px(p0)或y22px(p0)，拋物線與圓的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且A，B兩點的縱坐標之積為4，求拋物線C的方程解由于拋物線的焦點F，故可設(shè)直線AB的方程為xmy.由得y22pmyp20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2p2，p24，由p0，可得p2，拋物線C的方程為y24x.(1)已知AB是過拋物線y22px(p0)的焦點的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：y1y2p2，x1x2；|AB|x1x2p(為直線AB的傾斜角)；SABO(為直線AB的傾斜角)；以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切(2)當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線的對稱軸垂直時，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長等于2p.活學(xué)活用1過拋物線x24y的焦點F作直線l交拋物線于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點，若y1y26，則|P1P2|()A5B6C8 D10解析：選C由拋物線的定義知|P1P2|y1y2p628.2已知拋物線的頂點在原點，x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為的直線被拋物線所截得的弦長為6，求拋物線的標準方程解：當(dāng)拋物線焦點在x軸正半軸上時，可設(shè)拋物線標準方程為y22px(p0)，則焦點F，直線l的方程為yx.設(shè)直線l與拋物線的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，過點A，B向拋物線的準線作垂線，垂足分別為點A1，點B1，則|AB|AF|BF|AA1|BB1|x1x2p6，x1x26p.由消去y，得22px，即x23px0.x1x23p，代入式得3p6p，p.所求拋物線的標準方程是y23x.當(dāng)拋物線焦點在x軸負半軸上時，用同樣的方法可求出拋物線的標準方程是y23x.直線與拋物線的位置關(guān)系典例若拋物線y24x與直線yx4相交于不同的兩點A，B，求證OAOB.證明由消去y，得x212x160.直線yx4與拋物線相交于不同兩點A，B，可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x212，x1x216.x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，即OAOB.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，可通過直線與拋物線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為對判別式或者對向量數(shù)量積的限制條件，利用限制條件建立不等式或等式，利用根與系數(shù)的關(guān)系運算求解活學(xué)活用過點(3,2)的直線與拋物線y24x只有一個公共點，求此直線方程解：顯然，直線斜率k存在，設(shè)其方程為y2k(x3)，由消去x，整理得ky24y812k0.(1)當(dāng)k0時，方程化為4y80，即y2，此時過(3,2)的直線方程為y2，滿足條件(2)當(dāng)k0時，方程應(yīng)有兩個相等實根由即得k或k1.所以直線方程為y2(x3)或y2(x3)，即x3y90或xy10.故所求直線有三條，其方程分別為：y2，x3y90，xy10.層級一學(xué)業(yè)水平達標1以x軸為對稱軸，通徑長為8，頂點為坐標原點的拋物線方程是()Ay28xBy28xCy28x或y28x Dx28y或x28y解析：選C依題意設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，則2p8，所以拋物線方程為y28x或y28x.2若直線y2x與拋物線x22py(p0)相交于A，B兩點，則|AB|等于()A5p B10pC11p D12p解析：選B將直線方程代入拋物線方程，可得x24pxp20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24p，y1y29p.直線過拋物線的焦點，|AB|y1y2p10p.3設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點，A為拋物線上一點，若4，則點A的坐標為()A(2，2 ) B(1，2)C(1,2) D(2,2)解析：選B設(shè)A(x，y)，則y24x，又(x，y)，(1x，y)，所以xx2y24.由可解得x1，y2.4過點(1,0)作斜率為2的直線，與拋物線y28x交于A，B兩點，則弦AB的長為()A2 B2C2 D2解析：選B設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由題意知AB的方程為y2(x1)，即y2x2.由得x24x10，x1x24，x1x21.|AB|2.5設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為()A. B.C. D.解析：選D易知拋物線中p，焦點F，直線AB的斜率k，故直線AB的方程為y，代入拋物線方程y23x，整理得x2x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2.由拋物線的定義可得弦長|AB|x1x2p12，結(jié)合圖象可得O到直線AB的距離dsin 30，所以O(shè)AB的面積S|AB|d.6直線yx1被拋物線y24x截得的線段的中點坐標是_解析：將yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x26，3，2.所求點的坐標為(3,2)答案：(3,2)7已知A(2,0)，B為拋物線y2x上的一點，則|AB|的最小值為_解析：設(shè)點B(x，y)，則xy20，所以|AB|.所以當(dāng)x時，|AB|取得最小值，且|AB|min.答案：8已知AB是拋物線2x2y的焦點弦，若|AB|4，則AB的中點的縱坐標為_解析：設(shè)AB的中點為P(x0，y0)，分別過A，P，B三點作準線的垂線，垂足分別為A，Q，B.由題意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2.又|PQ|y0，所以y02，解得y0.答案：9已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，若OAB的面積等于4，求此拋物線的標準方程解：由題意，可設(shè)拋物線方程為y22ax(a0)，則焦點F，直線l：x，A，B兩點坐標分別為，|AB|2|a|.OAB的面積為4，2|a|4，a2.拋物線方程為y24x.10已知拋物線C：y22px(p0)過點A(2，4)(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；(2)若點B(0,2)，求過點B且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線l的方程解：(1)由拋物線C：y22px(p0)過點A(2，4)，可得164p，解得p4.所以拋物線C的方程為y28x，其準線方程為x2.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，x0符合題意當(dāng)直線l的斜率為0時，y2符合題意當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)直線l的方程為ykx2.由得ky28y160.由6464k0，得k1，故直線l的方程為yx2，即xy20.綜上直線l的方程為x0或y2或xy20.層級二應(yīng)試能力達標1過點(2,4)作直線l，與拋物線y28x只有一個公共點，這樣的直線l有()A1條B2條C3條 D4條解析：選B可知點(2,4)在拋物線y28x上，過點(2,4)與拋物線y28x只有一個公共點的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條與拋物線的對稱軸平行2過拋物線y24x的焦點，作一條直線與拋物線交于A，B兩點，若它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線()A有且僅有一條 B有兩條C有無窮多條 D不存在解析：選B設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義，知|AB|x1x2p527.又直線AB過焦點且垂直于x軸的直線被拋物線截得的弦長最短，且|AB|min2p4，所以這樣的直線有兩條故選B.3已知拋物線y22px(p0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為()Ax1 Bx1Cx2 Dx2解析：選B易知拋物線的焦點為F，所以過焦點且斜率為1的直線的方程為yx，即xy，代入y22px得y22p2pyp2，即y22pyp20，由根與系數(shù)的關(guān)系得p2(y1，y2分別為點A，B的縱坐標)，所以拋物線的方程為y24x，準線方程為x1.4已知拋物線C：y28x與點M(2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若0，則k()A. B.C. D2解析：選D由題意可知拋物線C的焦點坐標為(2,0)，則直線AB的方程為yk(x2)，將其代入y28x，得k2x24(k22)x4k20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由0，(x12，y12)(x22，y22)0.(x12)(x22)(y12)(y22)0，即x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40.由解得k2.故選D項5已知拋物線y2x，則弦長為定值1的焦點弦有_條解析：因為通徑的長2p為焦點弦長的最小值，所以給定弦長a，若a2p，則焦點弦存在兩條；若a2p，則焦點弦存在一條；若a，所以弦長為定值1的焦點弦有2條答案：26直線yx3與拋物線y24x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為_解析：由消去y得x210x90，得x1或9，即或所以|AP|10，|BQ|2或|BQ|10，|AP|2，所以|PQ|8，所以梯形APQB的面積S848.答案：487設(shè)點P(x，y)(y0)為平面直角坐標系xOy內(nèi)的一個動點(其中O為坐標原點)，點P到定點M的距離比點P到x軸的距離大.(1)求點P的軌跡方程；(2)若直線l：ykx1與點P的軌跡相交于A，B兩點，且|AB|2，求實數(shù)k的值解：(1)過點P作x軸的垂線且垂足為點N，則|PN|y，由題意知|PM|PN|， y，化簡得x22y.故點P的軌跡方程為x22y.(2)由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y化簡得x22kx20，x1x22k，x1x22.|AB|2，k43k240，又k20，k21，k1.8已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，直線y4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程解：(1)設(shè)Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由題設(shè)得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程為y24x.(2)依題意知l與坐標軸不垂直，故可設(shè)l的方程為xmy1(m0)代入y24x得y24my40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24m，y1y24.故AB的中點為D(2m21,2m)，|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率為m，所以l的方程為xy2m23.將上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，則y3y4，y3y44(2m23)故MN的中點為E，|MN|y3y4| .由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點在同一圓上等價于|AE|BE|MN|，從而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)222.化簡得m210，解得m1或m1.所求直線l的方程為xy10或xy10. (時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1(2017浙江高考)橢圓1的離心率是()A.B.C. D.解析：選B根據(jù)題意知，a3，b2，則c，橢圓的離心率e.2是任意實數(shù)，則方程x2y2sin 4的曲線不可能是()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D圓解析：選C由于R，對sin 的值舉例代入判斷sin 可以等于1，這時曲線表示圓，sin 可以小于0，這時曲線表示雙曲線，sin 可以大于0且小于1，這時曲線表示橢圓3設(shè)橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為B.若|BF2|F1F2|2，則該橢圓的方程為()A.1 B.y21C.y21 D.y21解析：選A|BF2|F1F2|2，a2c2，a2，c1，b.橢圓的方程為1.4已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則C的漸近線方程為()Ayx ByxCyx Dyx解析：選Ce21，則C的漸近線方程為yx.5設(shè)P是雙曲線1(a0)上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|3，則|PF2|()A1或5 B6C7 D8解析：選C雙曲線1的一條漸近線方程為3x2y0，故a2.又P是雙曲線上一點，故|PF1|PF2|4，而|PF1|3，則|PF2|7.6已知直線ykxk(k為實數(shù))及拋物線y22px(p0)，則()A直線與拋物線有一個公共點B直線與拋物線有兩個公共點C直線與拋物線有一個或兩個公共點D直線與拋物線沒有公共點解析：選C因為直線ykxk恒過點(1,0)，點(1,0)在拋物線y22px的內(nèi)部，所以當(dāng)k0時，直線與拋物線有一個公共點，當(dāng)k0時，直線與拋物線有兩個公共點7已知雙曲線1(b0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，其一條漸近線方程為yx，點P(，y0)在雙曲線上，則()A12 B2C0 D4解析：選C由漸近線方程為yx，知雙曲線是等軸雙曲線，雙曲線方程是x2y22，于是兩焦點分別是F1(2,0)和F2(2,0)，且P(，1)或P(，1)不妨取點P(，1)，則(2，1)，(2，1)(2，1)(2，1)(2)(2)10.8設(shè)雙曲線C：y21(a0)與直線l：xy1相交于兩個不同的點，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為()A. B(，)C. D.(，)解析：選D由消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.由于直線與雙曲線相交于兩個不同的點，則1a20a21，且此時4a2(2a2)0a20)，則拋物線過點(40,30)，從而有3022p40，即2p，所以所求拋物線方程為y2x.雖然選項中沒有y2x，但C中的2p符合題意11.我們把離心率為黃金分割系數(shù)的橢圓稱為“黃金橢圓”如圖，“黃金橢圓”C的中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，A，B分別為長軸和短軸上的頂點，則ABF()A90 B60C45 D30解析：選A設(shè)橢圓的方程為1(ab0)由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(xiàn)(c,0)，則(c，b)，(a，b)離心率e，ca，ba，b2ac0，ABF90.12已知直線yk(x2)(k0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|2|FB|，則k()A. B.C. D.解析：選D將yk(x2)代入y28x，得k2x2(4k28)x4k20，設(shè)A(x1，y1), B(x2，y2)，則x1x2，x1x24，拋物線y28x的準線方程為x2，由|FA|2|FB|及拋物線定義得x122(x22)，即x122x2，代入x1x24，整理得xx220，解得x21或x22(舍去)所以x14，5，解得k2，又因為k0，所以k.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確答案填在題中的橫線上)13以雙曲線1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為_解析：雙曲線焦點(4,0)，頂點(2,0)，故橢圓的焦點為(2,0)，頂點(4,0)答案：114已知雙曲線1(a0，b0)的一個焦點與拋物線xy2的焦點重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為_解析：拋物線xy2的方程化為標準形式為y24x，焦點坐標為(1,0)，則得a2b21，又e，易求得a2，b2，所以該雙曲線的方程為5x2y21.答案：5x2y2115已知二次曲線1，當(dāng)m2，1時，該曲線的離心率的取值范圍是_解析：m2，1，曲線方程化為1，曲線為雙曲線，e.m2，1，e.答案：，16設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|PF1|的最大值為_解析：由橢圓的定義知|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知M點在橢圓外，連接MF2并延長交橢圓于點P，此時|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值為10|MF2|1015.答案：15三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線1(a0，b0)的一個焦點，并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點P，求拋物線的方程和雙曲線的方程解：依題意，設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，點P在拋物線上，62p.p2，所求拋物線的方程為y24x.雙曲線的左焦點在拋物線的準線x1上，c1，即a2b21，又點P在雙曲線上，1，解方程組得或(舍去)所求雙曲線的方程為4x2y21.18(本小題滿分12分)已知橢圓1及直線l：yxm，(1)當(dāng)直線l與該橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；(2)求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值解：(1)由消去y，并整理得9x26mx2m2180.36m236(2m218)36(m218)直線l與橢圓有公共點，0，據(jù)此可解得3 m3 .故所求實數(shù)m的取值范圍為3 ，3 (2)設(shè)直線l與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：x1x2，x1x2，故|AB| ，當(dāng)m0時，直線l被橢圓截得的弦長的最大值為.19(本小題滿分12分)雙曲線x21(b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且與雙曲線交于A，B兩點(1)若直線l的傾斜角為，F(xiàn)1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；(2)設(shè)b，若直線l的斜率存在，且()0，求l的斜率解：(1)設(shè)A(xA，yA)由題意得F2(c,0)，c，yb2(c21)b4，因為F1AB是等邊三角形，所以2c|yA|，即4(1b2)3b4，解得b22.故雙曲線的漸近線方程為yx.(2)由題意知F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l：yk(x2)，顯然k0.由得(k23)x24k2x4k230.因為l與雙曲線交于兩點，所以k230，且36(1k2)0.設(shè)AB的中點為M(xM，yM)由()0即0，知F1MAB，故kF1Mk1.而xM，yMk(xM2)，kF1M，所以k1，解得k2，故l的斜率為.20(本小題滿分12分)已知動圓C過定點F(0,1)，且與直線l1：y1相切，圓心C的軌跡為E.(1)求動點C的軌跡E的方程；(2)已知直線l2交軌跡E于兩點P，Q，且PQ中點的縱坐標為2，求|PQ|的最大值解：(1)由題設(shè)知點C到點F的距離等于它到l1的距離，所以點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線，所以所求軌跡的方程為x24y.(2)由題意易知直線l2的斜率存在，又拋物線方程為x24y，當(dāng)直線l2的斜率為0時，|PQ|4.當(dāng)直線l2的斜率k不為0時，設(shè)中點坐標為(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有x4y1，x4y2，兩式作差得xx4(y1y2)，即得k，則直線方程為y2(xt)，與x24y聯(lián)立得x22tx2t280.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x22t，x1x22t28，則|PQ|6，當(dāng)且僅當(dāng)t時取